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1、精选优质文档-倾情为你奉上2015年度本科生毕业论文（设计）向量运算在中学几何中的应用教 学 系： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2011级 姓 名： 吴朝文 学 号： 048 导师及职称： 陆亚哲 讲师 2015年 5 月毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解文山
2、学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名：日期： 日期： 吴朝文毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注刘常福教授文山学院组长邹敏副教授文山学院陆亚哲讲师文山学院廖军副教授文山学院秘书专心-专注-专业摘 要向量是数学中的重要概念，在中学几何中有着广泛的应用，是数学的重要工具。本文主要应用分析法，用向量的基本性质、
3、定理，举例分析了如何使用向量解决几何中平行、垂直的证明，和长度、面积、体积的求值问题。有些几何问题用几何法解决往往比较复杂，运用向量来分析几何问题，作形与数的转化，将几何问题代数化，淡化了几何法由“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化。用向量方法分析几何的证明、计算问题，以数代形，用代数的运算处理几何问题。目的在于培养学生的数形结合思想，体验学习数学的乐趣。关键词：向量；数形结合；向量几何Application of vector operation in middle schools geometryABSTRACTVector is an important concept in ma
4、thematics. Vector has been widely used in the secondary geometry. Vector is an important tool of mathematics. This paper mainly used analysis method. Vector properties and theorems. For example, an analysis of how to use vector to solve the problem of geometry in parallel, perpendicular to the probl
5、em of proof, and length, area, volume, the evaluation problem.Some geometric problems by solving geometric method is often more complicated. The use of vector analysis to geometric problems. As the number and shape transformation. The problem of algebraic geometry. Dilute the geometry from form to t
6、he shape of the reasoning process. Problem solving has become routine.By using the vector method, the geometric proofs and geometric calculation analysis. Replace the shape with the number, using algebraic operations to deal with the problem geometry. The purpose is to cultivate students the combina
7、tion of thought. Experience the fun of learning mathematics.Keywords: vector;the combination of number and shape;geometry目 录一、 引 言向量在数学、物理中有着广泛的应用，它具有代数和几何形式，是数形结合的重要工具。向量的引入促进了几何的代数化。而在中学数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用几何方法去求解比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，用代数方法研究几何证明、计算问题，思路清晰、过程简洁。二、 用向量法解几何证明问题在几何中涉及到平行、垂直的问题中，可以适当地
8、构造向量，利用向量的数量积的几何意义和运算法则，将其转化为向量的运算。2.1平行问题2.1.1 两直线平行定理2.1 向量与非零向量共线，那么有且只有一个实数，使得。若点；若向量，且，有直线。例2.1 已知直线平面，直线平面，点为垂足，求证：。分析 在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行。证明 如图2-1，以点为原点，以直线为轴，建立空间直角坐标系，设为沿，轴的单位向量，设，由于，又知为两个不同的点，。 图 2-12.1.2 线面平行若是直线平面外的一条直线，点，平面的法向量为，即，则直线平面。已知平面外的直线的方向向量为，是平面的一组基底，若，则直线平面1。例2.2 如
9、图2-2，正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，点、分别是对角线上的一点，且，求证：平面。分析 证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示，则可得面内一直线与面外的直线平行，从而证明线面平行。证明 设 ， 平面。 图 2-22.1.3 面面平行不重合的两平面与的法向量分别是和，。方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行。不重合的两平面与，面的法向量为，若那么平面。分析 求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为，则可得两平面平行。2.2 垂直问题2.2.1 两直线垂直定义2.1 已知向量，把叫做的数量积，记作，即。定义2.2 如果表示向量的有
10、向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作平面,这时向量叫做平面的法向量。 不重合的直线和直线的方向向量分别为和，则有，则直线。例2.3 已知四棱锥的底面为等腰梯形，其中垂足为，是四棱锥的高，中点。证明：。证明 如图2-3，以为原点， 分别为轴，建立空间直角坐标系，由已知可设,，为的中点有，可得，所以，直线。 图 2-3 2.2.2 线面垂直直线的方向向量为，平面的方向向量为，则有。例2.4 已知直线的方向向量，平面的法向量，证明：直线。证明 由于，直线。分析 找直线的方向向量及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直。2.2.3 面面垂直（1）不重合的平面与的法向量分别为
11、和，则有2。（2）平面的法向量为，是平面的一组基底，则有，即平面。 图 2-4方法思路：找平面的法向量，只需证明两法向量数量积为，则可证明两平面垂直。例2.5 在正方体：（1）求证：；(2)证明平面。分析 涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题。证明 如图2-5，建立空间直角坐标系，并设，则。（1）设与 ， 由（1）知又，方法思路：找其中一平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底线性表示。求法向量的方法：设平面ABC的法向量为；在平面内找出两条相交直
