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1、精选优质文档-倾情为你奉上必修五 第一章 解三角形昌邑一中 张秀芬（一）单元教学整体设计 1、主要内容及目标定位： 本章的主要内容是正弦定理、余弦定理及其应用。教材采用由特殊到一般的呈现方式，以直角三角形为例证明了正弦定理。然后，用几何法通过构造直角三角形，利用勾股定理证明了余弦定理。教材通过例题说明解三角形在测量建筑物的高度、求两点间的距离，以及求力的大小等方面的应用。正、余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具。本章知识在现实生活中有着广泛的应用，通过本章的学习可以提高学生的数学建模能力。2、教学重、难点本章的重点是运用正、余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之
2、有关的计算问题，运用这两个定理解决一些测量以及几何计算有关的实际问题。本章的难点是两个定理的推导，以及运用两个定理解决实际问题。3、教学课时与安排本章教学时间约需8课时，具体分配如下： 1.1.1 正弦定理 2课时； 1.1.2 余弦定理 2课时；1.2 应用举例 2课时；实习作业 1课时；本章小结与复习 1课时。（二）每节课的教学内容分析1.1.1正弦定理一、教材分析1.教材的地位和作用本节知识是必修五第一章解三角形的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数也有联系，在高考
3、当中也时常考一些选择题、填空题、解答题。因此，正弦定理的知识非常重要。2.教学的重点和难点教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的推导及基本应用；教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。二、教学目标分析根据教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：1、知识与技能：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。2、过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工
4、具，将几何问题转化为代数问题。 3、情感与价值：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。三、教学过程分析1、设疑引入，创设情景兴趣是最好的老师,如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，因此我通过问题引入，巧设疑问来激发学生的思维，激活学生的求知欲。上课一开始，我先提出问题：为了求得不可直接到达的两点A、B之间的距离，通常另选一点C，测得a，b和角（图1）。如果 ，那是一个简单的解直角三角形的问题；但若 ，那就是斜三角形的问题了，如何求得AB的距离呢？这样，由实际的问题步步深入，提出问题，引
5、导学生知道仅利用直角三角形来解决实际问题还存在局限性，提出求解斜三角形的必要性，激发学生探索新知识的兴趣。接着，教师给学生指明一个探究的方向，在直角三角形这样的特殊情况即 即故 ，再接着设疑，对任意的三角形，是否都存在呢？这样由特殊情况到一般问题的提出，符合由特殊到一般，由具体到抽象的认识过程。2.实例分析，深化理解例1：已知ABC，根据下列条件，求相应的三角中其它边和角的大小。A=600，B=450，a=10；点拨：这种题型比较简单，只要给出两角，只有一解；直接求解，不用讨论。a=3，b=4，A=300点拨：（1）这种题型给出的是两边及其一边的对角，一定要注意是小边对角，还是大边对角；大边对
6、角只有一解；小边对角有三种情况可能一解、两解、无解。（2）本题是小边对角有三种情况可能一解、两解、无解。四、教学建议1.多设疑，多让学生思考；2.放慢速度，让学生切实体会正弦定理的推导过程，并能进行简单的应用。3.设置的题目不宜太难，让学生能体会到成就感。1.1.2 余弦定理一、教材分析1、教材的地位和作用本节知识是必修五第一章解三角形的第二节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系特别是勾股定理有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数也有联系，在高考当中也时常考一些选择题、填空题、解答题。因此，余弦定理的知识非常重要。 2、教学的重点和难点教学重点：
7、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点：余弦定理的证明及应用二、教学目标分析1.知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。2.过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。3.情感与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一三、教学过程分析1、引入问题（1）.正弦定理及其作用是什么？正弦定理 正弦定理的作用1)已知三角形的两角和任一边,求其它两边和另一角;2)
8、已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角).(2)用正弦定理能解决吗？下面引导学生用向量的方法解此三角形 = + |AC| =|AB + BC|AC| =|AB + BC| ACAC=（AB+BC）（AB+BC）=AB+2AB BC+BC=|AB|+2|AB| |BC|cos（180 -B）+|BC| =c -2accosB+a余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。2、实例分析，深化理解例1、ACB中，已知a=5， b=4， C=1200， 求c；点拨：利用余弦定理可以解决求边、角等问题，本例题是直接运用公式
