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1、精选优质文档-倾情为你奉上 椭圆题型总结 (简单) 一、 椭圆的定义和方程问题(一) 定义:1. 命题甲:动点到两点的距离之和命题乙: 的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知、是两个定点，且,若动点满足则动点的轨迹是（）A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段3. 已知、是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得,那么动点的轨迹是( )A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点4. 椭圆上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中心，则的值是 。5. 选做：F1是椭圆的左焦点，P在椭圆上
2、运动，定点A（1，1），求的最小值。7. (1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为_(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。8、F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。（1）的最小值为 （2）的最小值为 (二) 标准方程求参数范围1. 试讨论k的取值范围，使方程表示圆，椭圆，双曲线。（）2. ( )A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，所在的象限是（ ）A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三
3、象限 D. 第四象限4. 方程所表示的曲线是 .5. 已知方程表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是 (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，5），椭圆上一点到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,求椭圆方程.2. 简单几何性质1 求下列椭圆的标准方程（1）； （2）过（3，0）点，离心率为。 （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是。（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5
4、，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为（5）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。3过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若，则椭圆的离心率为_（四）椭圆系共焦点，相同离心率1 椭圆与的关系为（） A相同的焦点 B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴 D。有相等的焦距2、求与椭圆有相同焦点，且经过点的椭圆标准方程。 （五）焦点三角形4a1. 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点。若，则 。2. 已知、为椭圆的两个焦点，过且斜率不为0的直线交椭圆于、两点，则的周长是 。3. 已知的顶点、在椭圆上，顶点
5、是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长为 。（六）焦点三角形的面积： 1. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，求点到轴的距离。2. 设是椭圆上的一点，、为焦点，求的面积。3. 已知AB为经过椭圆的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则AFB的面积的最大值为 。（七）焦点三角形1. 设椭圆的两焦点分别为和，为椭圆上一点，求的最大值，并求此时点的坐标。2. 椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 ； 。3. 椭圆的焦点为、，为其上一动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围为 。4. P为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点。（1）若的中点是，求证：；（2）若，求的值。（八）与椭圆相关的轨
6、迹方程定义法：1. 点M(x,y)满足，求点M的轨迹方程。（）2. 已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程.3. 已知圆,圆，动圆与外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程.4. 已知，是圆（为圆心）上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为 5. 已知A(0,-1),B(0,1),ABC的周长为6，则ABC 的顶点C的轨迹方程是 。直接法6. 若的两个顶点坐标分别是和，另两边、的斜率的乘积是，顶点的轨迹方程为 。相关点法7. 已知圆，从这个圆上任意一点向轴引垂线段，垂足为，点在上，并且，求点M的轨迹。8. 已知圆，从这个圆上任意一点P向X轴引垂线段PP，则线段PP
7、的中点M的轨迹方程是 9. 已知椭圆，A、B分别是长轴的左右两个端点，P为椭圆上一个动点，求AP中点的轨迹方程。10. 一条线段的长为，两端点分别在轴、轴上滑动 ，点在线段上，且,求点的轨迹方程.二、 直线和椭圆的位置关系 (一)判断位置关系1 当为何值时,直线和椭圆 (1)相交；(2)相切；(3)相离。2 若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围为 。 (二)弦长问题1. 设椭圆的左右两个焦点分别为、，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为。（1） 求椭圆的方程；（2） 设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线交椭圆C于另一点N，求的面积。 (三)点差法1. 已知一直线与椭圆
8、 相交于、两点,弦的中点坐标为，求直线AB的方程. 2. 椭圆C以坐标轴为对称轴，并与直线l:x+2y=7相交于P、Q两点，点R的坐标为（2，5），若为等腰三角形，求椭圆C的方程。(四) 定值、定点问题1、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点 ， 求证：为定值. (五) 取值范围问题已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上.若右焦点到直线的距 离为3.（1）求椭圆的方程.（2）设直线与椭圆相交于不同的两点.当时，求的 取值范围椭圆题型总结一、焦点三角形1. 设F1、F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过F2，求的面积的最大值。2. 如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：(1) 求点P
9、的轨迹方程；(2) 若，求点P的坐标.二、点差法定理 在椭圆（0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.3. 直线l经过点A(1，2)，交椭圆于两点P1、P2，（1）若A是线段P1P2的中点，求l的方程；（2）求P1P2的中点的轨迹4. 在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q.（1）求的取值范围；（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.三、最值问题5. 已知P为椭圆上任意一点，M（m，0）（mR），求PM的最小值。6. 在椭圆求一点P，
10、是它到直线l：x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。7. 设AB是过椭圆中心的弦，F1是椭圆的上焦点，（1）若ABF1面积为4，求直线AB的方程；（2）求ABF1面积的最大值。8. （2014金山区一模23题）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为. 记曲线是以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆. 设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上异于椭圆中心的点. （1） 求椭圆的标准方程；（2） 若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；（3） 若是与椭圆的交点，求的面积的最小值. 9. 设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点，与椭圆相交于、两
