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1、精选优质文档-倾情为你奉上北师大版九年级下册 三角函数的应用-方向角问题（含答案）一、单选题1如图，在A、B 两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42，则A地到公路BC的距离是（）A.6千米B.8千米C.10千米D.14千米2如图，一艘船由港沿北偏东65方向航行至港，然后再沿北偏西40方向航行至港，港在港北偏东20方向，则，两港之间的距离为（ ）.A.B.C.D.二、填空题3如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测
2、得船C在北偏东60的方向上，从B站测得船C在北偏东30的方向上，则船C到海岸线l的距离是_km4如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60方向为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行_小时即可到达（结果保留根号）三、解答题5如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60方向且与B相距20km处现有一艘轮船从位于点A南偏东74方向的C处，沿该航线自东向西航行至观
3、测点A的正南方向E处求这艘轮船的航行路程CE的长度（结果精确到0.1km）（参考数据：1.73，sin740.96，cos740.28，tan743.49）6如图，一艘游轮在A处测得北偏东45的方向上有一灯塔B游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：1.41，1.73）7如图所示，在某海域，一般指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45方向上，且BC=60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正
4、西方向.于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考数据：，结果精确到0.1小时）8据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60方向上，终点B位于点C的南偏东45方向上一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：1.41，1.73）9知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方
5、便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60方向行驶至B地，再沿北偏西37方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参考数据：sin53,cos53，tan53)10如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离11为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行
6、驶在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）12如图，海中有一小岛P，在距小岛P的海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？13为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处
7、，再次测得凉亭P在北偏东45的方向上，如图所示求凉亭P到公路l的距离（结果保留整数，参考数据：1.414，1.732）14科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离15如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C经测量，C位于A的北偏东60的方向上，C位于B的北偏东30的方向上，且AB=10km（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会
8、准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长（结果保留根号）16如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离（参考数据：2.449，结果保留整数）17由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛位于它的北偏东方向.如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长.（
9、参考数据：，）18某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33方向，求出这段河的宽度（结果精确到1米，参考数据：sin330.54，cos330.84，tan330.65，1.41）19如图所示，我国两艘海监船，在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船.此时，船在船的正南方向5海里处，船测得渔船在其南偏东方向，船测得渔船在其南偏东方向.已知船的航速为30海里/小时，船的航速为25海里/小时，问船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考
10、数据：，）20为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30方向上（1）求APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？专心-专注-专业参考答案1B【解析】【分析】根据方位角的定义，结合平行线，可得ABG48再结合CBE42，可得ABC90；再根据点到直线的距离，可以得到线段AB的长度就是点A到BC的距离，由此可以确定选项.【详解】由分析可得ABG48，CBE42 ABC180
