材料力学课本(共314页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上材料力学电子教材淮阴工学院建筑工程系2006.12专心-专注-专业主要符号表符 号A D、d EF Fcr Fd FN FQ GIy、IzIPIyziy、iz kd M、My、Mz MxMe Ms Mu Nn nr nst pPq R、r rSy、SzT t VcVvd vv v W含 义面积 直径 弹性模量 集中力 临界力 动荷载 轴力剪力 切变模量 惯性矩 极惯性矩 惯性积 惯性半径 动荷因素 弯矩扭矩 外力偶矩 屈服弯矩 极限弯矩 循环次数 安全因素，转速 疲劳安全因素 稳定安全因素 总应力，压强 功率 均布荷载集度 半径循环特征 面积矩，静矩 扭转外力偶矩 时

2、间余应变能 应变能 形状改变能密度 体积改变能密度 应变能密度 重力，外力功，弯曲 截面系数符 号Wc WP w l u bbscrd e p r s u-1 含 义余功 扭转截面系数 挠度梁横截面转角，单位长度 相对扭转角，体积应变 相对扭转角，折减因数 切应变位移 伸长（缩短）变形 线应变极限应变 柔度 长度系数 泊松比 正应力 强度极限 挤压应力 临界应力 动应力 弹性极限 比例极限相当应力，疲劳极限 屈服极限极限应力 对称循环疲劳极限 容许正应力切应力 容许切应力第一章绪论基本概念1-1材料力学的任务1-2变形固体的概念及其基本假设1-3杆件及其变形形式1-4应力1-5位移和应变1-6

3、材料力学的特点思考题 思考题习题第二章轴向拉伸和压缩2-1概述2-2拉压杆件横截面上的正应力2-3应力集中的概念2-4拉压杆件的变形2-5拉伸和压缩时材料的力学性质2-6几种新材料的力学性质简介2-7拉压杆件的强度计算2-8拉压超静定问题2-9拉压杆联接件的强度计算思考题 习题第三章扭转3-1概述3-2圆杆扭转时的应力3-3圆杆扭转时的变形扭转超静定问题3-4扭转时材料的力学性能3-5扭转圆杆的强度计算和刚度计算3-6非圆截面杆的扭转 思考题习题第四章平面弯曲4-1概述4-2梁横截面的正应力4-3梁横截面的切应力4-4梁的强度计算4-5非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面 的弯曲中心4-6梁的极

4、限弯矩和极限荷载法强度计算4-7梁的挠度和转角4-8梁的挠曲线近似微分方程4-9积分法计算梁的变形4-10叠加法计算梁的变形4-11梁的刚度计算4-12简单超静定梁 思考题习题第五章应力状态分析5-1应力状态的概念5-2平面应力状态分析5-3基本变形杆件的应力状态分析5-4三向应力状态的最大应力5-5广义胡克定律体积应变5-6应变能和应变能密度 思考题习题第六章强度理论6-1强度理论的概念6-2四种常用的强度理论6-3莫尔强度理论6-4强度理论的应用 思考题习题第七章组合变形杆件的应力分析 与强度计算7-1概述7-2斜弯曲7-3拉伸（压缩）与弯曲的组合7-4偏心压缩（拉伸）7-5截面核心7-6

5、弯曲与扭转的组合 思考题习题第八章压杆稳定8-1压杆稳定性的概念8-2细长压杆的临界力8-3压杆的柔度与压杆的非弹性失稳8-4压杆的稳定计算8-5提高压杆稳定性的措施思考题 习题第九章动荷载和交变应力9-1概述9-2构件作匀加速直线运动和匀速转动时的 应力9-3构件受冲击时的应力和变形9-4交变应力和疲劳破坏9-5交变应力的特性和疲劳极限9-6钢结构构件的疲劳计算 思考题习题第十章杆件变形计算的能量法10-1概述10-2杆件的弹性应变能10-3虚力原理10-4卡氏第二定理10-5莫尔定理 思考题习题附录 A平面图形几何性质习题附录 B型钢表习题答案 参考文献作为绪论，本章将介绍材料力学的任务、

6、研究范畴、研究对象、研究的基本方法以及材料力学课程的特点。 在材料力学中，是将物体作为变形固体，研究的对象是杆件。因此，本章还将介绍变形固体的基本假设，杆件变形的基本形式，受力杆件中的应力、变形、位移和应变等重要 的概念。第一章绪论基本概念1 1材料力学的任务1 - 2变形固体的概念及其基本假设1 3杆件及其变形形式1 - 4应力一、 外力和内力的回顾 二、 应力1 - 5位移和应变一、 位移 二、 应变1 - 6材料力学的特点 思考题习题返回总目录第一章绪论基本概念1 1材料力学的任务建筑物、机器等是由许多部件组成的，例如建筑物的组成部件有梁、板、柱和承重墙等， 机器的组成部件有齿轮、传动轴

7、等。这些部件统称为构件 (member)。为了使建筑物和机器 能正常工作，必须对构件进行设计，即选择合适的尺寸和材料，使之满足一定的要求。这些 要求是：1强度 (strength)要求构件抵抗破坏的能力称为强度。构件在外力作用下必须具有足 够的强度才不致发生破坏，即不发生强度失效 (failure)。2刚度 (rigidity)要求构件抵抗变形的能力称为刚度。在某些情况下，构件虽有足够 的强度，但若刚度不够，即受力后产生的变形过大，也会影响正常工作。因此设计时，必须 使构件具有足够的刚度，使其变形限制在工程允许的范围内，即不发生刚度失效。3稳定性 (stability)要求构件在外力作用下保持

8、原有形状下平衡的能力称为稳定性。 例如受压力作用的细长直杆，当压力较小时，其直线形状的平衡是稳定的；但当压力过大时， 直杆不能保持直线形状下的平衡，称为失稳。这类构件须具有足够的稳定性，即不发生稳定 失效。一般说来，强度要求是基本的，只是在某些情况下，才对构件提出刚度要求。至于稳定 性问题，只有在一定受力情况下的某些构件才会出现。为了满足上述要求，一方面必须从理论上分析和计算构件受外力 (external force)作用产 生的内力 (internal force)、应力 (stress)和变形 (deformation)，建立强度、刚度和稳定性计算 的方法；另一方面，构件的强度、刚度和稳定

9、性与材料的力学性质 (mechanical properties) 有关，而材料的力学性质需要通过试验确定。此外，由于理论分析要根据对实际现象的观察 进行抽象简化，对所得结果的可靠性也要用试验来检验。材料力学(mechanics of materials) 的任务就是从理论和试验两方面，研究构件的内力、应力和变形，在此基础上进行强度、 刚度和稳定性计算，以便合理地选择构件的尺寸和材料。必须指出，要完全解决这些问题， 还应考虑工程上的其它问题，材料力学只是提供基本的理论和方法。在选择构件的尺寸和材料时，还要考虑经济要求，即尽量降低材料的消耗和使用成本低 的材料；但为了安全，又希望构件尺寸大些，材

10、料质量高些。这两者之间存在着一定的矛盾， 材料力学则正是在解决这些矛盾中产生并不断发展的。材料力学作为一门科学，一般认为是在 17 世纪开始建立的。此后，随着生产的发展， 各国科学家对与构件有关的力学问题，进行了广泛深入的研究，使材料力学这门学科得到了 长足的发展。长期以来，材料力学的概念、理论和方法已广泛应用于土木、水利、船舶与海 洋、机械、化工、冶金、航空与航天等工程领域。计算机以及实验方法和设备的飞速发展和 广泛应用，为材料力学的工程应用提供了强有力的手段。1 - 2变形固体的概念及其基本假设固体在外力作用下所产生的物理现象是各种各样的，而每门学科仅从自身的特定目的出 发去研究某一方面的

11、问题。为了研究方便，常常需要舍弃那些与所研究的问题无关或关系不 大的特征，而只保留主要的特征，将研究对象抽象成一种理想的模型 (model)。例如在刚体 静力学和动力学中，为了从宏观上研究物体的平衡和机械运动的规律，可将物体看作刚体。 在材料力学中，所研究的是构件的强度、刚度和稳定性问题，这就必须考虑物体的变形， 即使变形很小，也不能把物体看作刚体。研究变形固体的力学称为固体力学或变形体力学。 材料力学是固体力学中的一个分支。变形固体的组织构造及其物理性质是十分复杂的，为了抽象成理想的模型，通常对变形 固体作出下列基本假设：（1）连续性假设 (assumption of continuity)

12、假设物体内部充满了物质，没有任何空隙。 而实际的物体内当然存在着空隙，而且随着外力或其它外部条件的变化，这些空隙的大小会 发生变化。但从宏观方面研究，只要这些空隙的大小比物体的尺寸小得多，就可不考虑空隙 的存在，而认为物体是连续的。（2）均匀性假设 (assumption of homogeneity)假设物体内各处的力学性质是完全相同 的。实际上，工程材料的力学性质都有一定程度的非均匀性。例如金属材料由晶粒组成，各 晶粒的性质不尽相同，晶粒与晶粒交界处的性质与晶粒本身的性质也不同；又如混凝土材料 由水泥、砂和碎石组成，它们的性质也各不相同。但由于这些组成物质的大小和物体尺寸相 比很小，而且是

13、随机排列的，因此，从宏观上看，可以将物体的性质看作各组成部分性质的 统计平均量，而认为物体的性质是均匀的。（3）各向同性假设 (assumption of isotropy)假设材料在各个方向的力学性质均相同。 金属材料由晶粒组成，单个晶粒的性质有方向性，但由于晶粒交错排列，从统计观点看，金 属材料的力学性质可认为是各个方向相同的。例如铸钢、铸铁、铸铜等均可认为是各向同性 材料。同样，像玻璃、塑料、混凝土等非金属材料也可认为是各向同性材料。但是，有些材 料在不同方向具有不同的力学性质，如经过辗压的钢材、纤维整齐的木材以及冷扭的钢丝等， 这些材料是各向异性材料。在材料力学中主要研究各向同性的材料

14、。变形固体受外力作用后将产生变形。如果变形的大小较之物体原始尺寸小得多，这种变 形称为小变形 (small deformation)。材料力学所研究的构件，受力后所产生的变形大多是小 变形。在小变形情况下，研究构件的平衡以及内部受力等问题时，均可不计这种小变形，而 按构件的原始尺寸计算。当变形固体所受外力不超过某一范围时，若除去外力，则变形可以完全消失，并恢复原 有的形状和尺寸，这种性质称为弹性 (elasticity)。若外力超过某一范围，则除去外力后，变 形不会全部消失，其中能消失的变形称为弹性变形，不能消失的变形称为塑性 (plasticity) 变形，或残余变形、永久变形。对大多数的工

15、程材料，当外力在一定的范围内时，所产生的 变形完全是弹性的。对多数构件，要求在工作时只产生弹性变形。因此，在材料力学中，主 要研究构件产生弹性变形的问题，即弹性范围内的问题。需要指出的是，在材料力学中，虽然研究对象是变形体，但当涉及到大部分平衡问题时， 依然将所研究的对象（杆件或其局部）视为刚体。1 3杆件及其变形形式根据几何形状的不同，构件可分为杆（bar）、板和壳（plate and shell）、块体 （solid block） 三类。材料力学主要研究杆（或称杆件），其它几类构件的分析需用弹性力学的方法。杆在各种形式的外力作用下，其变形形式是多种多样的。但不外乎是某一种基本变形(basi

16、c deformation)或几种基本变形的组合。杆的基本变形可分为：1轴向拉伸或压缩 (axial tension or compression)直杆受到与轴线重合的外力作用时， 杆的变形主要是轴线方向的伸长或缩短。这种变形称为轴向拉伸或压缩，如图 1-1(a)、(b) 所示。2扭转(torsion)直杆在垂直于轴线的平面内，受到大小相等、方向相反的力偶作用 时，各横截面相互发生转动。这种变形称为扭转，如图 1-1(c)所示。3弯曲 (bending)直杆受到垂直于轴线的外力或在包含轴线的平面内的力偶作用时， 杆的轴线发生弯曲。这种变形称为弯曲，如图 1-1(d)所示。杆在外力作用下，若同时

17、发生两种或两种以上的基本变形，则称为组合变形 (complex deformation)。图 1-1杆件的几种基本变形 本书先研究杆的基本变形问题，然后再研究杆的组合变形问题。1 - 4应力一、 外力和内力的回顾构件所受到的外力包括荷载(load)和约束反力 (reaction of constraint)。外力可从不同的角 度分类。这在静力学基础中已有详述。构件在外力作用下发生变形的同时，将引起内力。在静力学基础中已经介绍了内力 的有关概念。对于杆件，最有意义的是横截面上的内力。为了显示和计算杆件的内力，需用截面法(method of section)。截面法主要有以下三个步骤：（1）截开：

18、在需要求内力的截面处，用一假想截面将杆件截为两部分；（2）代替：移走其中任一部分，将其对留下部分的作用用该截开面上的内力(力或力偶)来代替；（3）平衡：对留下部分建立平衡方程，根据该部分所受的已知外力来计算截开面上的 未知内力。各种基本变形杆件横截面上的内力和内力图的有关问题，在静力学基础第六章中均 已作了详述。二、 应力实际的物体总是从内力集度最大处开始破坏的，因此只按静力学中所述方法求出截面上 分布内力的合力(力和力偶)是不够的，必须进一步确定截面上各点处分布内力的集度。为此， 必须引入应力的概念。在图 1-2（a）中受力物体 B 部分的 截面上某点 M 处的周围取一微面积 A，设其上分布

19、内力的合力为F。F 的大小和指向随A 的大小而变。F/ A 称为面积A 上分布内力的平均集 度，又称为平均应力。如令A0，则 比值F/A 的极限值为p = lim Ft 0 A图 1-2一点处的应力它表示一点处分布内力的集度，称为一点处的总应力。由此可见，应力是截面上一点处分布 内力的集度。为了使应力具有更明确的物理意义，可以将一点处的总应力 p 分解为两个分量： 一个是垂直于截面的应力，称为正应力(normal stress)，或称法向应力，用表示；另一个是 位于截面内的应力，称为切应力 (shear stress)，或切向应力，用表示，如图 1-2(b)所示。 物体的破坏现象表明，拉断破坏

20、和正应力有关，剪切错动破坏和切应力有关。今后将只计算 正应力和切应力而不计算总应力。应力的量纲是 ML1T 2 。在国际单位制中，应力的单位名称是帕斯卡，符号为 Pa， 也可以用兆帕(MPa)或吉帕(GPa)表示，其关系为：1MPa=106Pa，1GPa=103MPa=109Pa。1 - 5位移和应变物体受力后，其形状和尺寸都要发生变化，即发生变形。为了描述变形，现引入位移和 应变 (strain)的概念。一、 位移线位移 (linear deformation)物体中一点相对于原来位置所移动的直线距离称为线位移。 例如图 1-3 所示直杆，受外力作用弯曲后，杆的轴线上任一点 A 的线位移为

21、AA。角位移 (angular deformation)物体中某一直线或 平面相对于原来位置所转过的角度称为角位移。例如 图 1-3 中，杆的右端截面的角位移为。图 1-3杆件的变形位移 上述两种位移，是变形过程中物体内各点作相对运动所产生的，称为变形位移。变形位移可以表示物体的变形程度，例如图 1-3 所示的直杆，由杆的轴线上各点的线位移和各截面 的角位移就可以描述杆的弯曲变形。但是，物体受力后，其中不发生变形的部分，也可能产生刚体位移。 本书仅讨论物体的变形位移。物体的刚体位移已在动力学中讨论过，本书将直接引用。一般来说，受力物体内各点处的变形是不均匀的。为了说明受力物体内各点处的变形程度

22、， 还须引入应变的概念。二、 应变设想在物体内一点 A 处取出一微小的长方体，它在 xy 平面内的边长为x 和y，如图 1-4 所示(图中未画出厚度)。物体受力后，A 点位移至 A点，且长方体的尺寸和形状都 发生了改变，如边长x 和y 变为x和y，直角变为锐角(或钝角)，从而引出下面两 种表示该长方体变形的量：线应变(linear strain)段长度的改变称为线变形，如图 1-4 中的x-x 和y-y。但 是，线段长度的改变显然随线段原长的不同而变化。为避免线段原长的影响，现引入线应变 (即相对变形)的概念。设线应变用表示，类似于应力的定义，线应变定义为 = lim x x(1 2a)xt

