电动力学计算题(共46页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章1. 电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度（共10分）解：由高斯定理时， （2分）写成矢量式得 （1分） 时，球面所围电荷为 （1分） （2分）时， （） （2分） （2分）2. 电流I均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，求空间各点的磁场强度，并由此计算磁场的旋度。解：在与导线垂直的平面上作一半径为r的圆，圆心在导线轴上。由对称性，在圆周各点的磁感应强度有相同数值，并沿圆周环绕方向。先求磁感强度：(1) 当ra时，通过圆内的总电流为I，用安培环路定理得因此，可以得出 (ra)式中e为圆周环绕方向单位矢量。(2) 若ra,则

2、通过圆内的总电流为应用安培环路定理得因而，得出 (ra时由我们求出的B得出 (ra)(2) 当ra时，由上面的式子得 (ra) 3. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。解：（1）设场点到球心距离为。以球心为中心，以为半径作一球面作为高斯面。由对称性可知，电场沿径向分布，且相同处场强大小相同。当时， 。当时， ， ，向量式为 当时， 向量式为 （2）当时，当时，当时，4. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。解：（1）以圆

3、柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。当 时，由安培环路定理得：当 时，由环路定理得：所以 ， 向量式为 当 时，所以 ， 向量式为 （2）当 时，磁化强度为所以 在 处，磁化面电流密度为在 处，磁化面电流密度为向量式为 5. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，今在两板接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度和；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。(若介质是漏电的，电导率分别为和 当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？)解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方

4、向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为和，电位移分别设为和，其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为取高斯柱面，使其一端在极板A内，另一端在介质1内，由高斯定理得：同理，在极板B内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：所以有 ， 由于 E 所以 E 当介质漏电时，重复上述步骤，可得：， ， 介质1中电流密度 介质2中电流密度 由于电流恒定，再由 E 得E E EEE6. 同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质(如图所示)。导线载有电流I，两导线间的电压为U。(1

5、) 忽略导线的电阻，计算介质中的能流；(2) 若内导线的电导率为，计算通过内导线表面进入导线内的能流，证明它等于导线的损耗功率。解：(1)以距对称轴为r的半径作一圆周(arb),应用安培环路定律,由对称性得因而导线表面上一般带有电荷，设内导线单位长度的电荷(电荷线密度)为，应用高斯定理由对称性，可得，因而能流密度为式中ez为沿导线轴向单位矢量。两导线间的电压为:把S对两导线间圆环状截面积积分得：UI即为通常在电路问题中的传输功率表达式。可见这功率是在场中传输的。(2)设导线的电导率为，由欧姆定律,在导线内有由于电场切向分量是连续的,因此在紧贴内导线表面的介质内，电场除有径向分量Er外，还有切向

6、分量Ez。因此,能流S除有沿z轴传输的分量Sz外, 还有沿径向的分量Sr流进长度为l的导线内部的功率为7. 根据算符的性质，推导下列公式 解：由 得 8. 由麦克斯韦方程组导出电流连续性方程。解：由麦氏方程 上式两边求散度 （1） （1）左边 且 所以有 9. 已知电容率为e的均匀介质内部体自由电荷密度为rf，求这种介质的体极化电荷密度rp。解： 第二章10. 一个内半径和外半径分别维R2和R3的导体球壳，带电荷为Q。同心地包围着一个半径为R1的导体球(R1)处有一点电荷Q,如图示, 试用镜象法求空间任意一点的电势。(设镜象电荷Q距球心为b)aQoR0解： 用球内一假想的点电荷Q代替球面上感应

7、电荷对空间电场的作用。由对称性，Q应在OQ连线上。考虑球面上任意一点P（如图a所示），边界条件要求 因此对球面上任意一点，应有 由图b可见，只要选Q的位置使OQPOPQ，则 设Q据球心为b，两三角形相似的条件为 由上式可得Q据球心的距离为 由 和 可得Q的大小为 因Q和镜像电荷Q激发的总电场能满足在导体面上j=0的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。球外任意一点的电势为 式中r为由Q到点场点P的距离，r为由Q到点P的距离，R为由球心O到点P的距离，q为OP与OQ的夹角。22. 真空中，有一半径为R0的导体球，不接地，在与球心相距为a（a R0）处有一点电荷Q，试用镜像法求导体球外的电势。解：