11、484290A到BC的距离就是线段AB的长度. AB8千米【点睛】本题主要考查方位角的知识和平行线的性质以及点到直线的距离，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.2B【解析】【分析】根据题意作BD垂直于AC于点D，根据计算可得，;根据直角三角形的性质求解即可.【详解】解：根据题意作BD垂直于AC于点D.可得AB= ， 所以可得 因此可得 故选B.【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据特殊角的三角函数值计算即可.3【解析】【分析】利用特殊角三角函数解直角三角形.【详解】解：过点C作CDAB于点D，根据题意得：CAD=9060=30，CBD=9030=60，ACB=CBDCAD=30，CAB=A
12、CB，BC=AB=2km，在RtCBD中，CD=BCsin60=2=（km）故答案为：【点睛】利用三角函数定义解直角三角形：1.已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角.依据：边的关系：；角的关系：A+B=90；边角关系：三角函数的定义.(注意：尽量避免使用中间数据和除法)2.30-60-90直角三角形三边关系1:2：，三角函数值需要牢记.4【解析】【分析】如图，过点P作PQAB交AB延长线于点Q，过点M作MNAB交AB延长线于点N，通过解直角AQP、直角BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角BMN求得BM的长度，则易得所需时间【详解】如图，过点P作PQAB交AB延长线于点
13、Q，过点M作MNAB交AB延长线于点N，在直角AQP中，PAQ=45，则AQ=PQ=601.5+BQ=90+BQ（海里），所以 BQ=PQ90在直角BPQ中，BPQ=30，则BQ=PQtan30=PQ（海里），所以 PQ90=PQ，所以 PQ=45（3+）（海里），所以 MN=PQ=45（3+）（海里），在直角BMN中，MBN=30，所以 BM=2MN=90（3+）（海里），所以（小时），故答案为：【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想520.9km【解析】分析：根据题意，构造直角三角
14、和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解：如图，在RtBDF中，DBF=60，BD=4km，BF=8km，AB=20km，AF=12km，AEB=BDF，AFE=BFD，AEFBDF，AE=6km，在RtAEF中，CE=AEtan7420.9km故这艘轮船的航行路程CE的长度是20.9km点睛：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.6A处与灯塔B相距109海里【解析】【分析】直接过点C作CMAB求出AM，CM的长，再利用锐角三角函数关系得出BM的长即可得出答案【详解】过点C作CMAB，垂足为M，在RtACM中，MAC=9045
15、=45，则MCA=45，AM=MC，由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（202）2，解得：AM=CM=40，ECB=15，BCF=9015=75，B=BCFMAC=7545=30，在RtBCM中，tanB=tan30=，即，BM=40，AB=AM+BM=40+4040+401.73109（海里），答：A处与灯塔B相距109海里【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键71.0小时.【解析】分析：延长AB交南北轴于点D，则ABCD于点D，通过解直角三角形BDC和ADC，求出BD、CD和AD的长，继而求出AB的长，从而可以解决问题.详解：如图，因为A在B的正
16、西方，延长AB交南北轴于点D，则ABCD于点DBCD=45，BDCD，BD=CD在RtBDC中，cosBCD=，BC=60海里，即cos45=，解得CD=海里，BD=CD=海里在RtADC中，tanACD=即 tan60=，解得AD=海里，AB=ADBD，AB=30（）海里海监船A的航行速度为30海里/小时，则渔船在B处需要等待的时间为 =2.451.41=1.041.0小时，渔船在B处需要等待约1.0小时点睛：此题考查了方向角问题此题难度适中，解题的关键是利用方向角构造直角三角形，然后解直角三角形，注意数形结合思想的应用8此车没有超过了该路段16m/s的限制速度【解析】分析：根据直角三角形的
17、性质和三角函数得出DB，DA，进而解答即可详解：由题意得：DCA=60，DCB=45，在RtCDB中，tanDCB=，解得：DB=200，在RtCDA中，tanDCA=，解得：DA=200，AB=DADB=200200146米，轿车速度，答：此车没有超过了该路段16m/s的限制速度点睛：本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度，难度一般9（20-5）千米. 【解析】分析：作BDAC，设AD=x，在RtABD中求得BD=x，在RtBCD中求得CD=x，由AC=AD+CD建立关于x的方程，解之求得x的值，最后由BC=可得答案详解：过点B作BD AC，
18、依题可得：BAD=60，CBE=37,AC=13（千米），BDAC，ABD=30，CBD=53,在RtABD中，设AD=x，tanABD= 即tan30=，BD=x，在RtDCB中，tanCBD= 即tan53=，CD= CD+AD=AC,x+=13，解得，x= BD=12-,在RtBDC中，cosCBD=tan60=,即：BC=(千米),故B、C两地的距离为（20-5）千米. 点睛：此题考查了方向角问题此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解10渔船此时与C岛之间的距离为50海里【解析】【分析】过点C作CDAB于点D，由题意得：BCD=30，设
19、BC=x，解直角三角形即可得到结论【详解】过点C作CDAB于点D，由题意得：BCD=30，设BC=x，则：在RtBCD中，BD=BCsin30=x，CD=BCcos30=x；AD=30+x，AD2+CD2=AC2，即：（30+x）2+（x）2=702，解得：x=50（负值舍去），【点睛】注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键11100米. 【解析】【分析】如图，作PCAB于C，构造出RtPAC与RtPBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值进行求解即可得.【详解】如图，过P点作PCAB于C，由题意可知：PAC=60，PBC=30，在RtPAC中，tan
