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1、精选优质文档-倾情为你奉上历年高考数列真题汇编1、(2011 年新课标卷文 )1已知等比数列 an 中， a1 ，公比31q 3（I） Sn 为an 的前 n 项和，证明：Sn1an2（II）设 bn log3 a1 log3 a2 log3 an ，求数列 bn 的通项公式1 1 1 (1 ) 11 1 1 1n n3 3 3n解：（）因为 a . S ,( )n n n13 3 3 21 31 an所以 ,Sn2（） bn log3 a1 log3 a2 log3 an (1 2 . n)n(n 1)所以 bn 的通项公式为 bn .2n(n21)2、(2011 全国新课标卷理）等比数列a
2、 的各项均为正数，且n22a 3a 1,a 9a a .1 2 3 2 6（1）求数列a 的通项公式 .n(2) 设b log a log a . log a ,求数列n 3 1 3 2 3 n1bn的前项和 .解：（）设数列 a n 的公比为 q，由2a3 9a2a6 得3 2a3 9a4 所以2 1q 。有条件可知 a0,9故1q 。3由2a 3a 1得1 212a 3a q 1，所以 a1 。故数列 a1 23n 的通项式为 an=1n 。3（ ）b log a log a . log an 1 1 1 1 1 1(1 2 . n)n(n 1)2故1 2 1 12( )b n(n 1)
3、n n 1n1专心-专注-专业1 1 1 1 1 1 1 1 2n . 2(1 ) ( ) . ( )b b b 2 2 3 n n 1 n 11 2 n所以数列1 bn的前 n 项和为2nn 13、（2010 新课标卷理）设数列2n 1a 满足a1 2,a 1 a 3 2n n n（1） 求数列a 的通项公式；n（2） 令b na ，求数列的前 n 项和Sn n n解（）由已知，当 n 1 时， an 1 ( an 1 an) (an an 1) (a2 a1) a12 1 2 3n n 22( n 1) 1 。 3(2 2 2) 2而2n 1a1 2,所以数列 an 的通项公式为a 2 。
4、n（）由2n 1b na n 2 知n n3 5 2n 1S 1 2 2 2 3 2 n 2 n从而2 3 5 7 2n 12 S 1 2 2 2 3 2 n 2 n- 得2 3 5 2n 1 2n 1(1 2 ) S 2 2 2 2 n 2 。n即12n 1S (3 n 1)2 2n94、（20I0 年全国新课标卷文）设等差数列a 满足a3 5， a10 9。n（）求a 的通项公式；n（）求a 的前 n项和Sn 及使得 Sn 最大的序号 n的值。n解：（1）由 am = a1 +（n-1）d 及 a1=5，a10=-9 得a 2d 51a 9d 91解得a1 9d 2数列 an的通项公式为a
5、n=11-2n。 .分62n(n 1) 2(2)由(1) 知 Sn=na1+2+25.因为Sn=-(n-5)d=10n-n2。所以 n=5 时， Sn 取得最大值。5、（ 2011 年全国卷）设等差数列 an 的前 N 项和为Sn ,已知 a2 6, 6a1 a2 30,求 an 和 Sn6、（ 2011 辽宁卷）已知等差数列 an满足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列 an的通项公式；（II）求数列ann21的前 n 项和解：（I）设等差数列 a 的公差为d，由已知条件可得na d0,12a 12d 10,1解得a1 1,d 1.故数列 a 的通项公式为an 2 n. 5 分na a
6、an 的前 项和为，即 2 n（II）设数列 1 1 1 , 1 1n S S a 故 S ， n n n n2 2 2S a a an 1 2 n .n2 2 4 2所以，当 n 1时，S a a a a an 2 1 n n 1 na1 1 n n2 2 2 21 1 1 2 n1 ( )n 1 n2 4 2 21 21 (1 )n 1 n2 2nn= .所以n2nSn n21 .综上，数列a nn 的前 n项和 S .nn 1 n 12 27、（2010 年陕西省）3已知 an是公差不为零的等差数列， a11，且 a1，a3， a9 成等比数列 .（）求数列 an的通项; an的前 n
7、项和 Sn.（）求数列 2解 （）由题设知公 差 d0，由 a11，a1，a3，a9 成等比数列得1 2d11 8d1 2d，解得 d1，d0（舍去）， 故an的通项 an1+（n1） 1 n.ma()由（）知 2n，由等比数列前 n 项和公式得=22 3 nSn=2+2 +2 + +2 =n2(1 2 )1 2n+1=2 -28、（ 2009 年全国卷）设等差数列 an 的前 n 项和为 sn ，公比是正数的等比数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，已知a1 1 ,b1 3,a3 b3 17,T3 S3 12求, a n ,bn 的 通项公式。解： 设a 的公差为 d ， bn 的公比为 q
8、n由a b 得3 3 1721 2d 3q 17 由T3 S3 12得2 4q q d 由及 q 0解得 q 2,d 2故所求的通项公式为na 2n 1,b 3 2n n19、（ 2011 福建卷）已知等差数列 a n中， a1=1，a3=-3.（I ）求数列 a n 的通项公式；（II ）若数列 a n 的前 k 项和 Sk=-35 ，求 k 的值.10、（2011 重庆卷）设 是公比为正数的等比数列， , .( ) 求 的通项公式。4( ) 设 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 的前 项和 .11、（2011 浙江卷）已知公差不为 0 的等差数列 a 的首项为 a(a R)，且
9、n1a1，1a2，1a4成等比数列（）求数列 a 的通项公式；n（）对*n N ，试比较1a212a21 32a.1 n2a与1a1的大小解：设等差数列 a 的公差为 d ，由题意可知n1 1 12( )a a a2 1 4即2(a d) a (a 3d) ，从而1 1 12a d d 因为1d 0,所以d a a.1故通项公式 an na.（）解：记1 1 1nT , a 2 a因为n n2a a a2 n2 2 2所以1 1n(1 ( ) )1 (1 1 1 ) 1 2 2 11 (1) nTn n2 1a a a2 2 2 1 22从而，当 a 0时，Tn1a1；当1a 0 ,Tn .时
10、a1512、（2011 湖北卷）成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列bn中的 b 、b 、 b 。(I) 求数列b 的通项公式；n(II) 数列 bn 的前 n 项和为 Sn ，求证：数列5S 是等比数列。n4613、（2010 年山东卷）已知等差数列 an 满足： a3 7， a5 a7 26， an 的前 n项和为 Sn（）求 an 及 Sn ；（）令1b （n2a 1n*n ），求数列 bn 的前 n项和为 Tn 。N解：（）设等差数列 an 的首项为 a1 ，公差为 d ，由于 a3 7， a5 a7 26，所以 a1 2d 7 ，2a
11、1 10d 26，解得 a1 3， d 2，由于 an a1 (n 1)d ，n( a1 an )S ，n2所以 an 2n 1， Sn n(n 2)72 n n （）因为 an 2n 1，所以 an 1 4 ( 1)1 1 1 1因此 )bn (4n(n 1) 4 n n 1故1 1 1 1 1 1Tn b1 b2 b )(1n4 2 2 3 n n 114(11 n)n 1 4(n 1)所以数列 bn 的前 n项和Tnn4(n1)14、（2010 陕西卷）已知 an是公差不为零的等差数列， a11，且 a1，a3， a9 成等比数列 .（）求数列 an的通an的前 n 项和 Sn. 项;
12、（）求数列 2解 （）由题设知公 差 d0，由 a11，a1，a3，a9 成等比数列得1 2d11 8d1 2d，解得 d1，d0（舍去）， 故an的通项 an1+（n1） 1 n.ma()由（）知 2n，由等比数列前 n 项和公式得=2Sm =2+2 2+23+ +2n=2+23+ +2n=n2(1 2 )1 2=2 n+1-2.、n+1-2.、15、（2010 重庆卷）已知a 是首项为 19，公差为 -2 的等差数列， Sn 为na 的前 n项和 .n（）求通项a 及 Sn ；n（）设b a 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 bn 的通项公 式及其前 n项n n和T .n16、
13、（2010 北京卷 ）已知 | |a 为等差数列，且 a3 6 ， a6 0。n8（）求 | a | 的通项公式；n（）若等差数列 |bn |满足b1 8， b2 a1 a2 a3 ，求 |bn | 的前 n 项和公式解：（）设等差数列 a 的公差 d 。n因为 a3 6, a6 0 所以a 2d 61a 5d 01解得a1 10,d 2所以 an 10 (n 1) 2 2n 12（）设等比数列 b 的公比为 q 因为nb a a a b2 1 2 3 24, 8所以 8q 24 即 q =3所以 b 的前 n项和公式为nSnnb1(1 q )1 qn4(1 3 )17、（2010 浙江卷 ）
14、设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数 an的前 n 项和为 Sn，满足S2S6150.（）若 S5S.求 Sn 及 a1;（ ）求 d 的取值范围.解： ()由题意知 S0=-15S5-3,a =S-S=-8所以Sa 10d 5,1a 5d 8.1解得 a1=7 所以 S=-3,a1=7()因为 SS+15=0,所以 (5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a12+9da1+10d2+1=0. 2=d2-8. 所以 d2 8.故 d 的取值范围为 d -2 2故(4a1+9d)18、（2010 四川卷）已知等差数列 an的前 3 项和为 6，前 8 项和为 -
15、4。（）求数 列a n的通项公式；（）设n 1 *b a q q n N ，求数列 b 的前 n 项和(4 ) ( 0, )n n nSn9）由（）得解答可得，n 1b n q ，于是n0 1 2 n 1S 1 q 2 q 3 q n qn若 q 1，将上式两边同乘以 q 有1 2 n 1 nqS 1 q 2 q n 1 q n qn两式相减得到n 1 2 n 1q 1 S n q 1 q q qnnn qnqq11n n1 1 1nq n qq 1 Snn 1 nnq n 1 q 12q 1于是 S 1 2 3 nn若 q 1，则n n21Snn n 1 2, q 1 ,n 1 nnq n
16、1 q 1, q 1 . 2q 1所以， （ 12 分）19、（2010 上海卷）已知数列a 的前 n项和为S ，且 Sn n 5an 85，n nn N*证明： a 1 是等比数列；n解：由*S n 5a 85, n N （ 1）n n可得：a1 S1 1 5a1 85，即 a1 14。同时S 1 (n 1) 5a 1 85 （2）n n10从而由 (2) (1)可得：a 1 1 5(a 1 a )n n n即：5*a a n N ，从而 an 1 为等比数列，首项 a1 1 15，公比为1 ( 1),n 1 n656，通项公式为5n 1a 1 15*( ) ，从而n6an5n 115*( ) 1 620、（2009 辽宁卷）等比数列 an 的前 n 项和为sn，已知 S1 ,S3, S2 成等差数列（1）求 an 的公比 q；（2）求 a1 -a3=3，求 sn2 解：（）依题意有 ( ) 2( )a1 a a q a a q a q1 1 1 1 1由于 a 0，故12 q2q 0又q 01q，从而 2（）由已知可得1 2a1 a（ ）123故 4a1从而1n（4 1 （ ）8 12nS 1 （ ）（ ）n 2131 （ ）211