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1、精选优质文档-倾情为你奉上三次函数的基本题型由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数其导函数为二次函数:，判别式为：=，设的两根为、，结合函数草图易得：(1) 若，则恰有一个实根；(2) 若,且，则恰有一个实根；(3) 若,且，则有两个不相等的实根；(4) 若,且，则有三个不相等的实根.说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;(4)有三个不相等的实根的充要条件
2、是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 【例题1】：设函数，求函数的单调区间。【变式1】：设函数，求函数的单调区间。【变式2】：设函数，求函数的单调区间。【变式3】：设函数在（-，+）为单调函数，求m的取值范围。【变式4】：设函数，求函数的单调区间。【变式5】：设函数，求函数的单调区间。【变式6】：设函数，求函数的单调区间。【例题2】：设函数，求的极值。【例题3】：设函数，求在0,4的最值。【变式1】：【2005高考北京文第19题改编】 已知函数f(x)=x33x29xa, 若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值【变式2】：【2012
3、高考北京文第19题改编】已知函数，。当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围。【例题4】：设函数，在0,4的满足恒成立，求c的取值范围。【变式】：设函数，在0,4的满足恒成立，求c的取值范围。【例题5】：【2014高考北京文第20题改编】已知函数.若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；【变式】(1)已知函数.若过点存在2条直线与相切，求t的取值范围；(2)已知函数.若过点存在1条直线与相切，求t的取值范围 (3）问过点A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？【变式】：已知函数f(x)=在处有极值. （）求函数f(x)的单调区间；（）若函数f(
4、x)在区间-3,3上有且仅有一个零点，求b的取值范围。【例题6】：设若函数在区间内单调递减，求的取值范围；【变式】已知函数.若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围【例题7】已知函数当时，若在区间上不单调，求的取值范围【例题8】，若在上存在单调递增区间，求的取值范围；【例题9】已知函数，其中求在区间上的最小值答案：【例题1】：设函数，求函数的单调区间。解析：的定义域为R，,此时为的单调递增区间；，此时为的单调递减区间。【变式1】：设函数，求函数的单调区间。解析：的定义域为R，,此时为的单调递增区间；，此时为的单调递减区间。【老吴帮你解后反思】：变式1与例题的区别在于把三次函数的常数项换成参数m
5、，但是不影响函数的单调性。【变式2】：设函数，求函数的单调区间。解析：依题意可得 当即时,恒成立,故,所以函数在上单调递增; 当即时, 有两个相异实根，且，故，此时为的单调递增区间；，此时为的单调递减区间。综上可知，当时,函数在上单调递增; 当时,单调递增， 单调递减。【老吴帮你解后反思】：函数求导后为常数项未知的二次函数，不能确定二次函数与图像的交点个数，即二次方程的跟，所以要讨论的正负。【变式3】：设函数在（-，+）为单调函数，求m的取值范围。解析：依题意可得 ，所以。【老吴帮你解后反思】：1、单调函数为在定义域范围内为增函数或减函数;2函数求导后为含参数的二次函数， 二次函数图像开口向上
6、，所以只能满足（-，+）上，所以要 。【变式4】：设函数，求函数的单调区间。解析：依题意可得 ， 令，（1) m1,即为单调递增，为单调递减； （2）m=1,即，所以函数在上单调递增; （3）m1,即为单调递增，为单调递减；【老吴帮你解后反思】：由于m的不确定性，不能确定两根的大小，所以要进行分类讨论，很多同学不知道分类讨论的分界点是什么，遇到这种能够直接可以因式分解的，讨论的分界点即为两根相等时求出的参数值，所以此题分类讨论的分界点为m=1,m1,m000单调递增极大值单调递减极小值单调递增附图：【例题3】：设函数，求在0,4的最值。解析：定义域为，依据题意可知，令，（舍）0340单调递减极
7、小值单调递增通过表格可以发现，最大值为，最小值【老吴帮你解后反思】：本题主要注意求出 导数值为零点时，不在给定范围。附图：【变式1】：【2005高考北京文第19题改编】 已知函数f(x)=x33x29xa, 若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解析： 依据题意，（舍）-2-1 20 单调递减单调递增由表可知f(x)的最大值为=20，所以=-2.f(x)的最小值为=-7.附图：【变式2】：【2012高考北京文第19题改编】已知函数，。当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围。解析： 依据题意，-3-12000单调递增极大值单调递减极小值单调递增结合函数单调性可知，要
8、使最大值为，必须使。【老吴帮你解后反思】： 在解决函数问题时，一定要结合函数的单调区间及极值大致绘出函数图像（如下图),通过图像一目了然就可以观察出。【例题4】：设函数，在0,4的满足恒成立，求c的取值范围。解析：定义域为，依据题意可知，令，（舍）0340单调递减极小值单调递增通过表格可以发现，最大值为，最小值在0,4的满足恒成立，必须使c1.【变式】：设函数，在0,4的满足恒成立，求c的取值范围。解析：定义域为，依据题意可知，令，（舍）0340单调递减极小值单调递增通过表格可以发现，最大值为，最小值在0,4的满足恒成立，必须使c.【老吴帮你解后反思】： 此类题目为恒成立问题，可以总结为恒成立
9、，满足；恒成立，满足。【例题5】：【2014高考北京文第20题改编】已知函数.若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；方法一：方法二：，设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“图像有三个交点”。g(x)12x212x12x(x1)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)00g(x)单调递增3单调递减1单调递增所以，g(0)3是g(x)的极大值，g(1)1是g(x)的极小值结合图像知，当y=g(x)与有3个不同交点时，有1t3,即3t-1或t-3 (3)过点A(1，2)存在3条直线与曲线yf(x)相切；过点B(2，10)存在2条直线与曲线y
10、f(x)相切；过点C(0，2)存在1条直线与曲线yf(x)相切【老吴帮你解后反思】： 解法一是高考标准答案，解法二，运用分离参数法思想，分解成两个函数，一个是三次函数且不含参数，一个是常见的常函数，结合函数图像（如图)即可求解。【变式】：已知函数f(x)=在x=-2处有极值. （）求函数f(x)的单调区间；（）若函数f(x)在区间-3,3上有且仅有一个零点，求b的取值范围。解: （） 由题意知: ,得a=-1，令，得x0, 令，得-2x0, f(x)的单调递增区间是（-，-2）和（0，+），单调递减区间是（-2，0）。（）解法一：由（）知，f(x)= ，f(-2)=为函数f(x)极大值，f(0
11、)=b为极小值。函数f(x)在区间-3,3上有且仅有一个零点，或或或或 ，即 ，即b的取值范围是。 解法二：由（）知，f(x)= ，令=0，（以下略解）求出在-3,3的最值与单调区间，结合函数图像即可求解。附图：【例题6】：设若函数在区间内单调递减，求的取值范围；【解析】 函数在区间内单调递减，【变式】已知函数.若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围解析由于，的变化情况如下表：+00+单调增极大值单调减极小值单调增所以函数的单调递增区间是和. 【例题7】已知函数当时，若在区间上不单调，求的取值范围解析：因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点而的两根为，区间长为，在区间上不可能有2个零点所以，即， 又，【例题8】，若在上存在单调递增区间，求的取值范围；解析：在上存在单调递增区间【例题9】已知函数，其中求在区间上的最小值解：方程的判别式， 令 ，得 ，或 和的情况如下： 故的单调增区间为，；单调减区间为 当时，此时在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是 当时，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是 当时，此时在区间上单调递减，所以在区间上的最小值是 综上，当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是 专心-专注-专业