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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流旋转模型专题一、等线段共点二、按图形分类1、等腰三角形，2、等边三角形，3、等腰直角三角形，4、正方形等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流MDNECBFAABCD三、按模型分类1、手拉手模型2、角含半角模型3、对角互补模型4、与勾股定理结合5、费马点问
2、题例题精讲一、手拉手模型1、已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形常见结论：（1）ANBM（2）CDCE（3）CF平分AFB（4）CDE是等边三角形（5）AFM=60 且保持不变2、如图，在凸四边形ABCD中，30BCD,60DABADAB，求证：222ACCDBC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流3、已知ABC，以AC为边在ABC外作等腰ACD，其中
3、ACAD。 如图 ， 若2DACABC，ACBC， 四 边 形ABCD是平 行 四 边 形 ，则_ABC如图，若30ABC，ACD是等边三角形，3AB，4BC，求BD的长； 如 图 ， 若ACD为 锐 角 ， 作AHBC于H， 当2224BDAHBC时 ，2DACABC是否成立？若不成立， 请说明你的理由； 若成立，证明你的结论。AHCBDDCBADCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删
4、除只供学习与交流二、角含半角模型4、已知：如图 1 在Rt ABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结E D，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明5、在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且EAF=CEF=45，（1）将
5、 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG，如图 1，求证： AEGAEF；（2）若直线 EF 与 AB、AD 的延长线分别交于点M,N，如图 2，求证：222NFMEEF（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF，BE，DF 之间的数量关系。图1ABCDE图2ABCDE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流ABCDEF精品资料 - -
6、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流6、在等边ABC 的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为ABC 外一点，且60MDN，120BDC，CDBD，探究：当点 M，N 分别爱直线AB，AC 上移动时，BM，NC，MN 之间的数量关系及AMN 的周长与等边ABC的周长 L 的关系如图，当点 M，N 在边 AB，AC 上，且 DM=DN 时，BM，NC，MN 之间的数量关系式 _ ；此时
7、LQ=_如图，当点 M，N 在边 AB，AC 上，且DNDM时，猜想 (1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；如图，当点 M，N 分别在边 AB，CA 的延长线上时，若AN=x，则Q=_(用 x，L 表示)图（1）图（2）图（3）NMDCBANMDCBANMDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流三、对角互补类7、已知：MAN ， AC 平分MAN 在图 1
8、中，若90MANDCB，证明：2ABADAC 在图 2 中，若120MAN，60DCB，探究AB、AD、AC三者之间的数量关系，并给出证明； 在图 3 中：若MAN（0180） ，180DCB，则_ABADAC（用含的三角函数表示 ,直接写出结果，不必证明）8、如图 1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E猜想：ME与MF的数量关系如图 2，若将原题中的“正方形”改为“菱形” ，且MB，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明如图 3，若将原题中的“正方形”改为“矩形” ，且:1: 2AB BC，其它条件不变，探索线段M
9、E与线段MF的数量关系，并说明理由如图 4，若将原题中的 “正方形”改为平行四边形， 且MB，:AB BCm，其它条件不变，求出:ME MF的值（直接写出答案）图3图2图1ABMCDNABMCDNNMDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流图4图1图2图3ABCDQPNMEFABCDFEMQPNFEFEABCDQPNMQPNMDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - -
10、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流四、直角三角形斜边中点9、在等腰直角ABC中，90ACBo，ACBC，M是AB的中点，点P从B出发向C运动，MQMP交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化10、等腰直角三角形ABC，902ABCABO，为AC中点，45EOF，求BEF的周长11、已知 RtABC 中，AC=BC，C=90 ，D 为 AB 边的中点，EDF=90 ，EDF绕 D 点旋转，它的两边分别交A
11、C、CB（或延长线）于 E、F当EDF 绕 D 点旋转到 DEAC 于 E 时（如图 1） ，易证ABCCEFDEFSSS21当EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立 ? 若成立，请给予证明；若不成立，, , 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明APMCQBOFECBADEFSCEFSABCS精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联
12、系网站删除只供学习与交流精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流五、等线段共点12、如图所示，P是等边ABC内部一点，3PC，4PA，5PB，求ABC的边长.BPCS= ,ABPS= ,APCS= ,ABCS= ,13、P为等边ABC内一点，113APBo，123APCo，求证：以AP、BP、CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.14、如图， P 为正
13、方形 ABCD 内一点， PA1，PD2，PC3，将PAD绕着 D点按逆时针旋转 90 到DCM的位置PCBAPCBAPCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（1）求APD的度数。(2)求正方形的边长MPDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页
14、 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流六、费马点问题15、阅读下列材料对于任意的ABC，若三角形内或三角形上有一点P，若PAPBPC有最小值，则取到最小值时，点P为该三角形的费马点。若三角形内有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点若三角形内角均小于120，则满足条件120APBBPCAPC时，点P既为费马点解决问题：如图，ABC中， 三个内角均小于120， 分别以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连接CD、BE交于点P，证 明 ： 点P为ABC的 费 马 点 。 ( 即 证 明120APBBPCAPC) 且PAP
15、BPCCD如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QAQCQBPAPBPCPEDCBAQABCDEP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流若30ABC，3AB，4BC，直接写出PAPBPC的最小值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - -
16、- - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流16、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接AM、CM、EN求证：AMBENB当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；当AMBMCM的最小值为31时，求正方形的边长17、阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1,ABC中， ACB =30o，BC=6，AC=5，在ABC内部有一点P，连接 PA 、PB 、PC，求 PA +PB+PC的最小值 小华是这样思考的：要解决这个问题， 首先应想办法将
17、这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线ENMDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图2，将APC绕点C顺时针旋转60 o，得到EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求（1）请你写
18、出图 2 中，PA +PB+PC的最小值为；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，菱形 ABCD中，ABC =60o，在菱形 ABCD内部有一点 P，请在图 3 中画出并指明长度等于PA +PB +PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可） ；若中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA +PB +PC值最小时 PB的长精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习
19、与交流七、最值问题18、已知：2PA，4PB，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧 .如图，当45APB时，求AB及PD的长；当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应APB的大小 .19、如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90，点D是BC的中点作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0 ，小于或等于 360） ， 如图，通过观察或测量等方法判断 （1） 中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理
20、由若2BCDE，在的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值PDCBAABCDEFGGFEDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站
21、删除只供学习与交流八、综合应用20、已知：在Rt ABC中，ABBC，在Rt ADE中，ADDE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM 若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM的关系并给予证明； 如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明21、已知：如图，OAB与OCD为等腰直角三角形，90AOBCOD如图，点C、D分别在边OA、OB上，联结AD、BC，点M为线段BC的中点，联结OM，请你猜想OM与AD的数量关系：（直接写出答案，不必证明）；如图，在图 1 的基础上，将OCD绕点O逆
22、时针旋转一个角度(900)OM与AD的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由；求证：OMAD图1 ABCDEM图2MEDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流MACODBMODCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - - -