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1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学专题讲义:导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的计算最新考纲1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数yC(C为常数),yx,yx2,yx3,y,y的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.知 识 梳 理1.导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数一般地,函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ,我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数,记作f(x0)或y|xx0,即f(x0).(2)函数f(x)的导函数如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数
2、值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数f(x)为f(x)的导函数.2.导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,过点P的切线方程为yy0f(x0)(xx0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0,a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0,且a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x),g(x)存在,则有:(1
3、)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.()(2)求f(x0)时,可先求f(x0),再求f(x0).()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()(4)若f(x)a32axx2,则f(x)3a22x.()解析(1)f(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值,而f(x0)表示函数值f(x0)的导数,其意义不同,(1)错.(2)求f(x0)时,应先求f(x),再代入求值,(2)错.(4)f(x)a32axx2
4、x22axa3,f(x)2x2a,(4)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修11P75例1改编)有一机器人的运动方程为s(t)t2(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为()A. B. C. D.解析由题意知,机器人的速度方程为v(t)s(t)2t,故当t2时,机器人的瞬时速度为v(2)22.答案D3.(2016天津卷)已知函数f(x)(2x1)ex,f(x)为f(x)的导函数,则f(0)的值为_.解析因为f(x)(2x1)ex,所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex,所以f(0)3e03.答案34.(2017豫北名校期末联考)曲线y5ex3在点(0,2)处的切
5、线方程为_.解析y5ex,所求曲线的切线斜率ky|x05e05,切线方程为y(2)5(x0),即5xy20.答案5xy205.(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a_.解析由题意可得f(x)3ax21,则f(1)3a1,又f(1)a2,切线方程为y(a2)(3a1)(x1).切线过点(2,7),7(a2)3a1,解得a1.答案1考点一导数的计算【例1】 求下列函数的导数:(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)y.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)因为yx31,所以y(x3)(
6、1)3x2.(3)因为yxsin x,所以yx1cos x.(4)y.规律方法(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量提高运算速度,减少差错.(2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导.【训练1】 (1)f(x)x(2 017ln x),若f(x0)2 018,则x0等于()A.e2 B.1C.ln 2 D.e(2)(2015天津卷)已知函数f(x)axln x,x(0,),其中a为实数,f(x)为f(x)的导函数.若f(1)3,则a的值为_.解析(1)f(x)2 017ln xx2
7、018ln x.由f(x0)2 018,得ln x00,则x01.(2)f(x)aa(1ln x).由于f(1)a(1ln 1)a,又f(1)3,所以a3.答案(1)B(2)3考点二导数的几何意义(多维探究)命题角度一求切线方程【例21】 (1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)ex1x,则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_.(2)(2017威海质检)已知函数f(x)xln x,若直线l过点(0,1),并且与曲线yf(x)相切,则直线l的方程为()A.xy10 B.xy10C.xy10 D.xy10解析(1)设x0,则x0时,f(x)ex1x.因此,当x0时,
8、f(x)ex11,f(1)e012.则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f(1)2,所以切线方程为y22(x1),即2xy0.(2)点(0,1)不在曲线f(x)xln x上,设切点为(x0,y0).又f(x)1ln x,解得x01,y00.切点为(1,0),f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1,即xy10.答案(1)2xy0(2)B命题角度二求切点坐标【例22】 (2017西安调研)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为_.解析由yex,知曲线yex在点(0,1)处的切线斜率k1e01.设P(m,n),又y(x0)的导数y,曲线y(x
9、0)在点P处的切线斜率k2.依题意k1k21,所以m1,从而n1.则点P的坐标为(1,1).答案(1,1)命题角度三求与切线有关的参数值(或范围)【例23】 已知直线yxb与曲线yxln x相切,则b的值为()A.2 B.1 C. D.1解析设切点坐标为P(x0,y0),由yxln x,得y.y|xx0,依题意,x01,则P,又切点P在直线yxb上,故b,得b1.答案B规律方法(1)导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点,“曲线过点P的切线”则点P不一
10、定是切点,此时应先设出切点坐标.(3)当曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线垂直于x轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是xx0.【训练2】 (1)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10,则点P的坐标是_.(2)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线,则实数a的取值范围是_.解析(1)由题意得yln xx1ln x,直线2xy10的斜率为2.设P(m,n),则1ln m2,解得me,所以neln ee,即点P的坐标为(e,e).(2)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线,即f(x)2在(0,)上有解,而f(x)a,即a在(0,
11、)上有解,a2,因为a0,所以22,所以a的取值范围是(,2).答案(1)(e,e)(2)(,2)思想方法1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常数,其导数一定为0,即(f(x0)0.2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时,必须注意交换的等价性.3.曲线的切线与二次曲线的切线的区别:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.易错防范1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.2.曲线yf(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过
12、点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.3.对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.设yx2ex,则y()A.x2ex2x B.2xexC.(2xx2)ex D.(xx2)ex解析y2xexx2ex(2xx2)ex.答案C2.已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)2xf(1)ln x,则f(1)等于()A.e B.1C.1 D.e解析由f(x)2xf(1)ln x,得f(x)2f(1),f(1)2f(1)1,则f(1)1.答案B3.曲线ysin xe
13、x在点(0,1)处的切线方程是()A.x3y30 B.x2y20C.2xy10 D.3xy10解析ycos xex,故切线斜率为k2,切线方程为y2x1,即2xy10.答案C4.(2017成都诊断)已知曲线yln x的切线过原点,则此切线的斜率为()A.e B.e C. D.解析yln x的定义域为(0,),且y,设切点为(x0,ln x0),则y|xx0,切线方程为yln x0(xx0),因为切线过点(0,0),所以ln x01,解得x0e,故此切线的斜率为.答案C5.(2017昆明诊断)设曲线y在点处的切线与直线xay10平行,则实数a等于()A.1 B.C.2 D.2解析y,y|x1.由
14、条件知1,a1.答案A二、填空题6.若曲线yax2ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a_.解析因为y2ax,所以y|x12a1.因为曲线在点(1,a)处的切线平行于x轴,故其斜率为0,故2a10,解得a.答案7.(2017长沙一中月考)如图,yf(x)是可导函数,直线l:ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线,令g(x)xf(x),其中g(x)是g(x)的导函数,则g(3)_.解析由图形可知:f(3)1,f(3),g(x)f(x)xf(x),g(3)f(3)3f(3)110.答案08.(2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切,则a_.
15、解析由yxln x,得y1,得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为ky|x12,所以切线方程为y12(x1),即y2x1.又该切线与yax2(a2)x1相切,消去y,得ax2ax20,a0且a28a0,解得a8.答案8三、解答题9.已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围.解(1)yx24x3(x2)211,所以当x2时,y1,y,所以斜率最小的切线过点,斜率k1,所以切线方程为xy0.(2)由(1)得k1,所以tan 1,所以.10.已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10,且点P0在第三象
16、限.(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1,且l也过切点P0,求直线l的方程.解(1)由yx3x2,得y3x21,由已知令3x214,解之得x1.当x1时,y0；当x1时,y4.又点P0在第三象限,切点P0的坐标为(1,4).(2)直线ll1,l1的斜率为4,直线l的斜率为.l过切点P0,点P0的坐标为(1,4),直线l的方程为y4(x1),即x4y170.能力提升题组(建议用时:20分钟)11.(2016山东卷)若函数yf(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称yf(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是()A.ysin x B.yln xC.yex D.yx3
17、解析若yf(x)的图象上存在两点(x1,f(x1),(x2,f(x2),使得函数图象在这两点处的切线互相垂直,则f(x1)f(x2)1.对于A:ycos x,若有cos x1cos x21,则当x12k,x22k(kZ)时,结论成立；对于B:y,若有1,即x1x21,x10,x20,不存在x1,x2,使得x1x21；对于C:yex,若有ex1ex21,即ex1x21.显然不存在这样的x1,x2；对于D:y3x2,若有3x3x1,即9xx1,显然不存在这样的x1,x2.答案A12.(2017合肥模拟)点P是曲线x2yln x0上的任意一点,则点P到直线yx2的最小距离为()A.1 B. C. D
18、.解析点P是曲线yx2ln x上任意一点,当过点P的切线和直线yx2平行时,点P到直线yx2的距离最小,直线yx2的斜率为1,令yx2ln x,得y2x1,解得x1或x(舍去),故曲线yx2ln x上和直线yx2平行的切线经过的切点坐标为(1,1),点(1,1)到直线yx2的距离等于,点P到直线yx2的最小距离为.答案D13.若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是_.解析f(x)x2axln x,f(x)xa(x0).f(x)存在垂直于y轴的切线,f(x)存在零点,即xa0有解,ax2(当且仅当x1时取等号).答案2,)14.已知函数f(x)x,g(x)a(2
19、ln x)(a0).若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同,求a的值,并判断两条切线是否为同一条直线.解根据题意有f(x)1,g(x).曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3,曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a,所以f(1)g(1),即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1).所以y13(x1),即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1),所以y63(x1),即切线方程为3xy90,所以,两条切线不是同一条直线.第2讲导数在研究函数中的应用最新考纲1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,
20、会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会用导数解决实际问题.知 识 梳 理1.函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导,则:(1)若f(x)0,则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0,则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f(x)0,则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函
21、数值都小,f(a)0,而且在点xa附近的左侧f(x)0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大,f(b)0,而且在点xb附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.()(2)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件.()(3)对可导函数f(x),f(x0)0是x0为极值点的充要条件.()(4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()解析(1)函数f(x)在(a,b)上单调递增,则在(a,b)上有f(x)0,故(1)错.(2)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条
22、件,(2)错.(3)如f(x)x3,当x0时,f(x)0,而函数f(x)在R上为增函数,所以x0不是极值点,故(3)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修11P94探究改编)函数f(x)的定义域为区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在区间(a,b)内极小值点的个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析导函数f(x)的图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,右侧图象在x轴上方的只有一个,所以f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点.答案A3.(2017郑州调研)函数yx2ln x的单调递减区间为()A.(1,1 B.(0,1C.1,) D.(0,)解析函
23、数yx2ln x的定义域为(0,),yx,令y0,则可得00,函数f(x)单调递增,当x(2,2)时,f(x)0,函数f(x)单调递增.故f(x)在x2处取得极小值,a2.答案D5.(2014全国卷改编)若函数f(x)kxln x在区间(1,)单调递增,则k的取值范围是_.解析依题意得f(x)k0在(1,)上恒成立,即k在(1,)上恒成立,x1,01时,g(x)0.(1)解由题意得f(x)2ax(x0).当a0时,f(x)0时,由f(x)0有x,当x时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)证明令s(x)ex1x,则s(x)ex11.当x1时,s(x)0,所以ex1x,从而g(x)0.规律方法用
24、导数讨论(证明)函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤:(1)求f(x)；(2)确认f(x)在(a,b)内的符号；(3)作出结论:f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数.【训练1】 设f(x)ex(ax2x1)(a0),试讨论f(x)的单调性.解f(x)ex(ax2x1)ex(2ax1)exax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)aex(x2)当a时,f(x)ex(x2)20恒成立,函数f(x)在R上单调递增；当0a时,有2,令f(x)aex(x2)0,有x2或x,令f(x)aex(x2)0,有x2,函数f(x)在和(2,)上单调递增,在上单调递减；当a时,有2,令f(x)aex(x2
25、)0时,有x或x2,令f(x)aex(x2)0时,有2x,函数f(x)在(,2)和上单调递增；在上单调递减.考点二求函数的单调区间(易错警示)【例2】 (2015重庆卷改编)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值.(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex,求函数g(x)的单调减区间.解(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x,因为f(x)在x处取得极值,所以f0,即3a20,解得a.(2)由(1)得g(x)ex故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0,得x(x1)(x4)0.解之得1x0或x0,得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0).则f(x)
26、.令f(x)0,解得x1或x5.但1(0,),舍去.当x(0,5)时,f(x)0.f(x)的增区间为(5,),减区间为(0,5).考点三已知函数的单调性求参数(易错警示)【例3】 (2017西安模拟)已知函数f(x)ln x,g(x)ax22x(a0).(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减,求a的取值范围.解(1)h(x)ln xax22x,x0.h(x)ax2.若函数h(x)在(0,)上存在单调减区间,则当x0时,ax2有解.设G(x),所以只要aG(x)min.(*)又G(x)1,所以G(x)min1.
27、所以a1.即实数a的取值范围是(1,).(2)由h(x)在1,4上单调递减,当x1,4时,h(x)ax20恒成立,(*)则a恒成立,所以aG(x)max.又G(x)1,x1,4因为x1,4,所以,所以G(x)max(此时x4),所以a.当a时,h(x)x2,x1,4,h(x)0,当且仅当x4时等号成立.(*)h(x)在1,4上为减函数.故实数a的取值范围是.易错警示(1)特称命题理解不清,不能将第(1)问转化为ax20有解,难以得到不等式(*).错求a的取值范围.(2)错误理解“f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0,且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.
28、应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.”导致在第(2)问中(*)处易错求h(x)0时,令3x2a0,得x0,f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.4.可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是:对x(a,b),都有f(x)0(f(x)0),且f(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零.基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.函数f(x)xln x的单调递减区间为()A.(0,1) B.(0,)C.(1,) D.(,0)(1,)解析函数的定义域是(0,),且f(x)1,令f(x)0,解得0xf(c)f(d)B.f(b)f(a)
29、f(e)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(e)f(d)解析依题意得,当x(,c)时,f(x)0,因此,函数f(x)在(,c)上是增函数,由abf(b)f(a).答案C4.若函数f(x)2x33mx26x在区间(2,)上为增函数,则实数m的取值范围为()A.(,2) B.(,2C. D.解析f(x)6x26mx6,当x(2,)时,f(x)0恒成立,即x2mx10恒成立,mx恒成立.令g(x)x,g(x)1,当x2时,g(x)0,即g(x)在(2,)上单调递增,m2.答案D5.(2017保定第一中学模拟)函数f(x)的定义域为R,f(1)2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x4的解集
30、为()A.(1,1) B.(1,)C.(,1) D.(,)解析由f(x)2x4,得f(x)2x40,设F(x)f(x)2x4,则F(x)f(x)2,因为f(x)2,所以F(x)0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增.又F(1)f(1)2(1)42240,故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1),所以x1.答案B二、填空题6.已知函数f(x)(x22x)ex(xR,e为自然对数的底数),则函数f(x)的单调递增区间为_.解析因为f(x)(x22x)ex,所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0,即(x22)ex0,因为ex0,所以x220,解得x,所以函数
31、f(x)的单调递增区间为(,).答案(,)7.已知函数f(x)x24x3ln x在区间t,t1上不单调,则t的取值范围是_.解析由题意知f(x)x4,由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1和3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t1)内,函数f(x)在区间t,t1上就不单调,由t1t1或t3t1,得0t1或2t0),则h(x)0,即h(x)在(0,)上是减函数.由h(1)0知,当0x0,从而f(x)0；当x1时,h(x)0,从而f(x)0.综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,).10.已知函数f(x)x3ax2xc,且af.(1)求a的值；(2)求函数f(x
32、)的单调区间；(3)设函数g(x)(f(x)x3)ex,若函数g(x)在x3,2上单调递增,求实数c的取值范围.解(1)由f(x)x3ax2xc,得f(x)3x22ax1.当x时,得af32a1,解得a1.(2)由(1)可知f(x)x3x2xc,则f(x)3x22x13(x1),列表如下:x(1,)f(x)f(x)递增递减递增所以f(x)的单调递增区间是和(1,)；f(x)的单调递减区间是.(3)函数g(x)(f(x)x3)ex(x2xc)ex,有g(x)(2x1)ex(x2xc)ex(x23xc1)ex,因为函数g(x)在x3,2上单调递增,所以h(x)x23xc10在x3,2上恒成立,只要h(2)0,解得c11,所以c的取值范围是11,).能力提升题组(建议用时:20分钟)11.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)f(2x),且当x(,1)时,(x1)f(x)0,设af(0),bf ,cf(3),则()A.abc B.cbaC.cab D.bca解析依题意得,当x0,则f(x)在(,1)上为增函数；又f(3)f(1),且101,因此有f(1)f(0)f ,即有