8、导体球不接地，则导体球面为等势面，电势不为零，球面上必感应出等量正、负电荷，但感应电荷总量为零。（1）已知接地时，在离球心b处放置Q，保证球面为等势面且电势为0，但不能保证球面总电荷为0； （2）为使球面总电荷为零，且为等势面，根据对称性可知，还必须在球心处再放一个Q=-Q，这个电荷既不破坏球面等势性，又使球面总电荷为零。 （3）导体球外电势为点电荷Q、像电荷Q、-Q共同产生的电势23. 半径为R0的导体球，不接地且电势为U0，在与球心相距为a (a R0) 的一点放置点电荷Q，求导体球外电势。解：(1) 已知接地时，在离球心b处放置，可以保证球面为等势面且电势为零，但不能保证球面总电荷为零；

9、 当球不接地时，球面上必感应出等量正、负电荷，即感应电荷总量为零。为使球面总电荷为零，且为等势面，根据对称性可知，应在球心处放一个像电荷 因此导体球表面的电势即为最后放置的电荷产生的电势 (2) 为保证导体球的电势为U0，相当于在球心处再放置一个点电荷，因此和在球表面共同产生的电势为U0，即 (3) 导体球外电势为点电荷、像电荷、共同产生的电势 abz24. 在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部，半球的球心在导体平面上。点电荷Q 位于系统的对称轴上并与平面相距为b，b a，若取竖直向上为z方向，（1）用镜象法求空间电势时，需放置的像电荷的电量和位置（不要在下图中标注！）；（2）空间的电势

10、分布。解：（1）z轴为垂直导体平面向上的方向。共放置3个像电荷，电量和位置分别是-Q (0, 0, -b)；-Qa/b (0, 0, a2/b)；Qa/b (0,0,- a2/b)，（2）则上半空间的电势就是点电荷Q和三个像电荷所产生的电势的叠加 baOQxyP 25. 有一点电荷位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为和，（）写出用电象法求空间电势时，需放置的像电荷的位置和电量；（）写出空间的电势分布。解：可用三个像电荷来代替两个互相垂直的接地导体平面的作用。像电荷 的电量分别为 像电荷所处位置坐标为 在区域的空间个点的电势为aayOxR0P(a,a）Q答题不要

11、超过此线26. 两块互相垂直的接地半无限大金属平板，以及球心在O点，半径为R0的部分金属球面，把空间分成两个区域，有一电量为Q 的电荷置于点P(a, a)，写出用镜像法求空间电势时，所放置的像电荷的位置和电量。aayOxP(a,a）Q(a,-a）-Q-a-a-QQ(-a,-a）(a,-a）Qb-bb-bQ-Q-Q解:共需放置7个的像电荷，7个的像电荷的位置和电量如图。分其中， xaQP(x,y,z)Rze1e227. 在和的两个区域分别充满电容率为和的均匀介质，在处放置一个点电荷Q，用镜像法求空间电势分布。解：所求解区域内的泊松方程： 2）选择电势参考点：无穷远处电势为0， 边界条件： 3）根

12、据边界条件考虑像电荷位置及电量：a）区域1位置、电量： Q (0, 0, -a) b）区域2位置、电量： Q (0, 0, a) 4）(1)(2)明显满足边界条件1；根据边界条件2、3确定Q、 Q 第三章28. 设x0空间为真空，今有线电流I沿z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作它满足边界条件：及。由此可得介质中：由 得：在x0 的介质中 ，则： 再由 可得，所以， （沿 z 轴）29. 半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流均匀分布于截面上，试解矢势的微分方程。设导体的磁导率为，导体外的磁导率为。解：矢势所满足的方程为： 自然边界条件：时，有限。边

13、值关系：；选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与 z 无关。令，代入微分方程得：；解得：；由自然边界条件得，由 得：，由 并令其为零，得：，。；30. 证明的磁性物质表面为等磁势面。解:以角标1代表磁性物质，2代表真空，由磁场边界条件以及可得式中n和t分别表示法向和切向分量。两式相除得因此，在该磁性物质外面，H2与表面垂直，因而表面为等磁势面。31. 求磁化矢量为M0的均匀磁化铁球产生的磁场。解：铁球内和铁球外两均匀区域。在铁球外没有磁荷。在铁球内由于均匀磁化，则有因此磁荷职分布在铁球表面上。球外磁势1和球内磁势 2 都满足拉普拉斯方程，即当R时， 1 ，所以 1只含R负幂次项。当R=0时，

