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1、精选优质文档-倾情为你奉上 圆锥曲线的定值问题类型一 斜率四则运算为定值例1（2019届江苏省泰州姜堰中学期中）已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点求椭圆C的标准方程；直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；若，求直线AR的斜率的取值范围解析：椭圆的一条准线方程是，可得，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得，解得，即有椭圆方程为；证明：由，设直线PB的方程为，联立椭圆方程，可得，解得或，即有，则，即为定值；由，可得，即，设AP的方程为，代入椭圆方程，
2、可得，解得或，即有，将t换为可得，则R的坐标为，即有直线AR的斜率，可令，则，则，当时，当且仅当时上式取得等号，同样当时，时，则AR的斜率范围为跟踪训练一 1已知动点是圆： 上的任意一点，点与点的连线段的垂直平分线和相交于点（I）求点的轨迹方程；（II）过坐标原点的直线交轨迹于点， 两点，直线与坐标轴不重合 是轨迹上的一点，若的面积是4，试问直线， 的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，否则，说明理由解析：（I）由题意， ，又，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中， 椭圆的方程为（II）设直线的方程为，联立，得设所在直线方程为，联立椭圆方程得或，点到直线的距离，即，解得，直线， 的斜率之积是定值
3、2.（濮阳市2019届）已知椭圆C：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线相切1求椭圆C的标准方程；2设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）由题意知，解得则椭圆的方程是（2）当直线的斜率存在时，设直线联立，得所以假设轴上存在定点，使得为定值。所以要使为定值，则的值与无关，所以解得，此时为定值，定点为当直线的斜率不存在时，也成立所以，综上所述，在轴上存在定点，使得为定值点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点
4、在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3如图，已知椭圆O： 的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积；(2)记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值解析：(1)由题知B(0，1)，C(0，1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，直线PM的方程为1，即yx1联立解得或 (舍)，所以
5、M连接BF，则直线BF的方程为1，即xy0， 学科网而BFa2，所以点M到直线BF的距离为d故SMBFBFd2(2)设P(m，2)，且m0，则直线PM的斜率为k，则直线PM的方程为yx1，联立化简得x2x0，解得M，所以k1m，k2，所以k1k2m为定值4在平面直角坐标系中，动点（）到点的距离与到轴的距离之差为1（1）求点的轨迹的方程；（2）若，过点作任意一条直线交曲线于，两点，试证明是一个定值解析：（1）到定点的距离与到定直线的距离相等，的轨迹是一个开口向右的抛物线，且，的轨迹方程为（2）设过的直线的方程为，联立方程组整理得，设直线与抛物线的交点为，则有，又，因此是一个定值为类型二 被直线截
6、得的弦长是定值例1已知椭圆： 的一个焦点为，点在椭圆上（）求椭圆的方程与离心率；（）设椭圆上不与点重合的两点， 关于原点对称，直线， 分别交轴于， 两点求证：以为直径的圆被轴截得的弦长是定值解析：（）依题意， 点在椭圆上所以 所以 所以椭圆的方程为 离心率 （）因为， 两点关于原点对称，所以可设， ， 所以 证明：设直线方程为：，则，以为直径的圆为即，令，则，解得所以以为直径的圆被轴截得的弦长是定值为2跟踪训练二 1已知点在椭圆： 上， 是椭圆的一个焦点（）求椭圆的方程；（）椭圆C上不与点重合的两点， 关于原点O对称，直线， 分别交轴于， 两点求证：以为直径的圆被直线截得的弦长是定值 解析：（
7、）依题意，椭圆的另一个焦点为，且 因为， 所以， ， 所以椭圆的方程为 （）证明：由题意可知， 两点与点不重合因为， 两点关于原点对称，所以设， ， 设以为直径的圆与直线交于两点，所以 直线： 当时， ，所以 直线： 当时， ，所以 所以， ， 因为,所以因为所以所以即得证以为直径的圆被直线截得的弦长是定值2在直角坐标系中，曲线与轴交于，两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题：（）能否出现的情况?说明理由（）证明过，三点的圆在轴上截得的弦长为定值解析：（1）设与X轴交于则所以不能出现的情况（2）过A,B,C三点的圆必定在线段AB的垂直平分线上，设圆心坐标为E（）则由|EA|=|EC|及两点间
8、的距离公式得代入化简得：所以圆的方程为：令x=0得1，所以过，三点的圆在轴上截得的弦长为定值3类型三 面积为定值例1. （江西省重点中学盟校2019届）已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点是椭圆上的点，面积的最大值是（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由解析：（）由解得 得椭圆的方程为. （）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程 ， 点到直线的距离是 由得因为点在曲线上，所以有整理得 由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为
9、 由得, 故四边形的面积是定值，其定值为【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆中的定值问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，计算量较大，属于常考题型.跟踪训练三1已知椭圆系方程： (，)， 是椭圆的焦点， 是椭圆上一点，且（1）求的离心率并求出的方程；（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于， 两点，点关于原点的对称点为，求证： 的面积为定值，并求出这个定值解析：（1）椭圆的方程为：椭圆的离心率，椭圆（2）解法一：当直线l斜率存在时，设l为： ，则，由联立得： 由得 到直线的距离 同理，由联立得： ， 当直线l斜率不存在时，易知， 的面积为定值 解
10、法（二）：设，由（1）得为： ，过且与椭圆相切的直线l： 且点关于原点对称点，点到直线l的距离设， 由得 ， ， 的面积为 （定值）当时，易知，综上： 的面积为定值2. （九师联盟2019届）已知点是抛物线：的焦点，点是抛物线上的定点，且.（1）求抛物线的方程；（2）直线与抛物线交于不同两点，且（为常数），直线与平行，且与抛物线相切，切点为，试问的面积是否是定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.解析：（1）设，由题知，所以.所以，即.代入中得，解得.所以抛物线的方程为.（2）由题意知，直线的斜率存在，设其方程为.由，消去，整理得，则，.，设的中点为，则点的坐标为.由条件设切线方程为，由
11、，消去整理得.直线与抛物线相切，.，.切点的坐标为.轴，.，又. .为常数，的面积为定值，且定值为.【点睛】本题考查了抛物线的综合知识，以及直线与抛物线的相交相切的综合知识，解题的关键是在转化和计算，属于难题.直线与圆锥曲线解题步骤：(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；（3）转化，由题已知转化为数学公式；（4）计算，细心计算.3. （泸州市2019届）已知椭圆，点，中恰有三点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，试问的面积是否为定值？若是，求出该
12、值；若不是，请说明理由解析：（1）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，b，解得a26，b23，故椭圆C的方程为.（2）直线OP：yk1x，OQ：yk2x，与圆M相切，由直线和圆相切的条件：dr，可得，即有（x022）k122x0y0k1+y0220，同理：直线OQ：yk2x与圆M相切，可得（x022）k222x0y0k2+y0220，即k1，k2为方程（x022）k22x0y0k+y0220的两个不等的实根，可得k1k2，点R（x0，y0）在椭圆C上，k1k2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），|OP|x1|点Q到直线OP的
13、距离d，|x1|，|x2|，OPQ的面积S|x1x2|k1k2| ，【点睛】本题考查了椭圆的简单性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题4. （广东省六校2019届）如图，设点A，B的坐标分别为（-，0），()，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足APOM，BPON，求证：MON的面积为定值解析：（1）由已知设点的坐标为，由题意知，化简得的轨迹方程为5分（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，则直线斜率必存在且不为0，又由已知因为，所以6
14、分设直线的方程为，代入椭圆方程，得，7分设的坐标分别为，则8分又，9分所以，得 10分又，所以，即的面积为定值12分考点：直接法求动点轨迹方程，圆锥曲线中定值问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.例2. 已知椭圆的离心率为，且经过点（）求椭圆的方程;（）经过点与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点，点，直线分别与轴交于两点，记和的面积分别为；那么是
15、否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由解析:（）；（2） 设直线PQ的方程为y=kx+2,联立椭圆方程并化简得： 所以跟踪训练四1从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点，是椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点，且（1）求该椭圆的方程；（2）不过原点的直线与椭圆交于两点，已知，直线， 的斜率， 成等比数列，记以， 为直径的圆的面积分别为，求证； 为定值，并求出定值解析：（1）由题可知，由，可得，所以，则该椭圆的方程为（2）令， ， ，由的两根为，知， ，由可得又，成等比数列可知，则，2已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线相交于P， 两点，且（）求
16、椭圆C的标准方程和圆A的方程；（）不过原点的直线与椭圆C交于M、N两点，已知OM，直线，ON的斜率成等比数列，记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S1、S2，试探究的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由解析：()如图，设T为PQ的中点，连接AT，则ATPQ， ,由得（2）设直线的方程为y=kx+m(m),由题设知， 则 故为定值，该定值为类型四 线段为定值例1 已知直线：与圆相交的弦长等于椭圆：（）的焦距长（1）求椭圆的方程；（2）已知为原点，椭圆与抛物线（）交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证： 为定值解析：（1）利用圆心到直线的距离计算出直线与圆相交的弦
17、长，得到利用求得，得到椭圆方程(2)证明：有条件知，M,N关于X轴对称，设又直线PM的方程为同理得点H的横坐标所以|OG|OH|= 9即为定值跟踪训练五1已知椭圆，离心率，点在椭圆上（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P是椭圆C上一点，左顶点为A，上顶点为B，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证： 为定值解析：（1）依题意得，设，则，由点在椭圆上，有，解得，则，椭圆C的方程为： 设，则，由APM三点共线，则有，即，解得，则， 由BPN三点共线，有，即，解得，则= 又点P在椭圆上，满足，有，代入上式得=， 可知为定值例2已知椭圆 （ab0）的离心率为，且点在椭圆上，设与平行的直线
18、与椭圆相交于， 两点，直线， 分别与轴正半轴交于， 两点 (I)求椭圆的标准方程； ()判断的值是否为定值，并证明你的结论解析：（）由题意，解得： ， ， 故椭圆的标准方程为（）假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为(2，1)，直线l的方程为，即联立方程，得，此时，直线l与椭圆C相切，不合题意故直线TP和TQ的斜率存在设， ，则直线，直线故， ， 由直线，设直线（），联立方程， ，当时， ， ， 跟踪训练六1如下图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为， ，已知点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设， 是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行， 与
19、交于点，（i）若，求直线的斜率；（ii）求证： 是定值解析：（1）由题设知， 由点在椭圆上，得解得，于是，又点在椭圆上，所以解得，所以椭圆方程为（3） 因为直线,设设由故同理因为，故，所以直线的斜率为（ii）因为直线与平行，所以，于是，故由点在椭圆上知从而 同理 ，因此 又由知， 所以因此是定值2. 设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足（）求点的轨迹方程；（）过的直线与点的轨迹交于两点，过作与垂直的直线与点的轨迹交于两点，求证： 为定值解析：（）设，易知， ，又因为，所以，又因为在椭圆上，所以，即（）当与轴重合时， ， ，当与轴垂直时， ， ，当与X轴不垂直也不重合时，设的
20、方程为：（）设联立方程得：联立方程同理可得当直线过已知X轴的某个点(p,0)时，设x=my+p可以稍微简化运算。例如本题解：当与X轴不垂直也不重合时，设的方程为：x=my+1,则 与椭圆方程联立得： 与椭圆方程联立得： 结论略例3已知椭圆： （1）若椭圆的离心率为，且过右焦点垂直于长轴的弦长为，求椭圆的标准方程；（2）点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于， 两点，试判断是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因解析：（1），即， ，不妨令椭圆方程为，当时， ，得出，所以椭圆的方程为（2）令直线方程为与椭圆交于， 两点，联立方程得，即， ， 为定值跟踪训练七1设抛物线
21、的焦点为，准线为已知点在抛物线上，点在上， 是边长为4的等边三角形（1）求的值；（2）在轴上是否存在一点，当过点的直线与抛物线交于、两点时， 为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由解析：（1）由题知， ，则设准线与轴交于点，则又是边长为4的等边三角形， ，所以， ，即（2）设点，由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为由得， ，由韦达定理及两点间距离公式可得，同理可得，则t=2,此时点N（2,0）为定点所以存在定点N(2,0)使得为定值【总结】定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；例4.已知双曲线的左、右顶点分别为，直线与双曲线交于，直线交直线于
22、点（1）求点的轨迹方程；（2）若点的轨迹与矩形的四条边都相切，探究矩形对角线长是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由【答案】(1) ;(2)见解析【解析】试题分析：(1)利用交轨法，求出点的轨迹方程；(2) 设点，过点作椭圆的切线，则切线的斜率存在且不为0，设斜率为，则切线方程为，代入到椭圆方程整理，得由得到，这个关于的一元二次方程的两根即为与，由，可知，即，即点为矩形外接圆的圆心，其中为直径，大小为，故矩形对角线长为定值试题解析：（1）设点， ， ，其中由题意，得， 由，两式相乘得，代入上式得得所以点Q的轨迹方程为（2） 设点 联立椭圆方程并整理得：这个关于K的一元二次方程有两个解且设
23、为坐标原点，故可知，同理，得，即点为矩形外接圆的圆心，其中为直径，大小为，故矩形对角线长为定值跟踪训练八1.（广西桂林、贺州、崇左三市2018届）已知、是椭圆（）的左、右焦点，过作轴的垂线与交于、两点，与轴交于点，且，为坐标原点.（1）求的方程；（2）设为椭圆上任一异于顶点的点，、为的上、下顶点，直线、分别交轴于点、.若直线与过点、的圆切于点.试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。解析：（1）由知点是线段的中点，又为等腰三角形且，得为正三角形，.，且，.椭圆的方程为.（2）设，由（1）知，则直线的方程为.直线的方程为，设过的圆的圆心为即，则的半径满足；又，即为定长.类型五 角度为定值例1. （长沙市2019届）已知椭圆 的离心率，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且 .（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂直、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：的定值.解析：（），得.又，解得，故所求椭圆的标准方程为.（）由题可知，的方程为，的方程为.直线与直线、联立得、，所以，.所以.联立得.因为直线椭圆相切，所以 ，化简得.所以，所以，故为定值.（注：可以先通过计算出此时，再验证一般性）【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆相切问题和椭圆中的定值问题，考查学生推理和计算能力，属于中档题.专心-专注-专业