23、0x= lim y y(1 2b)yt 0y式中x 和y 表示无限小长方体在 x 和 y 方向的线应变，也就是 A 点处 x 和 y 方向的线应变。线应变是一个量纲为 1 的量。切应变 (shear strain)通过一点处的 互相垂直的两线段之间所夹直角的改变 量称为切应变，用表示。例如在图 1-4 中，当x0 和y0 时直角的改变量 为 = + (1-3)这就是 A 点处的切应变。切应变图 1-4一点处的应变通常用弧度表示，也是量纲为 1 的量。 线应变和切应变是描述物体内一点处变形的两个基本量，它们分别和正应力与切应力有联系，以后将作介绍。1 - 6材料力学的特点材料力学是固体力学的一个

24、分支，是土建、水利、机械、航空航天等专业的一门技术基 础课程。它的理论、概念和方法无论对工程设计或力学分析以及较多的后续课程都是必不可 少的。材料力学的特点是：（1）内容的系统性比较强材料力学内容的主线是分析和计算杆的应力和变形；根据 杆的危险点处的应力进行强度计算；在某些情况下，求出杆的最大变形进行刚度计算；对一定受力情况下的某些杆进行稳定计算。先研究杆的基本变形，再研究组合变形。主要研究静 荷载下的应力和变形问题，再研究一些动荷载问题和交变应力问题。主要研究材料处于弹性 范围的应力和变形，对有些超过弹性范围的问题，只作简单介绍。（2）有科学的研究方法分析杆的应力和变形，必须基于杆件在各种力

25、作用下处于平 衡，以及杆件各部分的变形互相协调这两个前提，因而只用静力学的方法是不够的。材料力 学的方法是通过试验现象的观察和分析，忽略次要因素，保留主要因素，在基本假设之外， 再作某些假设，然后综合静力学方面、变形的几何方面和物理方面的条件，即综合应用平衡、 变形协调和物性关系三方面的方程，导出应力和变形的理论计算公式，最后通过实验检验理 论公式的正确性。在材料力学中采用某些假设，是为了简化理论分析，以便得到便于实用的 计算公式。而利用这些公式计算得到的结果，可以满足工程上所要求的精度。（3）与工程实际的联系比较密切材料力学研究的内容既然是工程设计的理论基础， 必然会遇到工程实际问题如何上升

26、到理论，在理论分析时又如何考虑实际情况的问题。例如， 如何将实际的构件连同其所受荷载和支承等，简化为可供计算的力学模型；在分析和计算时 要考虑实际存在的主要因素以及设计制造上的方便性和经济性，等等。当然，很多实际问题 的分析和处理，在专业的学科上要全面研究，但在材料力学中也应注意。（4）概念、公式较多材料力学中有较多的概念，这些概念对于理解内容、分析问题 及正确运用基本公式，以至于对今后从事工作时如何分析和解决实际问题，都是很重要的， 必须引起足够的重视。在学习时切不可只满足于背条文、代公式、囫囵吞枣、不求甚解。材 料力学中有不少公式，但基本的公式并不多。只要能正确理解基本公式，用前后联系、互

27、相 对比的方法，并多做习题，就能够熟练地运用这些公式。了解材料力学的特点后，只要认真学习、多思、善思、多发现问题，并注意培养自己分 析问题、解决问题和创新思维的能力，同时注意培养计算能力及实验能力，就一定能学好这 门课程。思考题1-1何谓强度?何谓刚度?何谓稳定性?1-2材料力学的研究对象是什么?对它们作了哪些假设和哪些研究范围的规定?1-3杆件变形的基本形式有哪几种?它们的外力特征和变形特征各是什么?1-4何谓应力?应力与内力有何区别?又有何联系?1-5何谓变形位移?它与刚体位移有何区别?1-6何谓应变?它与变形位移有何关系?1-7在静力学和动力学中，将研究的对象看作是刚体；而在材料力学中，