14、j2为有限值，所以j2只含R正次幂项。 铁球表面边界条件为当R=R0 (R0为铁球半径)时，比较Pn的系数，得于是得32. 试用分离变量法求磁化矢量为的均匀磁化铁球在球外空间产生的磁标势和在球内空间产生的磁标势。解：铁球内外为两均匀区域，在铁球外没有磁荷分布，铁球内由于均匀磁化,有 因此磁荷只能分布在铁球表面上，故球内、外磁标势都满足Laplaces equation： 由于轴对称性，上式解的通解为： （1）边界条件为 边值关系为 )由边界条件和边值关系可得 代入（1）式可得第四章、第五章33. 频率f=35109 Hz的微波，在ab = 0.9 cm0.4 cm的矩形波导管中能以什么波模传播

15、？解： 若电磁波频率高于截止频率，则电磁波就能以(m, n)波型传播对于ab = 0.9 cm0.4 cm的波导管Hz；Hz；Hz -故只有TE10波型能在这矩形波导管中传播。 34. 已知微波谐振腔的长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm，求谐振电磁波最大波长是多少？相应的谐振波模是什么？解： 取 对于的谐振腔，其最低谐振频率的谐振波模为 (1,1,0) 与最低谐振频率相应的最大波长为 35. 已知矩形波导中TM模的纵向电场为式中x,y,z的单位为cm,求(1) 截止波长;(2) 如果此模为TM32,求波导尺寸。解：（1）据电场Ez 的方程可知 所以 ， 截止波长: (2) 对TM32模 m

16、=3 n=2 第六章36. 一事件在t=0时刻发生在惯性系S的原点，第二个事件在t4秒时发生在点x=5c,y=0,z=0处，若在惯性系S中，(1) 两事件同时发生；(2) 第一个事件早于第二个事件1秒；(3) 第二个事件早于第一个事件1秒求惯性系S相对于惯性系S的速度解：由洛伦兹变换知， 1 由题意知， ，所以v0.8c 2.由题意知， ，所以v0.89c 3. 由题意知， ，所以v0.65c 37. 在惯性系中，某事件A发生在 x1 处，2.010-6s 后，另一事件B发生在 x2 处，已知x2 - x1 = 300m。另有一惯性系系以速率u 相对于系沿x轴正向匀速运动，且在t = t =

17、0时，这两个惯性系的坐标原点重合。（c = 3108 m/s）问：1）当速率u 为多少时，在系中看到这两个事件A与B发生在同一地点？2）根据上问中求出的速率u，计算在系中上述两个事件A与B的时间间隔。解：1）在系中，两个事件若发生在同一地点，根据洛仑兹变换（1）式其中由已知条件 代入（1）式，得2）根据洛仑兹逆变换，在系中，上述两个事件的时间间隔 （2）式由已知条件 代入（2）式，得或根据洛仑兹变换，在系中，上述两个事件的时间间隔 （2）式由已知条件 代入（2）式，同样可得答案。38. m子静止时的平均寿命为。当高能宇宙射线质子进入地球上层大气中时，会形成丰富的m子。设来自太空的宇宙线在离地面

18、为6000m的高空产生m子，且m子相对于地球的运动速率为，问m子能否在衰变前到达地面？解： 系与m子固连， 系静止1、时间延缓法在 系中m子寿命为 在系中m子寿命为 在该时间内m子运动的距离 在衰变前m子可到达地面。 2、长度缩短法在 系中，在m子的寿命内，它运动的距离为 而在 系测量宇宙线离地面的距离为 在衰变前，m子可可到达地面。 39. 静止子的平均寿命是。在实验室中，从高能加速器出来的子以为真空中光速）运动。（1）在实验室中观测，这些子的平均寿命是多少？（2）它们在衰变为其它粒子前飞行的平均距离是多少？（3）相对于子静止的观测者观测到它们衰变前飞行的平均距离是多少？解：（1）在实验室中

19、观测，子的平均寿命为 （2）它们在衰变前飞行的平均距离为 （3）相对于子静止的观测者观测到，子衰变前飞行得平均距离为 yvx, xyOO 或 40. 系与系是坐标轴相互平行的两个惯性系，系相对系沿Ox轴正向以速率匀速运动。一刚性尺静止于系中，与Ox 轴成 30角，而在系中观测得该尺与Ox轴成 45角，求 系相对于系匀速运动的速率。解：刚性尺静止于 系中，与Ox 轴成 30角，则有 （1）在系中观测得该尺与Ox轴成 45角，则有 （2）由于在与惯性系相对运动垂直的方向上无洛伦兹收缩，则 （3）在与惯性系相对运动平行的方向上有洛伦兹收缩，即 （4）则将（3）（4）代入（2），并根据（1），可得 4