20、PAC=，AC=PC，在RtPBC中，tanPBC=，BC=PC，AB=AC+BC=PC+PC=1040=400，PC=100，答：建筑物P到赛道AB的距离为100米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值进行解答是关键.12轮船自A处开始至少沿南偏东75度方向航行，才能安全通过这一海域【解析】试题分析: 过P作PBAM于B,则PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离,求出PC长和16比较即可,第二问设出航行方向,利用特殊角的三角函数值确定答案.试题解析:过P作PBAM于B,在RtAPB中,PAB=30,PB=AP=32=16海里,1616故轮
21、船有触礁危险,为了安全,应该变航行方向,并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16海里,即这个距离至少为16海里,设安全航向为AC,作PDAC于点D, 由题意得,AP=32海里,PD=16海里,sinPAC=,在RtPAD中,PAC=45,BAC=PAC-PAB=45-30=15,答:轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.13凉亭P到公路l的距离为273.2m【解析】【分析】分析：作PDAB于D，构造出RtAPD与RtBPD，根据AB的长度利用特殊角的三角函数值求解【详解】详解：作PDAB于D设BD=x，则AD=x+200EAP=60，PAB=9060=30在RtB
22、PD中，FBP=45，PBD=BPD=45，PD=DB=x在RtAPD中，PAB=30，PD=tan30AD，即DB=PD=tan30AD=x=（200+x），解得：x273.2，PD=273.2答：凉亭P到公路l的距离为273.2m【点睛】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答142 【解析】【分析】过B作BDAC于点D，在RtABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角BCD中利用三角函数求得BC的长【详解】解：过B作BDAC于点D在RtABD中，BD=ABsinBAD=4=（千米），BCD中，CBD=45，BCD是等腰直
23、角三角形，CD=BD=（千米），BC=BD=（千米）答：B，C两地的距离是千米点睛：此题考查了方向角问题和解直角三角形的应用此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解15（1）10km；（2）km. 【解析】【分析】（1）先根据方向角的定义得出CAB=30，ABC=120，由三角形内角和定理求出C=180CABABC=30，则CAB=C=30，根据等角对等边求出BC=AB=10km；（2）首先过点C作CEAB于点E，然后在RtCBE中，求得答案即可【详解】（1）如图，由题意得CAB=30，ABC=90+30=120，C=180CABABC=30，C
24、AB=C=30，BC=AB=10km，即景点B、C相距的路程为10km；（2）如图，过点C作CEAB于点E，BC=10km，C位于B的北偏东30的方向上，CBE=60，在RtCBE中，CE=BC=5km【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，涉及到三角形内角和定理，等腰三角形的判定等知识根据条件得出CAB=C是解题的关键16此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里【解析】【分析】过点P作PCAB，则在RtAPC中易得PC的长，再在直角BPC中求出PB的长即可【详解】作PCAB于C点，APC=30，BPC=45 ，AP=80（海里），在RtAPC中，cosAPC=，PC=PAcosAP
25、C=40（海里），在RtPCB中，cosBPC=，PB=4098（海里），答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里【点睛】本题考查了解直角三角形的应用举例，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.17还需要航行的距离的长为20.4海里.【解析】分析：根据题意得：ACD=70，BCD=37，AC=80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD=27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案详解：由题知：，.在中，（海里）.在中，（海里）.答：还需要航行的距离的长为20.4海里.点睛：此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，三角函数的应用；求出CD的长度是解决问题的关键1
26、8这段河的宽约为37米【解析】【分析】延长CA交BE于点D，得，设，得米，米，根据列方程求出x的值即可得【详解】解：如图，延长CA交BE于点D，则，由题意知，设米，则米，米，在中，解得，答：这段河的宽约为37米19C船至少要等待0.94小时才能得到救援.【解析】试题分析：过点C作交AB的延长线于点D，可得CDA=90，根据题意可知CDA=45，设CD=x，则AD=CD=x，在RtBDC中，根据三角函数求得CD、BC的长，在RtADC中，求得AC的长，再分别计算出B船到达C船处约需时间和A船到达C船处约需时间，比较即可求解.试题解析：过点C作交AB的延长线于点D，则CDA=90已知CDA=45，
27、设CD=x，则AD=CD=xBD=AD-AB=x-5在RtBDC中，CD=BDtan53，即x=（x-5）tan53BC=B船到达C船处约需时间：2525=1（小时）在RtADC中，AC=1.4120=28.2A船到达C船处约需时间：28.230=0.94（小时）而0.941，所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援.考点：解直角三角形的应用.20（1）30；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的【解析】试题分析：（1）根据直角的性质和三角形的内角和求解；（2）过点P作PHAB于点H，根据解直角三角形，求出点P到AB的距离，然后比较即可.试题解析：（1）在APB中，PAB=30，ABP=120APB=180-30-120=30（2）只需算出航线上与P点最近距离为多少即可过点P作PHAB于点H在RtAPH中，PAH=30，AH=PH在RtBPH中，PBH=30，BH=PHAB=AH-BH=PH=50算出PH=2525，不会进入暗礁区，继续航行仍然安全.考点：解直角三角形