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1、精选优质文档-倾情为你奉上第十一章 无穷级数（数二不要求）11.1考试内容与要求考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与 级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在上的傅里叶级数函数在上的正弦级数和余弦级数考试要求1理解（了解）常数项级数收
2、敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握（了解）级数的基本性质及收敛的必要条件.2掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件.3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.4掌握（了解）交错级数的莱布尼茨判别法.5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7理解幂级数收敛半径的概念、并掌握(会求)幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.8了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10
3、掌握的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.11了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.考试重点:1. 数项级数定义、性质及敛散性判别法2. 幂级数的收敛半径和收敛域3. 级数求和4. 函数展成幂级数5. 傅立叶级数展开和狄里克雷定理注：对画线部分数三不要求。11. 2基本概念与内容一. 常数项级数（一）常数项级数的概念级数的定义如果给定一个数列，则由这数列构成的表达式 叫做常数项级数，简称级数。其中第项称为级数的通项或一般项。2.级数的部
4、分和的定义 称为级数的部分和.3.级数收敛与发散的定义如果级数的部分和数列有极限，即，则称无穷级数收敛，这时极限叫做这个级数的和；否则称级数发散.（二） 级数的基本性质1. 级数与级数有相同的收敛性，且若，则.2.若级数与都收敛，则也收敛，且若，则. 注：级数和都发散时，不一定发散.如和都发散，但收敛.若级数收敛，发散，则必发散.3.改变级数的有限项不改变级数的敛散性.当改变收敛级数的有限项时，一般其和会改变.收敛级数加括号后所得级数收敛.注：收敛级数去括号后所得级数不一定收敛.如级数收敛，但级数发散.发散级数加括号后所得级数不一定发散.发散级数去括号后所得级数必发散.5.级数收敛的必要条件：
5、若级数收敛，则必有.注：由不能得到级数收敛.如对于级数，虽然，但发散.故不能用必要条件来判断级数收敛.必要条件的作用：可用来判断级数的发散.若，则级数必发散.（三）正项级数及其敛散性判别法正项级数的概念及收敛的充要条件 正项级数的定义：对于级数，若，则称此级数为正项级数. 正项级数收敛的充要条件：有界正项级数收敛.2. 比较判别法及其极限形式（1）比较判别法：设和都是正项级数，并且 若收敛，则收敛。 若发散，则发散。（2）比较判别法的极限形式设和都是正项级数，且.若,则与有相同的敛散性；若，则当收敛时必有收敛；若，则当发散时必有发散.注：关键是的构造。常见：等比级数，调和级数，P-级数。3.比
6、值判别法：设是正项级数 若，则4.根值判别法：设是正项级数若，则注：比较判别法、比值判别法和根值判别法只能用来判断正项级数的敛散性.不能用其判定其他级数的敛散性. 这三种方法都只是充分条件，反过来不一定成立.如正项级数收敛，但. 比值判别法和根值判别法“当时不确定”的含义是此时级数可能收敛也可能发散，因此使用它们失效，得改用其他方法判别。（四）交错级数 1.交错级数的定义级数（或）中，若，则称此级数为交错级数. 2.莱布尼茨判别法 条件： 结论：交错级数收敛，其和，其余项的绝对值 注：莱布尼茨判别法的条件只是一个充分条件（并不必要），如交错级数收敛，但其并不满足.（五）任意项级数若级数的各项为
7、任意实数，则称它为任意项级数。1. 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛的定义：若级数收敛，则必收敛，此时称级数绝对收敛. 条件收敛的定义：若级数发散，收敛，此时称级数条件收敛.二幂级数（一）函数项级数的有关概念1.函数项级数的定义：设是定义在区间上的函数列，则由这个函数列构成的表达式，称为定义在区间上的函数项级数。称为通项，称为部分和函数。2.收敛（发散）点，收敛（发散）域的定义：对于每一个确定的,若收敛（发散），则称为此函数项级数的收敛（发散）点，收敛（发散）点的集合称为此函数项级数的收敛（发散）域.3.和函数：设函数项级数的收敛域为,则任给，存在唯一的实数和它对应，使得，称为在上的和函数.（二）
8、幂级数幂级数的定义形如 （1）或 （2）的级数叫做幂级数.2.阿尔贝定理若幂级数在处收敛，则它在满足的一切处绝对收敛.若幂级数在处发散，则它在满足的一切处发散.3.幂级数的收敛半径与收敛区间（1）收敛半径的定义由阿贝尔定理可知：如果幂级数不是仅在处收敛，也不是在整个实数轴上收敛，则必定存在一个正数，它具有下述性质：(1) 当时，绝对收敛(2) 当时，发散。如果幂级数仅在处收敛，定义,如果幂级数在整个实数轴上收敛,定义。称上述为收敛半径。称开区间为的收敛区间。（2）收敛半径的求法（1）当幂级数不缺项时比值法： 根值法：（2）当幂级数缺项时，解不等式求.幂级数的运算 加减法：，当等式左边两个幂级数
