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1、精选优质文档-倾情为你奉上2019届高三第一次联考数学（理科）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）A. B. C. D. 3.设，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 4.设函数，若角的终边经过点，则的值为（ ）A. 1 B. 3 C. 4 D. 95.已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列，数列的前项和满足，数列满足，则数列的前项和为（ ）A. 31 B. 34 C. 62 D. 596.下列有关命题的说
2、法正确的是（ ）A. ，使得成立B. 命题：任意，都有，则：存在，使得C. 命题“若且，则且”的逆命题为真命题D. 若数列是等比数列，则是的必要不充分条件7.设不等式组表示的平面区域为，则（ ）A. 的面积是 B. 内的点到轴的距离有最大值C. 点在内时， D. 若点，则8.将向量列，组成的系列称为向量列，并记向量列的前项和为，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等和向量列.若，则下列向量中与向量垂直的是（ ）A. B. C. D. 9.函数的定义域为，且，对任意，在上是增函数，则函数的图象可以是（ ）A. B. C. D. 10.已知函数，若函数的
3、零点都在区间内，当取最小值时，等于（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 611.已知同时满足下列三个条件：时最小值为，是奇函数，若在上没有最大值，则实数的范围是（ ）A. B. C. D. 12.已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于5，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则_14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0618，这一数值也可表示为 若，则_15.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数满足，则不等式
4、的解集为_（结果用区间表示）16.已知各项均为正数的两个无穷数列和满足： ，且是等比数列，给定以下四个结论：数列的所有项都不大于；数列的所有项都大于；数列的公比等于；数列一定是等比数列。其中正确结论的序号是_三、解答题 （本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图所示，在中，已知点在边上，且，.（1）若，求的值；（2）若，求边上的中线的长.18.如图所示，四棱锥中，四边形为等腰梯形，,为的中点（1）求证：（2）求面与平面所成的二面角的正弦值19.首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海的国家会展中心举办.国家展、企业展、经贸论坛、高新产品
5、汇集首届进博会高点纷呈.一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案.某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场.已知该产品年固定研发成本30万美元，每生产一台需另投入90美元.设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万美元,（1）写出年利润（万美元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.20.已知点，的两顶点，且点满足（1）求动点的轨迹方程；（2）设，求动点的轨迹方程；（3）过点的动直线与曲线交于不同两点，过
6、点作轴垂线，试判断直线与直线的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程，否则，说明理由21.已知函数，不等式对恒成立.（1）求函数的极值和实数的值；（2）已知函数，其中为自然对数的底数.若存在，使得，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.选修44，极坐标与参数方程已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，曲线（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点，经过点的直线与曲线交于两点，若
7、，求直线的倾斜角选修4-5：不等式选讲23.选修45，不等式选讲已知函数 （1）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求不等式的解集2019届高三第一次联考数学（理科）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得集合A中绝对值不等式的解集，再求的集合B中函数的值域，最后取它们的交集.【详解】对于集合A，或，对于集合B，由于，所以.所以.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查集合的研究对象，考查绝对值不等式的解法等知
8、识，属于基础题.含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即的解是，的解是或.在研究一个集合时，要注意集合的研究对象，如本题中集合B，研究对象是函数的值域.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数除法的运算化简复数，然后求得其虚部.【详解】依题意，故虚部为，所以选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法和乘法运算，考查复数实部和虚部的识别，属于基础题.3.设，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于，所以为三个数中最大的
9、.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.4.设函数，若角的终边经过点，则的值为（ ）A. 1 B. 3 C. 4 D. 9【答案】B【解析】【分析】先根据角的终边经过的点，求得的值，然后代入函数的解析式，求得对应的函数值.【详解】由于角的终边经过点，故，故，.故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查复合函数求值以及分段函数求值，属于基础题.
