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1、精选优质文档-倾情为你奉上高等数学读书笔记 定积分与不定积分 马燕妮 四川农业大学 经济学院 经济学 中国成都 【摘要】本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法。定积分是微积分学中的主要概念之一，它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。不定积分又与定积分进行对比记忆，对不定积分的计算进行系统整理。【关键字】定积分；不定积分；面积；凑微分法；分部积分法；换元积分法；有理函数不定积分 【Abstract】Thispaperfirstintroducesthebasicdefinitionofindefiniteintegrala
2、nddefiniteintegral,andthenexploresseveralofthemoreimportantintegralmethod.Definiteintegralisoneofthemajorconceptsofcalculus,itcomesfromtheaccumulationofvariousofabstractingmathematicalconcept,itisthefunctionofthelimitofaparticularstructurewithtype.Comparingtheindefiniteintegralanddefiniteintegralmem
3、ory,calculationofindefiniteintegralsystem. 【Key words】Definiteintegral；Indefiniteintegral；Area；differentiationdivisionintegralmethod；Integralmethodinyuan；Theindefiniteintegralrationalfunction一、 不定积分与定积分的定义（一）、定积分的定义： 设f是定义在a,b上的一个函数，对于a,b的一个分割T= ，任取点，n,并作和式称此和式为函数f在a,b上的一个积分和，也称黎曼和。设f是定义在a,b上的一个函数，J
4、是一个确定的实数。若对任给的正数，总存在某一正数，使得对a,b的任何分割T，以及在其上任意选取的点集 ，只要|T|,就有,则成函数f在区间a,b上可积；数J称为f在a,b上的定积分记作J=其中，f称为被积函数，x称为积分变量，a,b称为积分区间，a,b分别称为这个定积分的下限和上限。（二）、不定积分的定义函数在区间I的所有的原函数称为函数的不定积分，表为（，C为积分常数）,其中称为积分符号，x称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式，C称为积分常数。在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。列如：，而；,而；，而.这也就是说：和是不相等的，即前者的结果
5、是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。二、基本积分 三、定积分与不定积分的性质（一）、定积分的性质1若f在a,b上可积，K为常数，则kf在a,b上也可积，且2若f、g都在a,bz上可积，则f在a,b上也可积，且3若f、g都在a,b上可积，则f*g在a,b上也可积.4 f在a,b上可积的充要条件是：任给c（a,b）,f在a,c与c,b上都可积。此时又有等式5.设f为a,b上的可积函数.若f(x)0,xa,b,则. 若f与g为a,b上的两个可积函数，且f(x)g(x),xa,b,则有6.若f在a,b上可积，则|f|在a,b上也可积，且 积分中值定理：若f在a
6、,b上连续，则至少存在一点使得（推广的积分第一中值定理）若f与g都在a,b上连续，且g(x)在a,b上不变号，则至少存在一点使得（二） 、不定积分的性质1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数发f（x）及g（x）的原函数存在，则2、 求不定积分时，被积函数中的因子可以提到积分号外面来。即：设函数f（x）的原函数存在，k非零常数，则三、定积分与不等积分的计算方法1 .分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：，若右端的积分会求，则应用法则,其中，是不全为零的任意常数，就可求出积分，这就是分项积分法.例1计算定积分. 解 利用加减一项进行拆项得=+=+.=.2.
7、 分段积分法 分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2 计算定积分.解 由于为偶函数，在上的分界点为，所以=+=. 3. 换元积分法（变量替换法）换元积分法可以分为两种类型：3.1 第一类换元积分法（俗称为“凑微分法”）例3 计算定积分.解 = =.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：三角替换；幂函数替换；指数函数替换倒替换下面具体介绍这些方法 三角替换例4 计算定积分.解 由于=，故可令，于是=.幂函
8、数替换例5 计算定积分. 解 作变量代换，得到=，因此=.倒替换例6 计算定积分. 解 =令得=.替换公式三角代换(1)被积函数含有根式，令(2)被积函数含有根式，令(3)被积函数含有根式，令倒代换根式代换被积函数含有4. 分部积分法若，在上连续，则或.利用分部积分求的解题方法（1）首先要将它写成得形式选择，使用分布积分法的常见题型：5. 带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用 若函数在点的领域内有连续的阶导数，则，有+，其中称为积分型余项例7 计算.解 设，则=.四、 定积分和不定积分的运用（一） 、定积分1. 平面图形的面积一般地，有上、下两条连续曲线y=f2(x)与y=f1(x)以及
9、两条直线x=a与x=b（ab）所围的平面图形如图（1）所示，它的面积计算公式为 A=。 （1） (1)设曲线C有参数方程x=x(t),y=y(t),t (2)给出，在上y(t)连续可微且(t)0（对于y(t)连续可微且0的情形可类似讨论）。记a=x(ab或ba),则由曲线C及直线x=a,x=b和x轴所围的图形，其面积计算公式为A=.如果由参数方程（2）所表示的曲线自身所围图形是封闭的，既有且在（）内自身不再相交，那么由曲线自身所围图形的面积为A=（或）。例1 求由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围平面图形的面积A.解 该平面图形如图（2）所示。先求出抛物线与直线的交点P（1，-1）与Q(
10、9,3).用直线x=1把图形分为左、 右两部分，分别求得它们的面积为A1=，所以.也可把抛物线方程和直线方程改写成.并改写积分变量为y，于是得 2. 立体的体积用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积, 常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,例如求一个铁块的体积,可以将此铁块划分成许多基本的小铁块,每一块的厚度为(x),假设每一个基本的小铁块的横切面积为A(x),则此小铁块的体积大约是A(x)(x),将所有的小铁块加起来,令n=(x)0,我们就可以得到其体积v v=其中b和c分别为计算体积是的起始值和终了值，例2椭圆面所为立体的体积解:以平面 )截椭球面,得椭圆在YOZ平面上的正投影 所以截面面积函数为 于是求得椭球体积显然当=r 时,就等于球的体积3. 经济应用问题参考文献 1 张良云 编，“十二五”高等数学，中国农业出版社2 刘玉琏、傅沛仁、林玎、菀德馨、刘宁 编，数学分析讲义，高等教育出版社上册， 第五版， 2008年（2012年重印）， 322页至356页 。3 张天德、张锋 编，微积分辅导及习题精解， 延边大学出版社， 2010年（2012年重印），236页至261页。4 赵振海，高等数学学习指导与习题全解，大连理工大学出版社，2004年，155页至189页。专心-专注-专业