28、又将研究的 对象看作是变形固体，是何原因?习题1-1图示一厂房结构的示意图，试分析桥式吊车、吊车梁、屋架弦杆及柱会产生怎样 的变形?题 1-1 图1-2图 A（a）中的杆、右端的力偶 M e 是否能搬移到图 A（b）中的位置?图 B（a）中 杆上的均布荷载能否用图 B（b）中作用在杆中点的等效集中力代替?题 1-2 图返回总目录第二章轴向拉压是杆件的基本变形之一。本章首先介绍轴向拉压杆件横截面上的应力、轴向拉压杆件的变形，并导出了胡克定律。然后介绍拉、压时典型塑性材料和脆性材料的力学 性质和一些重要性能指标（如s，b，E 等）及其实验测定方法。并对复合材料和粘弹性 材料及其力学性能作了简介。本

29、章还介绍拉压杆件的强度计算、拉压超静定问题和拉压杆 联接件的强度计算。第二章轴向拉伸和压缩2 - 1概述2 - 2拉压杆件横截面上的正应力一、 正应力公式 二、 圣文南原理2 3应力集中的概念- 4拉压杆件的变形一、 轴向变形胡克定律 二、 横向应变2 - 5拉伸和压缩时材料的力学性质一、拉伸时材料的力学性质 二、压缩时材料的力学性质 三、塑性材料和脆性材料的比较2 - 6几种新材料的力学性质简介一、复合材料 二、粘弹性材料2 - 7拉压杆件的强度计算一、容许应力和安全因数 二、强度条件和强度计算2 - 8拉压超静定问题2 - 9拉(压)杆联接件的强度计算一、简单铆接接头 二、铆钉群接头思考题

30、 习题 习题答案返回总目录第二章轴向拉伸和压缩2 - 1概述工程中有些构件，例如，桁架中的桁杆，万能试验机的立柱等，所受外力的作用线与杆 轴线重合，即承受轴向荷载。这时，杆件将沿轴向伸长（缩短）、沿横向收缩（或扩张）。这 类杆件称为轴向拉伸（压缩）杆件。轴向拉压是杆件的基本变形形式之一。在研究杆件的应力、变形时，必须首先知道杆件的内力。 对于轴向拉压杆件，其横截面上只有与杆轴线重合的内力，此内力就称为轴力（axialforce），记为 FN，其正负号规定为：轴力指向与横截面外法线方向一致为正，反之为负，即： 拉为正，压为负。其大小可按截面法由平衡方程求得。当轴向拉(压)杆件所受外力较复杂时，在

31、杆不同部位横截面上的轴力一般不相同。在进 行应力与变形分析时，通常需要知道杆的各个横截面上的轴力、最大轴力及其所在横截面的 位置，因此需作出表示轴力与截面位置关系的变化图线，即轴力图。在画轴力图时首先应确定控制面（control section），集中力作用点处两侧的横截面、分 布荷载的起始作用点和终止作用点处的横截面，都是控制面。计算出控制面的轴力值，再根 据相邻控制面之间的荷载情况，画出轴力图。相邻两控制面间，若无荷载，该段轴力图为水 平线（或竖直线）；若为均布荷载，该段轴力图为斜直线。轴力图在集中力作用处有突变， 突变值即为该集中力的值。2 - 2拉压杆件横截面上的正应力一、 正应力公式

32、轴向拉伸(压缩)杆件横截面上的内力是轴力。为了了解轴力在横截面上的分布情况，需 要知道横截面上的应力。由于轴力垂直于横截面，故横截面上各点处必定有正应力 ，且 轴力只能由微内力 dA 合成。但要计算应力的大小，需要先确定横截面上的应力分布规律。 而应力的分布和杆的变形情况有关，因此需通过实验观察找出变形的规律，即变形的几何关系；然后利用变形和力之间的物理关系得到应力分布规律；最后由静力学关系方可得到横截 面上正应力的计算公式。以下就从这三个方面进行分析。1 几何关系 取一根等截面直杆，未受力之前，在杆的中部表面上画许多与杆轴线平 行的纵线和与杆轴线垂直的横线；然后 在杆的两端施加一对轴向拉力