10、5.已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列，数列的前项和满足，数列满足，则数列的前项和为（ ）A. 31 B. 34 C. 62 D. 59【答案】B【解析】【分析】利用基本元的思想求得的通项公式，利用求得的通项公式.再利用列举法求得的前项和.【详解】由于成等比数列，故，即，由于，解得，故.当时，当时，故.故的前项和为，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查已知求的方法，考查数列求和等知识，属于中档题.要求数列的通项公式，如果已知数列为等差或者等比数列，则将已知条件转化为或者的形式，通过解方程组求得这几个量来求得通项公式.6.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. ，使得成
11、立B. 命题：任意，都有，则：存在，使得C. 命题“若且，则且”的逆命题为真命题D. 若数列是等比数列，则是的必要不充分条件【答案】D【解析】【分析】对于A选项，方程无解，由此判断命题不成立.对于B选项，用全称命题的否定是特称命题来判断是否正确.对于C选项，写出逆命题后判断命题是否为真命题.对于D选项，利用等比数列的性质，并举特殊值来判断命题是否为真命题.【详解】由，得，其判别式，此方程无解，故A选项错误.对于B选项，全称命题的否定是特称命题，应改为，故B选项错误.对于C选项，原命题的逆命题是“若且，则且”，如，满足且但不满足且，所以为假命题.对于D选项，若，为等比数列，但；另一方面，根据等比
12、数列的性质，若，则.所以是的必要不充分条件.故选D.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的概念，考查命题真假性的判断，考查等比数列的性质以及充要条件的判断.属于中档题.7.设不等式组表示的平面区域为，则（ ）A. 的面积是 B. 内的点到轴的距离有最大值C. 点在内时， D. 若点，则【答案】C【解析】【分析】画出可行域，通过求出可行域的面积、可行域内点到轴的距离、可行域内点和连线的斜率的范围、通过特殊点判断的值是否为，根据四个结果判断四个选项的正误.【详解】画出可行域如下图所示：有图可知，可行域面积是无限大的，可行域内的点到轴的距离也是没有最大值的，故两个选项错误.注意到在可行域内，而，
13、故D选项错误.有图可知，可行域内的点和连线的斜率比的斜率要小，故C选项正确.所以选C.【点睛】本小题主要考查线性规划的问题，考查方向有可行域的面积，点到直线的距离，两点连线的斜率还有特殊点等几个方向.属于基础题.8.将向量列，组成的系列称为向量列，并记向量列的前项和为，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等和向量列.若，则下列向量中与向量垂直的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等和向量列的概念，求出，归纳出规律，由此求得的值，通过向量数量积为零验证出正确选项.【详解】根据等和向量列的概念，故，故奇数项都为，偶数项都为.故.
14、注意到可知，C选项正确.故选C.【点睛】本小题考查对新定义的理解和运用，采用的方法是通过列举法找到规律，然后利用这个规律来求和.属于基础题.9.函数的定义域为，且，对任意，在上是增函数，则函数的图象可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对于四个选项，举出对应的具体函数，然后利用函数的单调性验证是否在上递增，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，取，则，由于，故，故为增函数，符合题意.对于B选项，取，则，由于，故为减函数，不符合题意.对于C选项，取，则，这是一个开口向上的二次函数，在对称轴两侧单调性相反，不符合题意.对于D选项，取，则，是常数函数，不符合题意.综上所述，选
15、A.【点睛】本小题考查函数的图像与性质，考查利用特殊值法解选择题，考查了函数单调性.属于中档题.10.已知函数，若函数的零点都在区间内，当取最小值时，等于（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】【分析】先求得函数是单调递增函数，并用零点存在性定理求得函数零点所在的区间，零点向右移个单位后得到的零点，由此求得的最小值，最后求定积分即可得出选项.【详解】依题意，化简为，可知，当时，且当时，根据等比数列求和公式，有，故函数在上为增函数.，故函数零点在区间内，所以零点在内.故.故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调性，考查利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，考查函
16、数图像平移变换，以及定积分的有关计算，还考查了等比数列求和公式，综合性很强，属于难题.函数求导后，是一个有规律的式子，类似于等比数列，但要注意的是，要考虑公比是否为，公比不为时可利用等比数列前项和公式求和.11.已知同时满足下列三个条件：时最小值为，是奇函数，若在上没有最大值，则实数的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】条件表示函数的半周期为，由此求得的值. 条件可以求出的值，求得函数解析式后，结合函数图像可求得的取值范围.【详解】由于函数的最大值为，最小值为，故条件表示函数的半周期为，周期为，故.故，根据条件，有是奇函数，故，.根据条件，即，故为偶数，不妨设，由此求