20、1. 系以速率u =0.6c相对于S系沿x轴正向运动，且在t = t = 0时，这两个坐标系的原点重合。问：（1）若有一事件，在系中发生于t = 2.010-7s，x = 50m处，则该事件在系中发生于何时刻？（2）如有另一事件发生于系中t = 3.010-7s，x = 10m处，则在系中测得的上述两个事件的时间间隔为多少？解: （1）由洛伦兹坐标变换可求得系的观察者测得第一事件发生的时刻为（c=3.0108m/s） （2）同理，第二个事件发生的时刻为 系中的观察者测得两事件的时间间隔为 42. 试写出真空中麦克斯韦方程组的微分形式，并导出自由空间的波动方程。解：真空中麦克斯韦方程组为， ，。

21、对于自由空间，则：和两边取旋度得：43. P、M二点电荷分别为Q和3Q，它们相距为6a，有一半径为a的接地导体球，球心离P之距离为2a，离M之距离为4a，求作用在P电荷上的合力。解：PM在球体内，M点的象电荷 44. 地球上测得太阳的能流密度平均值为=1300瓦/.设太阳光是单色平面线偏振电磁波（实际上不是偏振光，也不是单色光）.（1） 试估计地球上太阳光中的电场和磁场振幅（2） 求太阳的平均辐射功率（3） 估计太阳表面的电场和磁场振幅（已知日地距离为1.5米，太阳半径为7米，）解：（1），= （2）以太阳为中心，以日地距离为半径的大球面积为：(3)太阳的表面积为所以太阳的能流密度平均值为=4

22、5. 一恒星与地球相距5l.y.(光年),从地球上向它发射宇宙飞船，设宇宙飞船的速度是0.8c,问飞船到达恒星需要多长时间？宇航员的钟看来是多少时间？如果飞船的速度是0.99c，其结果又如何？解：（1）v=0.8c,地球观察者：飞船到达恒星需要时间（单位：a=年） 宇航员的钟（由于运动而变慢）所需要时间为：（2）如果v=0.99c,同理可得：宇航员的钟（由于运动而变慢）所需要时间为：46. 根据四维波矢量K的变换式，导出相对论多普勒效应公式。解：洛仑兹变换为， 可写成矩阵形式：四维的波矢量的变换为47. 试写出真空中麦克斯韦方程组的积分形式，并利用高斯公式和Stokes公式导出对应的微分形式。

23、解：，。(4分)。48. 接地的空心导体球壳内外半径为，在球腔内离球心a（aR1）处置一点电荷Q，用电象法求电势分布。导体球壳上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？解：由于接地导体球壳的静电屏蔽作用，区域电势为零。球腔内利用电象法可得49. 设惯性系相对于惯性系S沿x轴正向以速度v运动，试由洛仑兹变换导出势的变换关系。解：50. 在惯性系S中，有两个事件同时发生在x轴上相距为1.0m的两处，从惯性系观测到这两个事件相距为2.0m，试问由系测得此两事件的时间间隔为多少？解：根据洛仑兹变换，（+2分） (2分) (3分) （已知） （2分）51. 试由麦克斯韦方程组推导出势和所满足的微分方程

24、，并且分别用库仑规范和洛仑兹规范简化方程的形式。 而 代入上式得 代入上二式整理得 若采用洛仑兹规范，则： 52. 无穷大平行板电容器内有两层介质，如图，极板上面电荷密度为，求电场和束缚电荷分布。解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向。下板与介质1界面上，因导体内场强为零，故得同样，上板与介质2界面上得由这两式得，束缚电荷分布于介质表面上。在介质界面上，得在介质1与下板分界处，得在介质2与上板分界处53. 同轴传输线内导线半径为，外导线半径为，两导线间为均匀绝缘介质。导线载有电流，两导线间的电压为。忽略导线的电阻，计算介质中的能流密度和传输功率。解：以距对称轴为的半径作一圆周，应用安培环路定律

25、，由对称性得磁场强度为导线表面上一般带有电荷，设内导线的单位长度的电荷（电荷线密度）为，应用高斯定理，由对称性得电场强度为能流密度为两导线间的电压为所以能流密度为则传输功率为。54. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质内均匀地带静止的自由电荷密度。求空间各点的电场和极化电荷面密度。解：以球心为坐标原点，因介质内自由电荷密度与介质的电容率均为常数，而介质表面是球面，故电场分布有球对称性。由高斯定理得， 由，得介质的极化强度。介质球外，故球壳外表面极化电荷面密度为球腔内，球壳内表面极化电荷面密度为。55. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀的自由电子电流密度，导体的磁导率为，求磁感应强度和面磁化电流。解：以圆柱中心轴为轴，则。由对称性，场强只与离开轴的距离有关，且只有方向的分量，由安培环路定理得