9、求边。例2、ACB中，a=3， b=2，c=19，求此三角形的其他边、角的大小及其面积。点拨：本例题是变形运用余弦定理、正弦定理求边、角、求面积的问题，要注意公式的灵活变形，还要注意正弦定理中角的取舍。例3、ACB的顶点为A（6，5），B（2，8），C（4，1），求A点拨：本例题是解析法解决问题的典型例题，用到两点间的距离公式，可让学生复习一下公式再做。四、教学建议1.多设疑，多让学生思考；2.放慢速度，让学生切实体会余弦定理的推导过程，并能进行简单的应用。3.设置的题目不宜太难，让学生能体会到成就感。1.2应用举例一、教材分析1、教材的地位和作用 本部分内容在高考中也是一个重点知识，曾经在高
10、考解答题中进行过考察，对于学生解决实际问题在思维方法上具有指导意义。2、教学的重点和难点教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图 二、教学目标分析知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语。情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。三、 教学过程分析1.课前预习案中举了现实生活中的测距测高问题激发学生的探究欲，结合解决问题的知识正弦余弦定理的复习以达到顺利掌握本
11、节知识的目的。2课上教学环节的整体设计是：认知解三角形实际问题-复习应用题的解题过程-例题讲解-总结解题步骤-精细处理其中的注意事项3引入：对于无法正常完成的测距测高问题的解决策略。问题引导：、怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度。、怎样去测量地面上两个不能到达的地方之间的距离。 、我们学习过的应用题的解法分几步？对新知识进行讲授：首先组织学生对预习案中的问题透彻掌握，接着引导学生掌握学案上的典型例题，之后是引导学生掌握解三角形实际应用的解题过程，最后细化从如何作图、解三角形的每步中应注意的事项等方面彻底解决。继而是强化练习当堂检测当堂完成，巩固提高按难易程度分两部分课下完成。四、教学建议
12、1、本节课实际上针对性很强，严格来讲只有一类题目就是正弦余弦定理的应用，这里应当突出解决实际问题的步骤，不仅要求学生要会做还要做好。2、本节课解决时围绕审题后做出一个完美实用的图像上要下一番功夫。（三）近两年高考试题命题动向1、考点分析关于正余弦定理的考查，常与三角函数联系在一起，以正余弦定理为工具，通过三角恒等变换来解决问题。以中档题为主，常考题型有解三角形，判断三角形的形状，在三角形中证明含边角关系的恒等式，求值等，有时也与向量联系进行考查。2、考题典例（1）（2010上海文数）18.若的三个内角满足，则（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能
13、是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C为钝角（2）（2010湖南文数）7.在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120，c=a，则A.ab B.abC. ab D.a与b的大小关系不能确定（3）（2010天津理数）（7）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A=（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得，所以cosA=，所以A=300【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。【命
14、题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。（4）（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。(17) 解：方案一：需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，N的俯角；A，B的距离 d （如图所示） . .3分 第一步：计算AM . 由正弦定理； 第二步：计算AN . 由正弦定理； 第三步
15、：计算MN. 由余弦定理 .方案二：需要测量的数据有： A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）. 第一步：计算BM . 由正弦定理；第二步：计算BN . 由正弦定理； 第三步：计算MN . 由余弦定理本题比较新颖，考查的不单是解三角形，而是让学生设计测量方案，利用数学知识解决，考查学生的实践能力（四）典型错误剖析1、ABC中,a=1,b=, A=30,则B等于（ B ） A60 B60或120C30或150 D120错解：有正弦定理得：，所以错音剖析：已知三角形两边与其中一边的对角，三角形解得个数不唯一。正确解法：有正弦定理得：，因为 所以或1202、在
16、ABC中，AB5，BC7，AC8，则的值为( D )A79B69C5D-5错解：有余弦定理 =错因分析：向量的夹角不是B而是正确答案应-53、在中， （）求的值； （）设，求的面积错解：由，得，由，得所以或错因分析：有正弦定理可得， 因为 所以AB 所以 B是锐角。 因此4、设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, a=2bsinA()求B的大小; ()求的取值范围.解：（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得错解：（）所以，的取值范围为错因分析：没注意角A的取值范围正确解法：由为锐角三角形知，解得 所以，所以由此有，所以，的取值范围为5、在某海滨城市附近海面有一台风，
17、据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解：设在t时刻台风中心位于点Q，此时|OP|=300，|PQ|=20t，台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60，O北东Oy线岸OxQr(t)）P海由，可知，cosOPQ=cos(-45o)= coscos45o+ sinsin45o=在 OPQ中，由余弦定理，得 =若城市O受到台风的侵袭，则有|OQ|r(t)，即，整理，得，解得12t24,答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 本题为易错题专心-专注-专业