11、点（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值四、垂直关系10.（上海春季）已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、。(1) 若为等边三角形，求椭圆的方程；(2) 若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程。11. 如图，设椭圆的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M、N两点，问是否存在直线l使得F为的垂心。若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。12. （2012年高考（湖北理）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足。当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线。（）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐
12、标；（）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点。是否存在，使得对任意的，都有?若存在，求的值；若不存在，请说明理由。图2 图3 图1O D xyAM13. （10浙江/21）已知m1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. (1) 当直线过右焦点时，求直线的方程；(2) 设直线与椭圆C交于A、B两点，的重心分别为.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围. 14. （09山东/22）设椭圆E：（a，b0）过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点.(1) 求椭圆E的方程；(2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E
13、恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由. 五、存在性问题15. 以椭圆的短轴的一个端点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，问这样的直角三角形是否存在？如果存在，请说明理由，并判断最多能作出几个这样的三角形；如果不存在，请说明理由. 16. （2015虹口二模）已知圆：，点(1,0)，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若,为坐标原点，求直线的斜率；(3)过点的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在
14、，请说明理由.17. （2015嘉定二模）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且。（1）求证：是等边三角形；（2）若过、三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程；（3）设过（2）中椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，是点关于轴的对称点。在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。六、定点或定直线问题18. 已知椭圆方程为，当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上19. 已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线：与椭圆交
15、于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出定点的坐标20. 在直角坐标系中，点到F1、F2的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线：与轨迹交于不同的两点和双曲线题型总结一. 定义的应用1动点与点与点满足，则点的轨迹方程为_2已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（）A B C或 D 3.已知平面上两定点及动点M，命题甲：（为常数），命题乙：“点M轨迹是以为焦点的双曲线”，则命题甲是命题乙的 （ ）充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件4双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，则点到另一个焦
16、点的距离等于 .5设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为6已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为_7.已知双曲线的两个焦点为，是双曲线上的一点，且，则该双曲线的方程是 （ ） 8. 已知为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且；则9双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到 轴的距离为 10.双曲线16x2-9y2=144上一点P(x0,y0)(x00)到左焦点距离为4，则x0= .11若椭圆和双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，则的值为12动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹
17、为（）A抛物线来源:学.科.网B圆 C双曲线的一支 D椭圆13是双曲线左支上的一点，为其左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为二. 双曲线的几何性质1“ab0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）A2aB C4a D 6在抛物线 内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是_7过抛物线y2=x的焦点F的直线l的倾斜角,直线l交抛物线于A,B两点，且点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是（ ）A（,1+ B. （,1 C . ,+) D.,+)8.抛物线y2=4x的焦点为F，A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2,y10,y
18、20)在抛物线上，且存在实数，使+=，|=求直线AB的方程；解答题1如图，、是抛物线上的两个点, 过点、引抛物线的两条弦.（1）求实数的值；（2）若直线与的斜率是互为相反数, 且两点在直线的两侧.直线的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是, 说明理由；求四边形面积的取值范围.3 已知抛物线，直线与交于两点，且，其中为坐标原点（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为，记直线的斜率分别为，证明为定值4已知抛物线：（）与椭圆：相交所得的弦长为（）求抛物线的标准方程；（）设，是上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值（）时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标5已知抛物线
19、的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，抛物线上的点到其焦点的距离等于5.（）求抛物线的方程；（）如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，若，求三角形的面积.6如图，已知抛物线：，过焦点斜率大于零的直线交抛物线于、两点，且与其准线交于点（）若线段的长为，求直线的方程；（）在上是否存在点，使得对任意直线，直线，的斜率始终成等差数列，若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由.7已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且到原点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切.8已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线于点、和点、，线段、的中点分别为、.（）求线段的中点的轨迹方程；（）求面积的最小值；（）过、的直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.10在直角坐标系中，曲线与直线交于两点（1）当时，分别求在点处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由11已知抛物线与直线没有公共点,设点P为直线l上的动点,过P作抛物线C的两条切线,A,B为切点.（1）证明:直线AB恒过定点Q；（2）若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M,N两点,证明:专心-专注-专业