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1、勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股数 ：满足a2b2c2的三个 正整数 叫做勾股数（ 注意： 若 a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc 同样也是勾股数组。 ） * 附：常见勾股数：3,4,5 ； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边
2、长a、b、c 满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c） ；（2）若 c2a2b2，则 ABC 是以 C 为直角的三角形；例在ABC中，a、b、c分别是A、B、C 的对边， 已知：a=13, b=12, c=5. ABC是什么三角形？4. 注意 ： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（3）在直角三角形
3、中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30。5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）利用勾股定理，作出长为n的线段类型四：利用勾股定理作长为的线段【变式】在数轴上表示的点。作法 ：如图所示在数轴上找到A 点，使 OA=3 ，作 AC OA 且截取 AC=1 ，以 OC 为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 半径，以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为。5、作长为、的线段。命题： 对于
4、两个命题， 如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。原命题 ：例如：同位角相等，两直线平行逆命题 ：例如：两直线平行，同位角相等性质：原命题为真，它的逆命题不一定为真如：原命题：全等三角形的对应角相等。真逆命题：对应角相等的两个三角形全等。假练习：下列各命题的逆命题成立的是（）A 全等三角形的对应角相等B 如果两个数相等，那么他们的绝对值相等C 两直线平行，同位角相等D 如果两个角都是45，那么这两个角相等勾股定理：（一）结合三角形：1. 以 4,5,x为边组成直角三角形 , 则 x 应满足 (
5、 ) A.241x =B.3x =C.241x=或x=3D.9x =2、下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( ) A1.5 ，2，3 B. 7，24，25 C6，8，10 D. 3，4，5 3.3 个正方形面积如图 (3) ，正方形 A的面积为 ( ) A. 6 B. 36 C. 64 D. 8 22. 一个三角形的三个内角之比为1:2:3 ，则此三角形是 _三角形；若此三角形的三边为 a、b、c，则此三角形的三边的关系是_ 4. 在ABC 中，若2a=（b+c） （b-c） ，则ABC 是三角形，且905.已知,0)10(8262cba则以a、b、c为边的三角形是6、若 AB
6、C 的三边 a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则 ABC 是( ) 图(3)A10064精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7. 在ABC 中，AB=13 ，AC=15 ，高AD=12 ，则 BC 的长为（三）求边长：1.在 RtABC中，a、b、c分别是A、B、C 的对边，已知：C=90，a=40，b=9，求c；2. 如图所示，在四边形ABC
7、D中，BAD=90，DBC=90，AD=3 ，AB=4 ，BC=12，求CD。（五）方向问题：1.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15 千米 此时轮船离开出发点多少km? 若轮船每航行1km，需耗油 0.4 升，那么在此过程中轮船共耗油多少升? （六）利用三角形面积：已知：如图， AD=3，AB=4， BAD=90 ，BC=12，CD=13，求四边形ABCD的面积2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：1直角三角形两直角边长分别为5 和 12，则它斜边上的高为 _（二）、实际应用：题型三：实际问题中应用勾股定理例 5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵
8、高2 cm，两树相距 8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了mABCDE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 分析：根据题意建立数学模型，如图8ABm，2CDm，8BCm，过点D作DEAB， 垂 足 为E， 则6AEm，8DEm。 在 R tA D E 中 ， 由 勾 股 定 理 得2210ADAEDE答案： 10m1. 梯子滑动问题：（1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），
9、如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米（2）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为米3. 爬行距离最短问题：1. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A 和 B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？2.如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A 爬到点 B， 则它走过的路程最短为 （）A. a3B. a21C. a3D.a5BAQNMP（八）折叠问题：1. 如图，矩形纸片 A
10、BCD 的长 AD=9，宽 AB=3，将其折叠，使点 D与点 B重合，那么折叠后DE的长是多少？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 2.如图，在长方形ABCD 中，将ABC 沿 AC 对折至AEC 位置，CE 与 AD 交于点 F。（1）试说明： AF=FC； （2）如果 AB=3，BC=4，求 AF 的长课后练习：1. 已知：在ABC 中，三条边长分别为a、b、c，a=12n，b=2n，c=12n（n1）试说明：C=90。2. 有一
11、次，小明坐着轮船由A 点出发沿正东方向AN 航行，在 A 点望湖中小岛M，测得MAN 30，当他到 B 点时， 测得 MBN 45，AB 100 米，你能算出 AM 的长吗？M A B N （2）如图，一个长为10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 米，3.如果梯子的顶端下滑1 米，那么，梯子底端的滑动距离1 米， （填“大于”， “等于” ，或“小于”）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 864.如图，一块砖宽
12、AN= 5 ，长 ND=10，CD上的点 F 距地面的高FD=8，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm 5.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC= 6 ， BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与 AE重合，你能求出CD的长吗？6. 如图， B=90， AB=BC=4 ，AD=2 ，CD=6 （1） ACD 是什么三角形？为什么？（2）把 ACD 沿直线 AC 向下翻折， CD 交 AB 于点 E，若重叠部分面积为4，求 DE 的长。EDCBAC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -