《高中数学-数列求前n项和方法汇总及练习(共16页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学-数列求前n项和方法汇总及练习(共16页).doc（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学-数列求和方法汇总及经典练习（含答案）一、公式法:利用以下公式求数列的和1. (为等差数列)2. ()或(为等比数列)3. 4. 等公式例已知数列，其中，记数列的前项和为，数列的前项和为，求。解：由题意，是首项为，公差为的等差数列前项和，二、分组求和法对于数列，若且数列、都能求出其前项的和，则在求前项和时，可采用该法例如：求和： 解：设 三、倒序相加法（或倒序相乘法）将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个，Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。1倒序
2、相加法例 设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为： 。解：因为f（x）=，f（1x）=f（x）+f（1x）=.设S=f（5）+f（4）+f（6），则S=f（6）+f（5）+f（5）2S=（f（6）+f（5）+（f（5）+f（4）+（f（5）+f（6）=6S=f（5）+f（4）+f（0）+f（6）=3.2倒序相乘法例如：已知、为两个不相等的正数，在、之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积解：设插入的这个正数为、且数列、成等比数列则 又 由得 四、错位相减法对于数列，若且数列、分别是等差数列、等比数列时，求该数列前项和时，可用该方法。一般在
3、已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，就是错位相减法。例 已知数列：，求数列前项和 解：在上式两边同乘以(或除以)等比数列的公比3，得由（两等式的右边错位相减） 五、裂项相消法对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前项和公式它适用于型（其中是各项不为0的等差数列，c为常数）、部分无理数列、含阶乘的数列等。常见的裂项方法有：1 234还有：；等。例 已知数列：，求数列前项和 解：
4、六、并项法例 已知 则 解： 同理 七、拆项重组求和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和也称分组求和法.例 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设将其每一项拆开再重新组合得：Sn 八、累加法给出数列的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为型，可以考虑利用累加法求和，此法也叫叠加法。例 数列的前项和为，已知，求解：由得：，即， ，对成立。由，累加得：，又，所以，当时，也成立。经典高考练习题1. 已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且（）求；
5、（）设，求数列2. 已知数列满足递推式，其中 （）求； （）求数列的通项公式； （）求数列的前n项和3 已知数列的前项和为，且有，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项的和。4. 已知数列满足，且（）求，；（）证明数列是等差数列；（）求数列的前项之和5. 数列的前项和为，（）求数列的通项；（）求数列的前项和6. . 求证：数列bn+2是公比为2的等比数列； ；.7. 已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且 的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和Tn.8. 已知是数列的前项和，且，其中. 求证数列是等比数列；求数列的前项和.9. 已知是数列的前n项和，并且
6、=1，对任意正整数n，；设）. （I）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （II）设的前n项和，求.经典高考练习题参考答案1.解析：设该等差数列为，则，即：， ， ，的前项和当时， （8分）当时，2.解：（1）由知解得：同理得 （2）由知构成以为首项以2为公比的等比数列；为所求通项公式 （3）3.解：由，又，是以2为首项，为公比的等比数列， （1） （2）（1）（2）得即： ，4解：（）， （）， 即数列是首项为，公差为的等差数列 （）由（）得 5.解：（），又，数列是首项为，公比为的等比数列，当时，（），当时，；当时，得：又也满足上式，6.解： 数列bn+2是首项为4公比为2的等比数列；
7、由知 上列（n-1）式子累加：.7.解：（1）设等差数列的公差为，则解得. （2）由 8.解：又也满足上式，（）数列是公比为2，首项为的等比数列（2）由， 于是 9.解析：（I）两式相减： 是以2为公比的等比数列，（II）而数列运算中整体思想简化计算一、 整体代入把已知条件作为一个整体，直接代入或组合后代入所求的结论。例1：在各项均为正数的等比数列an中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+log3a10=( )A.12 B.10 C.8 D.2+log35解析：log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a10)=log3(a5a6)5=5log39=52=10，
8、故应选B。例2：等差数列an的前10项和S10=100，前100项和S100=10，则前110项和S110等于（ ）A.-90 B.90 C.-110 D.110解析：S100-S10=a11+a12+a100=45(a1+a110)=-90，a1+a110=-2故S110=-110，所以应选C。二、 整体求解把所求的结论作为一个整体，由已知条件变形或计算便得。例3：在等比数列an中，若a10，且a2a4+2a3a5+a4a6=16，则a3+a5的值为_。解析：由已知条件得a32+2a3a5+a52=16，即(a3+a5)2=16，解之得：a3+a5=4。a10，a2n-10，故a3+a5=4
9、。例4：设等差数列an的前n项和为Sn，若S120，S130，得a6+a70；又S13=13a70，故S6最大。三、 整体转化把求解的过程作为一个整体，寓整体于转化之中。例5：已知等差数列an和等比数列bn满足条件：a1=b1=a0，a2n+1=b2n+1=b。试比较an+1与bn+1的大小。解析：由a1=b1=a0，知a2n+1=b2n+1=b0。an+1-bn+1=，故an+1bn+1。四、 整体换元把陌生的或复杂的式子进行整体换元，这是一种化生为熟、以简驭繁的解题策略。例6：已知等差数列an的前12项和为354，前12项中奇数项和与偶数项和之比为27:32，求公差d。解析：设前12项中奇
10、数项和与偶数项和分别为S奇和S偶，则有，据此得：，即，解之得：S奇=162，S偶=192。故由S偶-S奇=6d=30，解之得：d=5。五、 整体假设把不确定的结论假设成一个整体，这是解决开放性问题的有效方法。例7：已知等比数列an的首项a10，公比q0，q1；等差数列bn的公差d0，问是否存在一个常数a，使得logaan-bn为不依赖于n的定值。解析：假设存在常数a，使得logaan-bn=k（定值） 则logaan+1-bn+1=k(定值) -得：loga(bn+1-bn)=0，即logaq=d，解之得a=，故存在一个常数a=，使得logaan-bn为不依赖于n的定值。六、 整体构造把局部的
11、构造成一个整体，这是在整体中求发展的一大创举。例8：若等差数列an的m项和与前n项和分别记为Sm与Sn，且(mn)。求证：。证明：=。“裂项相消法”的两种用途裂项相消法用在数列求和和证明不等式 一、用于数列求和例1、求数列的前项的和解：数列的通项，所以点评:分式的求和多利用此法常见的拆项公式有：；等等例、设数列的前项和为，若对于N*，恒成立，求 解： ，则 ，得：，在中，当时，二、用于证明不等式例3、已知数列的通项公式为，求证：证明：（）当时，（）当时，（）当时， ， 综合（）（）（）得例4、求证：，其中N* 证明：（1）当时，命题显然成立； （2）当时， 对于N时，有， ，即综合（1）（2）得，其中N*点评：以上两例都借助放缩法再通过裂项相消法使得证明得以顺利进行专心-专注-专业