12、线所对应的向量：,；建立方程组解出。即得到平面的法向量。2.3 利用向量方法证明平行和垂直的原理表2-1证明分类示意图所需条件证明原理平行的证明线线平行（1）直线方向向量；（2）直线方向向量线面平行（1）直线方向向量；（2）平面的法向量直线平面面面平行（1）平面的法向量（2）平面的法向量平面平面垂直的证明线线垂直（1）直线方向向量；（2）直线方向向量线面垂直（1）直线方向向量；（2）平面的法向量直线平面 （1）直线方向向量；（2）平面内两相交直线的方向向量,=0=0三、 用向量法解几何求值问题3.1 求距离两点间距，将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公
13、式，即空间两点，则。 图3-1点到直线距离，如图3-1向量在向量的射影长为，则点到直线的距离等于。 两异面直线的距离，是异面直线，找一向量与两异面直线都垂直的向量，则两异面直线的距离 。 例3.1 如图3-2，三棱柱中，已知是边长为的正方形，四边形是矩形，若，求直线到面的距离。分析 求异面直线的距离，先找与两异面直线都垂直的向量，然后在两异面直线上任取一点，则距离就是在向量上的投影长度。解 如图建立空间坐标系，设面的法向量为，则,得，直线到平面的距离就等于点到平面的距离，也等于向量在 图3-2 面的法向量上的投影的绝对值。3.2 求面积平行四边形面积；三角形的面积3。例3.2 已知空间三点：（
14、1）求三角形的面积，（2）求三角形的边上的高。解 （1），所以三角形的面积是。（2）因为三角形的边上的高即是平行形四边形的边上的高，所以，又因为 ，所以。3.3 求体积定义3.14 向量，把叫做与的向量积，设分别为轴方向的单位向量,则。三个不共面向量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积，四面体的体积等于以即。为棱的平行六面体体积的六分之一，即5。例3.3 已知空间四点的坐标，求四面的体积。分析 用向量求解已知顶点的体积，可以省略画图，直接公式求解。解 因为,所以四面体的体积。3.4 求二面角两直线所成的角为，有：例3.4 三棱锥平面若，求的大小？解 如图3-3建立空间直角坐标系， 图3
15、-3，设平面,的法向量为：，则，得，= ，。方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式求解 。3.5 求线面角设平面的斜线与面所成的角为，是面的法向量，则有: 例3.5 直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，分别是与的中点，点E在平面上的射影是的重心。求与平面所成角的大小。解 如图3-4所示，建立坐标系，坐标原点为，设，则， 为平面ABD的法向量，且。与平面所成角的余弦值是。 图 3-4 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式。3.6 从直线的方向向量中得到直线的斜率在直线上任取两点，则为直线的方向向量，当时，而即为直线的斜率。例3.6
16、已知常数，向量，经过原点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点，其中。问：是否存在两个定点、，使得为定值。若存在，求出、的坐标；若不存在，说明理由。分析 本题的关键是从直线的方向向量中求得过点的两条直线方程，用交轨法求得点的轨迹方程,据此再判断是否存在两定点，使得点到两定点距离的和为定值。 解 因此，直线的方程分别为和,消去参数，得点的坐标满足方程,整理得 ，因为所以得： （1）当时，方程是圆的方程，故不存在合乎题意的定点和；（2）当时，方程表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；（3）当时，方程表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点。3.7向量法解几何求值原理表 3-1分类示意图
17、所需条件证明原理两异面直线所成角（1） 直线方向向量（2） 直线方向向量(0，)线面角（1） 直线OA的方向向量；（2） 平面的法向量(0，)二面角同进同出为互补（1） 平面的法向量（2） 平面的法向量（0，）锐角余弦就取正值钝角余弦就取负值一进一出为相等两异面直线间的距离（1） 直线和直线的公垂线的方向向量；（2） 上任意一点，上任意一点，构成向量点面距离点到平面的距离（1）点A和平面内任意一点B构成一个向量；（2） 平面的法向量线面距离点面距离面面距离点面距离向量与解析几何的融合充分体现了数学中的数形结合思想,解决这类问题的关键是利用向量的坐标表示,将问题中的形转化为数的关系,是解析几何新
18、的解题思想。四、 结束语用向量法解决几何问题的方式有两种：一是直接用向量的代数式运算，二是用向量的坐标运算。一般来说，向量的坐标运算，思维量更少，运算技巧更低，更容易掌握，因此这也是我们常用的向量方法。若所给图形不容易建立空间直角坐标系，我们也可以用向量的代数式运算来解决问题，但其技巧性相对较高，逻辑推理能力的要求高。用向量坐标运算解题步骤：（1）建立空间直角坐标系。注意尽可能用已经存在的过同一个点的两两垂直的三线，如果没有三线，也尽量找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直，按右手系建立坐标，所写点的坐标要与所建立的坐标系相一致。（2）写出需要用到的点的坐标。（3）写出所要用到的向量坐标。（4）
19、通过计算解决具体问题。可以把解决几何问题的思考过程分三步走。第一步，若此题用综合法很简单，那就不必用向量法。第二步，用综合法解决有困难，而图形又适合建立空间直角坐标系，可以通过向量的坐标运算解决问题。第三步，用综合法解决有困难，而图形又不容易建立空间直角坐标系，考虑用向量的代数式运算来解决问题。总之，向量在几何中的应用为我们解决几何问题提供了新的解题思路和方法，打破了传统解法“一作、二证、三计算”的模式，突破了传统解法中“添置辅助线”的难点，将几何中“形”的问题转化为“数”的问题，开创了解几何问题的新模式。参考文献1 王后雄.高考完全解读M.中国青年出版社,2014:16-18.2 黄爱民.用
20、向量法求解析几何综合题J.数学通报,2012,102(6):25-29.3 孙晓雄.向量在立体几何中的应用J.考试周刊,2008,98(6):20-21. 4 李雪霞.空间向量在立体几何中的应用J.高中数学教与学,2015,96(8):96-98. 5 张萍.浅谈用向量法解立体几何题J.中学数学研究,2014,101(4):37. 致 谢大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多。首先诚挚的感谢我的论文指导老师陆亚哲老师。她在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文。导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不禁使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处事的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导新完成的，倾注了导师大量的心血。在此谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！还有感谢数学学院的所有老师们，你们严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习的榜样；你们循循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。其次感谢四年中陪伴在我身旁的同学、朋友、感谢你们为我提出的有意的建议和意见，有了你们的支持、鼓励和帮助，我才能充实的度过了四年的学习生活。