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1、精选优质文档-倾情为你奉上倍长中线巧解题山东 邹殿敏中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法下面举例说明一、证明线段不等例1 如图1，在ABC中，AD为BC边上的中线求证：AB+AC2AD分析：延长AD至点E，使DE=AD，连接CE易证ABDECD所以AB=ECEB D CA图1A2 3GB E D CF1H图2在ACE中，因为AC+ECAE=2AD，所以AB+AC2AD二、证明线段相等例2 如图2，在ABC中，ABAC，E为BC边的中点
2、，AD为BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G求证：BF=CG分析：可以把FE看作FBC的一条中线延长FE至点H，使EH=FE，连接CH则CEHBEF所以CH=BF，H=1因为EG/AD，所以1=2，3=G又因为2=3，所以1=G所以H=G由此得CH=CG所以BF=CG三、求线段的长例3 如图3，ABC中，A=90，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DEDF，若BE=3，CF=4，试求EF的长分析：可以把ED看作EBC的一条中线延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，FG则CDGBDE所以CG=BE=3，2=B因为B+1=90，所以1+2=FCG=
3、90因为DF垂直平分EG，所以FG=EFAGB DFE1 C2图3在RtFCG中，由勾股定理得，所以EF=5F2 3A D 1 B EC图4四、证明线段倍分例4 如图4，CB，CD分别是钝角AEC和锐角ABC的中线，且AC=AB求证：CE=2CD分析：延长CD至点F，使DF=CD，连接BF则由ADCBDF可得AC=BF，1=A由AC=AB得ACB=2因为3=A+ACB，所以3=CBFNHGFE2B D C1 MA3再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得CBECBF，所以CE=CF，即CE=2CDCAPFEDB图6图5五、证明两直线垂直例5 如图5，分别以ABC的边AB，AC为一边在三角形
4、外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点求证：MABC分析：设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN则由FMNHMA可得FN=AH=AC，FN/AH，所以AFN+FAH=180因为BAC+FAH=180，所以AFN=BAC又因为AF=AB，所以AFNBAC，得1=2因为1+3=90，所以2+3=90，所以ADB=90从而得出MABC六、证明线段成比例例6 如图6，PAB中，C是PB上一点，且PAC=B，E为AC边的中点，PE的延长线交AB于点D求证：分析：延长PD至点F，使EF=PE，连接AF易知，PECFEA，所以CPE=F，AF=PC所以AF/PC由ADFBDP可得所以专心-专注-专业