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1、精选优质文档-倾情为你奉上近世代数论文师范学院14级数学与应用数学2班 景羡林 学号:一、 上半学期学习总结第一章 基本概念1、 集合的幂集:以集合A的一切子集为元素构成的集合,记为A或2A。(含n个元素的集合的子集有2n个,即幂集中的元素共有2n个)2、 积(笛卡尔积):AB=(a,b)|aA,bB叫A与B的积。(ABBA)3、 A到B的对应法则为A到B的映射xA,x有象 xA,x的象唯一 xA,x的象在B中。4、 若A是含n个元素的集合,则A的映射共有nn个,一一映射共有n!个。5、 代数运算:一个AB到D的映射叫做一个AB到D的代数运算。(o为AB到D的代数运算(a,b)AB,aob有意
2、义,且aob唯一,属于D)。6、 满射:yA,设y=(x),求出x(x为y的函数),若x存在且xA,则为满射。(A中的每一个元素都有原象);单射:a,bA,若ab,则(a)(b)。(元素不同象不同);一一映射:即单又满。(一一映射都有逆映射,若A与B间是一一映射,则A、B有限且元素个数相同)7、 一个A到A的映射叫做A的一个变换;有限集A的一个一一变换,叫做A的一个置换。8、 一个A 到A的映射,叫做一个对于代数运算o和o来说的,A 到A的同态映射,假如满足:a,bA,aa,bb则aobaob(运算的象=象的运算);A与A同态A 与A存在同态满射。9、 一个A 到A的一一映射,叫做一个对于代数
3、运算o和o来说的,A 到A的同构映射。(同构映射的逆映射也是同构映射)。10、 若R为法则,若R满足a,bA,要么aRb,要么aRb,唯一确定,则称R为A的元间的一个关系;集合A 的元间的一个关系叫做一个等价关系,假如满足反射律(aA,有aa)对称律推移律11、 A 的一个分类即为A 的一些子集A1、A2、An满足:A1A2An=A.AiAj=(ij)(不相交)。(集合A 的元间的一个等价关系决定A的一个分类)12、 模n的同余关系(ab(n)读作a同余b模n):若n(a-b)则ab(a与b同除n后余数相同)。若a=b则ab(n)即n|a-b。第二章 群论1、 群的定义:一个非空集合G对于一个
4、叫做乘法的代数运算来说作成一个群,假如:乘法封闭。结合律成立。存在单位元。逆元存在。2、 群的阶:群中元素的个数;元素的阶:使得am=e成立的最小正整数m,记为a,若这样的m不存在,则说a是无限阶的。(单位元的阶为1)3、 元素的阶的性质:设a的阶为m,若an=e则mn;任何元素与它的逆元同阶;设G为一个群,aG,若a的阶为2,则a=a-1;在一个有限群G中,阶大于2的元素的个数一定是偶数。4、 交换群:a,bG,ab=ba5、 若一个有乘法的有限集满足乘法封闭;结合律成立;消去律成立(若ax=ax,那么x=x;若ya=ya则y=y)。则必能做成一个群。(无限集不适用)6、 群同态:假定G与G
5、对于它们的乘法来说同态,若G是群,那么G也是一个群(具有相同的特性)。但是反之却不成立。7、 设(G,)和(G,)是两个群,如果存在G和G的同态满射,则称G和G同态,记为G G;如果存在G和G的同构映射,则称G和G同构,记为G G。8、 A的一个变换就是一个A到A自己的映射。9、 一个集合A的所有一一变换作成一个变换群G。(变换群是非交换群);变换群不唯一,变换做成群只有一一映射,10、 任何一个群都同一个变换群同构。11、 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换;一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群。(置换群的表示不唯一,置换群是非交换群)12、 一个包含n个元的集合的全体置换
6、作成的群叫做n次对称群;n次对称群Sn的阶是n!。13、 每一个有限群都与一个置换群同构。14、 循环群的每个元素都可以写成生成元的方幂。(循环群的生成元不唯一,不同的元可以生成同一个群)15、 假定G是一个由元a生成的循环群,那么G的构造完全可以由a的阶来决定:a的阶若是无限,那么G与整数加群同构;a的阶若是一个有限整数n,那么G与模n的剩余类加群同构。16、 一个循环群一定是一个交换群。17、 设H为群G的非子集,如果H按G中的运算作成一个群,则称H为G 的一个子群,记为HG。18、 子群的判法:定义法;一个群G的一个非空子集H作成G的一个子群的充要条件是乘法封闭;逆元成立(aHa-1H)
7、;充要条件是:a、bHab-1H;充要条件是:a、bHabH。19、 群G中由等价关系abab-1H决定G 的一个分类,其中的每一个类,叫做子群H的右陪集,用Ha表示。20、 群G中由等价关系abb-1aH决定G 的一个分类,其中的每一个类,叫做子群H的右陪集,用aH表示。21、 一个子群H的右陪集个数和左陪集个数相等。(一般的,aG,HaaH,a为单位元时才相等)22、 一个群G的一个子群H的右陪集(或左陪集)的个数叫做H在G里的指数,记为G:H。(陪集个数=H中元素个数)23、 子群的阶能整除大群的阶;一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶。24、 一个群G的一个子群N叫做一个不变子群
8、,假如对于G的每一个元a来说,都有Na=aN(指Na与aN这两个集合一样)。25、 一个交换群G的每一个子群H都是不变子群。26、 不变子群的判法:定义法:a,有Na=aN;aG,aNa-1=N;aG,nN ana-1N27、 一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群叫做一个商群,用G/N表示;G的阶N的阶=G/N的阶。(每一个不变子群都可产生一个商群)28、 一个群G同它的每一个商群G/N同态。29、 假定G与G是两个群,并且G与G同态,那么这个同态满射的核N是G的一个不变子群,并且G/NG30、 一个群G和它的每一个商群同态;群的同态满射的核是一个不变子群。二、 下半学期学习计划l时间安排
9、问题(1)在学习前确定明确的目标,比如要在多少时间里完成多少内容。(2)按时完成作业。(3)充分利用课余时间来提高自己。2注意力问题上课专心听讲,做到注意力高度集中3学习兴趣问题要想学好近世代数这门课程,首先必须要对这门学科有兴趣,兴趣是最好的老师。4.学习方法问题(1)多做题,在做题中体会做题的方法,思想,步骤。(2)敢于不耻下问,与同学们共同提高。(3)敢于向老师请教问题。(4)合理利用课余时间,多在图书馆看一些课外辅助读物,提升自己的能力。(5)课前提前预习,课后及时复习。(6)每隔一段时间就要复习一下以前学过的东西,做到温故而知新。(7)多做一下以前的考试题,了解考试题型。5、学会总结
10、知识将课本上的概念理论用便于自己理解的话总结起来,学会比较记忆,把相同类型的内容总结到一起,一并理解记忆。三、 学习意见、建议希望老师能把之前发的那些题仔细讲一下,近世代数这门课理论概念太多,这也是同学们上课听着浮躁的主要原因,数学专业的学生自然对计算之类的东西比较敏感,而像短篇小说一样的概念理论,无疑是对数学专业学生的煎熬,至少对我来说如此,我感觉这门课的概念理论不难记忆,但是不容易理解。为了能更好地学习近世代数这门课程,现提一点建议如下:1、 如果能把枯燥的理论概念融入到习题讲解中,我感觉效果可能会更好。2、 在课堂上积极调动学生学习,比如多叫学生在黑板上做题,对学生上课注意力高度集中以及更好地理解学习内容都大有好处。近世代数是一门比较抽象的学科,但作为数学专业的学生,它是我们必须要攻克的难关,只要方法得当,并认真去学,我相信,学好近世代数不是难事,I firmly believe that I can make it!专心-专注-专业