33、F，使杆 产生伸长变形，如图 2-1(a)所示。由变 形后的情况可见，纵线仍为平行于轴线 的直线，各横线仍为直线并垂直于轴 线，但产生了平行移动。横线可以看成 是横截面的周线，因此，根据横线的变 形情况去推测杆内部的变形，可以作出如下假 设： 变形前 为平 面的横 截面 ，图 2-1拉伸变形变形后仍为平面。这个假设称为平截面假设或平面假设 (plane assumption)。 由平面假设可知，两个横截面间所有纵向“纤维”的伸长是相同的，而这些“纤维”的原长相同，于是可推知它们的线应变相同，这就是变形的几何关系。2. 物理关系 根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维”

34、的线应变相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力引起，故可推知横截面上各点处的正应力相同， 即在横截面上，各点处的正应力 为均匀分布，如图 2-1(b)所示。3. 静力学关系由静力学求合力的方法，可得FN = dA = dA = AAA由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为 = FNA(2-1)式中 A 为杆的横截面面积。如果杆受到轴向压力，同样可以得到(2-1)式。正应力的正负号与轴力的正负号相对应，即拉应力为正，压应力为负。由(2-1)式计算得到的正应力大小，只 与横截面面积有关，与横截面的形状无关。此外，对于横截面沿杆长连续缓慢变化的变截面 杆，其横截面上的正应力也可用上式作近似计

35、算。二、 圣文南原理必须指出，杆端外力的作用方式不同时，例如分布力或集中力，对横截面上的应力分布 是有影响的。但法国科学家圣文南(SaintVenant)指出，当作用于弹性体表面某一小区域上的 力系，被另一静力等效的力系代替时，对该区域附近的应力和应变有显著的影响，而对稍远 处的影响很小，可以忽略不计。这一结论称为圣文南原理 (aint Venant principle)。它已被 许多计算结果和实验结果所证实。因此，杆端外力的作用方式不同，只对杆端附近的应力分 布有影响。在材料力学中，可不考虑杆端外力作用方式的影响。例 2-1图 2-2 示一小吊车架，吊车及所吊重物总重为W =18.4kN。拉

36、杆 AB 的横截面 为圆形，直径 d=15mm。试求当吊车在图示位置时，AB 杆横截面上的应力。解由于 A，B，C 三处用销钉联结，故可视为铰接，AB 杆受轴向拉伸。由平衡方程 M C= 0 ，求得 AB 杆的轴力为F= 18.4kN 0.6m = 18.4kNN1.2m sin 30o再由（2-1）式，求得 AB 杆横截面上的正应力为.3 = FN =FN=18.4 10 NA1 d 241 (0.015)2 m24= 104.2 106 N / m 2 = 104.2MPa图 2-2例 2-1 图显然，当吊车在 BC 杆上行驶到其它位置时，AB 杆的应力将发生变化。 在材料力学中，最重要的

37、是求出杆内的最大应力，因为根据最大应力的大小，可以判定杆是否有足够的强度。一般情况下，杆各横截面上的轴力和横截面的面积都未必相同，这就 需要具体分析哪个截面的正应力最大。对于等直杆，轴力最大的横截面上正应力也最大。所 以通常将内力图中数值最大的位置所在的截面称为危险截面(critical section)。2 3应力集中的概念工程中有些杆件，由于实际的需要，常有台阶、孔洞、沟槽、螺纹等，使杆的横截面在 某些部位发生急剧的变化。理论和实验的研究发现，在截面突变处的局部范围内，应力数值 增大，这种现象称为应力集中 (stress concentration)。例如图 2-3（a）为一受轴向拉伸的直

38、杆，在轴线上开一小圆孔。在横截面 11 上，应 力分布不均匀，靠近孔边的局部范围内应力很大，在离开孔边稍远处，应力明显降低，如图2-3（b）所示。在离开圆孔较远的 22 截面上，应力仍为均匀分布，如图（2-3）。图 2-3孔口应力分布图 当材料处在弹性范围时，用弹性力学方法或实验方法，可以求出有应力集中的截面上的最大应力和该截面上的应力分布规律。该截面上的最大应力 max 和该截面上的平均应力 0之比，称为应力集中系数 ，即 = max 0(2-2)式中 0=F/A0，A0 为 1-1 截面处的净截面面积。是 大于 1 的数，它反映应力集中的程度。只要求得0 值 及值，即可求出最大应力max。