17、得函数的表达式为.画出图像如下图所示，由图可知，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查根据已知条件求类型三角函数的解析式，考查三角函数的图像与性质，属于中档题.12.已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于5，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，将已知“直线的斜率的绝对值都不小于”，去绝对值.然后构造函数，利用导数求得函数的单调区间，利用一元二次不等式恒成立问题的解法，求得的取值范围.【详解】，在单调递减.，.设，则.设，则在上单调递减，则对恒成立.则对恒成立，则，即，解之得或.又，所以.【点睛】本小题主要考查利用导数研究不
18、等式恒成立问题，考查绝对值不等式的化简.属于中档题.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则_【答案】【解析】【分析】利用向量的数量积求得参数的值，代入向量模的公式求得所求.【详解】根据，解得，故.【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量的加法和减法的坐标运算，还考查了向量模的运算，属于基础题.14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0618，这一数值也可表示为 若，则_【答案】【解析】【分析】利用已知得，代入所求表达式，利用二倍角公式化简后，可求得表达式的值.【详解】由得，代入
19、所求表达式，可得.【点睛】本小题主要考查方程的思想，考查同角三角函数关系，考查二倍角公式以及诱导公式.属于中档题.15.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为_（结果用区间表示）【答案】【解析】【分析】构造函数，求导后利用已知条件得到函数的单调性，由此求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，故函数在上单调递减，且，故不等式可变为，即，解得.【点睛】本小题主要考查利用函数导数求解不等式，考查构造函数法，属于中档题.在阅读题目过程中，提供一个函数值，给的是函数导数小于零，这个可以说明一个函数是递减函数，由此可以考虑构造函数，因为，就可以把已知和求串联起来了.16.已
20、知各项均为正数的两个无穷数列和满足： ，且是等比数列，给定以下四个结论：数列的所有项都不大于；数列的所有项都大于；数列的公比等于；数列一定是等比数列。其中正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】首先利用基本不等式求得，然后分类讨论的取值范围，由此证得的公比为.利用反证法证得，同时求得，由此得出正确正确结论.【详解】因为，所以，下证等比数列的公比.若，则，则当时，此时，与矛盾；若，则，则当时，此时，与矛盾.故，故.下证，若，则，于是，由得，所以中至少有两项相同，矛盾.所以，所以，所以正确的序号是.【点睛】本小题主要考查基本不等式的运用，考查分类讨论的思想方法，考查反证法等知识，属于难题.三、解
21、答题 （本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图所示，在中，已知点在边上，且，.（1）若，求的值；（2）若，求边上的中线的长.【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）利用诱导公式求得的值，然后利用正弦定理求得的值.（2）根据的值求得的值，利用两边平方和，化简求得的值.【详解】（1）由条件得 .在中，则.（2）由（1），为钝角，.由得.又，.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查正弦定理解三角形，还考查了向量的运算，属于中档题.18.如图所示，四棱锥中，四边形为等腰梯形，,为的中点（1）求证：（2）求面与平面所成的二面角的正弦值【答案】（1）证
22、明见解析；（2）。【解析】【分析】(1) 取的中点.连接，,通过证明平面平面来证得平面.(2) 取的中点，以方向为正方向建立空间直角系通过平面与平面的法向量计算出二面角的余弦值，从而求得正弦值.【详解】（1）取的中点.连接，.为的中点，为的中点，.又，四边形是平行四边形，.，和是平面内的两条交线.平面平面.又平面，平面.（2）取的中点，以方向为正方向建立如图所示的空间直角系.则，则平面的一个法向量为，.设平面的一个法向量为，则不妨令，则，则.【点睛】本小题主要考查立体几何线面平行得证明，考查利用空间向量的方法求二面角的余弦值.属于中档题.19.首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10
23、日在上海的国家会展中心举办.国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集首届进博会高点纷呈.一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案.某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场.已知该产品年固定研发成本30万美元，每生产一台需另投入90美元.设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万美元,（1）写出年利润（万美元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；（2）当年产量为29万台时，该公司在该产品中获