9、的收敛半径不相等时，右边的和（差）级数在原来两个收敛域中较小的那个上面收敛；当两个幂数的收敛半径相等时，和（差）级数的收敛半径有可能扩大. 乘法：，其乘积级数在两个乘积因式级数收敛区间较小的那个上面收敛. 除法：，可由，再根据幂级数的乘法将右边展开后比较两边同次幂的系数求.级数的收敛区间可能比等式左边两个幂级数的收敛区间小的多.5.幂级数的性质(1) 幂级数的和函数在其收敛域上连续.(2) 幂级数的和函数在其收敛域上可积，并有逐项积分公式： (3) 幂级数的和函数在其收敛区间内可导，并有逐项求导公式： ，右边幂级数的初始项为1是因为左边级数第一项是常数求导后为0.逐项求导后所得幂级数与原来幂级
10、数有相同的收敛半径，而在其收敛区间端点处的敛散性有可能发生变化.6.函数展成幂级数（1）函数展开成幂级数的定义设函数在区间上有定义，若存在幂级数，使得则称在区间上能展开成的幂级数。（2）展开式的唯一性若在区间上能展开成的幂级数，则其展开式是唯一的，且（3）泰勒级数与麦克劳林级数如果在的某一邻域内具有任意阶导数，则称幂级数为函数在点的泰勒级数。当时，称为麦克劳林级数。（4）函数展开成幂级数的方法直接展开法：用公式求出系数代入幂级数（2）中并验证：间接展开法：利用四则运算，代入法、逐项求导法、逐项积分，变量替换和常见初等函数的幂级数展开式将函数展开. 三傅里叶级数（一）周期为的傅立叶级数 1. 三
11、角函数系的正交性三角函数系：在区间上正交，是指三角函数系中任何两个不同函数的乘积在该区间上的积分等于零。即在三角函数系中任何两个相同函数的乘积在该区间上的积分不等于零，即2.设函数是周期为的周期函数，且在区间上可积，则称为的傅立叶系数。称三角级数为以为周期的的傅立叶级数。3. 傅立叶级数的收敛定理设函数是周期为的周期函数，如果满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则的傅立叶级数收敛。并且（1）当是的连续点时，级数收敛于（2）当是的间断点时，级数收敛于4. 正、余弦级数当是奇函数时，其傅里叶系数，称为正弦级数.当是偶函数时，其傅里叶系数，称为余弦级数。（二）只在
12、上有定义的函数的傅立叶级数展开定义在上的函数可以有多种方式展开成的三角级数，但常用的方式有三种：周期奇延拓，周期偶延拓，周期延拓。（三）周期为的傅立叶级数设函数是周期为的周期函数，且在区间上可积，则称 为函数的傅里叶系数，则称为函数的傅里叶级数.11.3 典型例题分类解析一判定数项级数的敛散性例11.1（00-1-3）设级数收敛，则必收敛的级数为（ ）(A) (B) (C) （D） 例11.2（02-1-3）设，且，则级数（ ）(A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 （D）收敛性根据所给条件不能判定例11.3（03-3-4）设，则下列命题正确的是（ ）(A) 若条件收敛，则与都收敛(
13、B) 若绝对收敛，则与都收敛(C) 若条件收敛，则与的敛散性不定(D) 若绝对收敛，则与的敛散性不定例11.4（04-1-4）设为正项级数，下列结论中正确的是（ ）(A) 若 ，则级数 收敛 (B)若存在非零常数，使得，则级数发散 (C) 若级数 收敛，则（D）若级数发散，则存在非零常数，使得例11.5（04-3-4）设有以下命题： 若收敛，则收敛 若收敛，则收敛 若，则发散。 若收敛，则，都收敛则以上命题中正确的是（ ）(A) (B) (C) （D） 例11.6（05-3-4）设，若发散，收敛，则下列结论正确的是（ ）(A) 收敛，发散 (B) 发散，收敛(C) 收敛 （D）收敛例11.7（
14、06-1-4）（06-3-4）若级数 收敛，则级数（ ）(A) 收敛 (B) 收敛 (C) 收敛 （D）收敛例11.8（09-1-4）设有两个数列，若，则（ ）(A) 当收敛时，收敛 (B) 当发散时，发散 (C) 当收敛时，收敛 （D）当发散时，发散例11.9（11-3-4）设是数列，则下列命题正确的是（ ）(A) 若收敛，则收敛(B) 若收敛，则收敛(C) 若收敛，则收敛（D）若收敛，则收敛二证明数项级数的敛散性例11.10（04-1-11）设有方程，其中为正整数，证明此方程存在唯一正实根，并证明当时，级数收敛。三求幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域例11.11（02-3-3）设幂级数与的
15、收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为（ ）(A) (B) (C) （D） 例11.12（08-1-4）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为 例11.13（09-3-4）幂级数的收敛半径为 例11.14（11-1-4）设数列单调减少，无界，则幂级数的收敛域为（ ）(A) (B) (C) （D）四求幂级数的和函数例11.15（03-3-9）求幂级数（）的和函数及其极值。例11.16（04-3-9）设级数的和函数为。求（1）所满足的一阶微分方程（2）的表达式例11.17（05-1-12）求幂级数的收敛区间与和函数例11.18（05-3-9）求幂级数在区间内的和函数。例11.19（06-
16、3-10）求幂级数的收敛域及和函数。例11.20（07-1-10）设幂级数在内收敛，其和函数满足，（1）证明（2）求的表达式例11.21（10-1-10）求幂级数的收敛域及和函数例11.22（12-1-10）求幂级数的收敛域及和函数。五求数项级数的和例11.23（09-1-9）设为曲线与所围成区域的面积，记,求与的值。六求函数的幂级数展开式例11.24（03-1-12）将函数展开成的幂级数，并求级数的和。例11.25（06-1-12）将函数展开成的幂级数。例11.26（07-3-10）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。七傅里叶级数例11.27（03-1-4）设，则 例11.28（08-1-11）将函数展开成余弦级数，并求级数的和。专心-专注-专业