39、不同情况下的值 一般可在设计手册中查到。在水利工程结构中也经常遇到应力集中问题。例 如图 2-4 所示的混凝土重力坝中，为了排水、灌浆、观 测等需要，常在坝体内设置一些廊道。在图 2-4重力坝廊道周边附近也会引起应力集中。因此，在设计重力坝时，常需要用理论或实验的方法专门 对廊道附近区域进行应力分析。- 4拉压杆件的变形杆受到轴向外力拉伸或压缩时，在轴线方向将伸长或缩短，而横向尺寸将缩小或增大， 即同时发生纵向(轴向)变形和横向变形。例如图 2-5 所示的杆，长度为 l ，设横截面为正方形，边长为 。当受到轴向外力拉伸后， l 增至 l ， 缩小到 ，现分别介绍这两种变形的计算。图 2-5拉伸

40、变形一、 轴向变形胡克定律杆的轴向伸长为 l = l l ，称为杆的绝对伸长。实验表明，当杆的变形为弹性变形时， 杆的轴向伸长 l 与拉力 F 、杆长 l 成正比，与杆的横截面面积 A 成反比，即l FlA引进比例常数 E，并注意到轴力 FN = F ，则上式可表示为l = FN lEA（2-3）这一关系是由胡克 (Hooke)首先发现的，故通常称为胡克定律(Hooks law)。当杆受轴向外力压缩时，这一关系仍然成立。(2-3)式中的 E 称为拉伸(或压缩)时材料的弹性模量(modulus of elasticity)。E 值越大，杆的变形越小；E 值越小，杆的变形越大。E 值的大小因材料而

41、异，通过试验测定。E 的量纲是 L1 MT 2 ，常用单位是 MPa 或 GPa。工程上的大部 分材料在拉伸和压缩时的 E 值可认为是相同的。（2-3）式中的 EA 称为杆的拉伸（压缩）刚度 （tension or compressive rigidity），当 FN和 l 不变时，EA 越大，则杆的轴向变形越小，EA 越小，则杆的轴向变形越大。应用（2-3）式可求出杆的轴向变形，但需注意该式的适用条件。该式只适用于 FN 、A、E 为常数的一段杆内，且材料在线弹性范围内。绝对变形 l 的大小与杆的长度 l 有关，不足以反映杆的变形程度。为了消除杆长的影 响，在均匀变形的情形下，将（2-3）式

42、变换为l = FN 1lA E式中 l / l =，称为轴向线应变。它是相对变形，表示轴向变形的程度。又 FN / A = ，故上式可写为 = E或 = E(2-4)上式表示，当变形为弹性变形时，正应力和同一方向的线应变成正比，这是胡克定律的另一种形式。这一关系式非常重要，在理论分析和实验中经常用到。二、 横向应变图 2-5 所示的杆，其横向尺寸缩小，故横向应变为 = = 显然，在拉伸时，为正值，为负值；在压缩时，为负值，为正值。由实验可知，当变形为弹性变形时，横向应变和轴向应变的比值的绝对值为一常数，即 = 或 = (2-5)称为泊松比 (Poisson ratio)，是由法国科学家泊松首先得到的。为量纲为 1 的量，其数 值因材料而异，由实验测定。弹性模量 E 和泊松比都是材料的弹性常数，表 2-1 给出了一些常用材料的 E，值。表 2-1常用材料的 E，值材料E（GPa）钢1902200.250.33铜及其合金741300.310.36灰口铸铁601650.230.27铝合金710.260.33花岗岩480.160.34石灰岩410.160.34混凝土14.7350.160.18橡胶0.00780.47顺纹912木材横纹0.49例 2-2一矩形截面杆，长 15m，截面尺寸为 50100mm2。当杆受到 100kN 的轴向拉 力作用时，由实验方法测得杆伸