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1、精选优质文档-倾情为你奉上第四章 力学量算符 一 内容提要1 基本假设：量子力学中的力学量用算符表示 1 线性厄米算符 （力学量算符） 或 2 线性幺正算符 满足线性条件以及 或 2 力学量用算符表示 在量子力学中用以表示力学量的算符本身并没有直接的物理意义，算符表示力学量的含义表现在三方面： 1 一个力学量算符的本征值方程 中的全部本征值是仅且是这个力学量的所有可能值； 2 若在体系一个给定的状态中测量力学量F 设本征值为分立的。将归一化且以展开 其中 则是体系在态下时刻 测得力学量F取值为 的几率。当F得本征值为连续谱时有 其中 为F在得几率，动量是这种情况得重要以例。3 在中测量F得期望
2、值为 或3 几个基本力学量算符 1 坐标算符 2 动量算符 3 轨道角动量 的本征函数为球函数 4 宇称 宇称算符的本征值为+1 和-1 相应的本征函数分别是坐标变量的偶函数和奇函数。5哈密顿算符当哈密顿不显含时间时有：6 自旋算符 泡利算符4 算符的对易关系 1 基本对易关系 2 复变量对易关系 3 角动量对易关系 二 例题讲解 1 证明1 2 若算符与对易 则有 解： 1 用数学归纳法：当n=1时成立 若n=k时成立，即成立 设n=k+1成立利用公式 有 = = = 令k+1=n 则 2 由于 B与A，B对易，由1的结果。 =2 设两个算符与互相不对易： ，为参变数。试证明： 1 ； 2
3、； 3 再据此 a 应用 证明 b 应用 证明 ； c 设 是的本征态，相应的本征值为 则是 的本征态。证明： 1 令 （1） 则 （2） = （3）又= （4）依次类推，易得（5）2 因为 = （6） 3 设 则 （7） 又 （8） 故 （9）据此 a 应用公式（5）设 则 （10） 若令 应用公式（5）得 （11） b 令 应用公式（5）有： （12）同理 若令 利用（5）可得： （13）c 由（12） 得 （14）由（13） 得 （15）于是 + + 3 1 证明 其中为动量，为得标量算符；2 计算 解：1 设任意函数 则则 同样有 所以 2 a 利用上式得 ：； b利用公式 得 又有1
4、 得 那么得 可以证明 （注证明上式：，又有 那么） ； c 利用1有 那么 d 对易关系 其中利用了 又 那么有上面利用了a式，以及4 以表示轨道角动量，证明在得任何一个本征态下，和得平均值为0。证明： 设为得本征态，本征值为 即 （1） 利用对易关系式 （2） 求上式两边在中得平均值 = （3） 同样利用对易关系 在下求出5 对于（）得共同本征态。计算1 得平均值； 2 并且验证测不准关系。 解：设 （1） （2）利用对易关系式 ： （3） 得： （4）则 所以 （5）而 （6）则 （7）又 利用得 同样有所以 （8）而测不准关系给出得是： （9）由于 因此 （8）、（9）是一致的。仅当时
5、（9）式等号成立。6 设，求的共同本征函数。表示成球函数的线性迭加。（已知：）解：已知的共同本征态为。由于在具体运动中是等地位的。时，的本征值为，那么的本征值也应是。现设的共同本征函数分别为。它们可以由的共同本征态的具体函数形式，利用轮换的方法求出。即 相似有 而不变。已知： 又 所以 （1） （2） （3） 经过轮换： （4） （5） （6）选择适当的系数因子可以得到解： （7） （8） （9）7 对于的共同本征态为，求的可能值及相应的几率。解：方法一 的可能值为其本征值 ，设相应的几率为 。 首先 （1） 其次 由于 那么 即 （2） 再次 因为 即有 则因此 （3） 由（1）、（2）、（
6、3）解得： 方法二 由上题得结果（7）-（8）可知， 各项系数得模方即为取相应本征值得几率。8 在轨道角动量算符得共同本征态中试求：1 算符得期望值；2 ；3 在情况下在中取值得几率。单位矢量得球坐标系表示是 解：因为 则 （1） 1 在中 （2） 2 + +那么 + + （3） 又 （4） （5） （6） 下面证明 （7） 因为 分别左右乘 得 相加得： 所以 由 4）-（7） 得 3 在中设在中取值的几率分别是 所以 （8） 得： （9）9 考虑态是矢量空间中的子空间。1写出中的矩阵表示式；2利用第六题求得的共同本征函数，写出联系和表象的幺正变换矩阵S；3求出表象中的表示式；4求出表象中的
7、表示式；5求出共同本征函数，表示成的线性组合。解： 本题是关于两各表象之间力学量和态的幺正变换问题。1 （ ） ，在任何一个分量上的本征值都是，在表象中角动量分量的矩阵为 2 由第六题得时的本征函数是： 写成在表象中的态矢量为 因此变换矩阵S为： 不难证明3 按表象变换公式由表象的变换到表象中的由下式给出： 4 表象中是： 对易关系不随表象而变，利用对易关系得： 将代入上式得：5 设时得本征函数是：写成表象中得态矢量为 以表示得本征值，则得本征方程为：本征值由久期方程求得： 得： 分别以代入本征方程且利用 得： 在表象中分别是： 三 练习 1 证明 2 设满足的算符，则对于所有的正整数m，关系式成立（提示：利用数学归纳法）3 设，求的共同本征函数。表示成球函数的线性迭加。（已知：） 4 对于的共同本征态为，求的可能值及相应的几率。 5 设A为厄米算符，证明算符为幺正算符。 （提示：证明且利用以及） 6 证明 7 证明在离散的能量本征态下动量平均值是零。 （提示： 即 设且已经归一化。） 8 证明是使变成的算符。即是产生有限值的沿X-轴的平移算符。（提示：将展成算符的泰勒级数，然后再作用在上）专心-专注-专业