24、得的利润最大，最大利润为2380美元.【解析】【分析】（1）用乘以单价，减去每台的投入成本以及固定成本，由此求得利润关于年产量的表达式.（2）利用二次函数的最值和基本不等式，求得产量为多少时，获得最大的利润.【详解】（1）当时， ；当时， .函数解析式为（2）当时，因为，在上单调递增，所以当时，.当时，.当且仅当，即时等号成立.因为，所以时，的最大值为2380万美元.答：当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为2380美元.【点睛】本小题主要考查函数应用问题，考查二次函数求最值，考查利用基本不等式求最值的方法，属于中档题.20.已知点，的两顶点，且点满足（1）求动点的轨
25、迹方程；（2）设，求动点的轨迹方程；（3）过点的动直线与曲线交于不同两点，过点作轴垂线，试判断直线与直线的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程，否则，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）两直线，的交点恒落在直线上。【解析】【分析】（1）设出点的坐标，代入，化简后求得动点的轨迹方程.（2）设出点的坐标，利用向量相等列方程，转化为的坐标，代入（1）中的方程可求得的方程.（3）设出直线的方程，代入的方程，化简后写出韦达定理，写出直线和直线的方程并求出它们的交点坐标，化简后可知两直线，的交点恒落在直线上.【详解】（1）设动点，其中.由得：（2）设点，由得代入（1）中的方程得：，即曲线的轨
26、迹方程为.（3）显然过点的直线不垂直轴，设，同时设，.由消整理得：.由韦达定理得：，.直线.直线.联立求解交点，消得：.把韦达定理中的及变形式代入上式得：（与无关）.故两直线，的交点恒落在直线上.【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查两条直线的交点，综合性较强，属于难题.对于求动点的轨迹方程，有多种方法，本题中第一问采用的是直接法，也就是给定动点满足的一个等式，将动点的坐标直接代入这个等式，化简后可得到轨迹方程.第二问采用的是代入法，也即是将要求的动点的坐标，转化为已知点的坐标，代入已知的曲线方程，化简后可求得动点的轨迹方程.21.已知函数，不等式对恒成立.（1）
27、求函数的极值和实数的值；（2）已知函数，其中为自然对数的底数.若存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1），不存在极小值；。（2）。【解析】【分析】（1）利用导数对求导，由单调区间求得函数的极值. 对不等式两边取以为底的对数，化简为的形式，根据前面所求的单调区间求得的值.（2）将表达式代入不等式左边，构造函数，对分成，两类，通过函数的导数，讨论函数的单调性，利用函数的最小值为负数，求得的取值范围.【详解】（1），则时，时，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，故，不存在极小值.显然，不合题意.当时，由得，则有，故依题意知对恒成立.当时，取得最大值，故.当时，取得最大值，故，故.综上得.（2）
28、设，则.当时，所以不存在使得成立.故不合题意.当时， ，因为，所以，所以在恒成立，故在上单调递减， ，则依题意有，解之得，故的取值范围为.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间以及极值，利用导数研究不等式成立的存在性问题.求函数的单调区间、极值和最值是导数的基本功能.恒成立问题和存在性问题是两种不同类型的问题，如本题是存在性问题，则只需要最小值小于零即可.若改为恒成立问题，则需要最大值也要小于零.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.选修44，极坐标与参数方程已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，曲线（为参数），在以平面直
29、角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点，经过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的倾斜角【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.（2）或.【解析】【分析】（1）对曲线的参数方程两边平方后相加，可求得直角坐标方程.对直线的极坐标方程，展开后直接利用极转直的公式进行转化.（2）设出直线的参数方程，联立直线与曲线的方程得，利用参数的几何意义列出的方程，由此求得直线的斜率，进而求得倾斜角的值.【详解】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.（2）点的坐标为.设直线的参数方程
30、为（为参数，为倾斜角），联立直线与曲线的方程得：.设的参数分别为，则 .且满足，故直线的倾斜解是或.【点睛】本小题主要考查参数方程和直角坐标方程互化，考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程中参数的运用.属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.选修45，不等式选讲已知函数 （1）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求不等式的解集【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）当时，对分离常数后，利用绝对值不等式可求得的取值范围.（2）当时，利用零点分段法去掉的绝对值，变为分段函数的形式，由此解得不等式的解集.【详解】（1）当时，转化为. ，.实数的取值范围为。（2）当时，由得或.即或解得或.故不等式的解集为.（说明：以上解解答题如用其他方法作答，请酌情给分）【点睛】本小题考查绝对值不等式的解法，考查利用分离常数法解恒成立问题，属于基础题.专心-专注-专业