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1、精选优质文档-倾情为你奉上高等数学下册知识点第七章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设，则 , ； 5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：；2） 两点间的距离公式：3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4） 方向余弦：5） 投影：，其中为向量与的夹角。（二） 数量积，向量积1、 数量积：1）2）2、 向量积：大小：，方向：符合右手规则1）2）运算律：反交换律 （三） 曲面及其方程1、
2、曲面方程的概念：2、 旋转曲面：面上曲线，绕轴旋转一周：绕轴旋转一周：3、 柱面：表示母线平行于轴，准线为的柱面4、 二次曲面1） 椭圆锥面：2） 椭球面：旋转椭球面：3） 单叶双曲面：4） 双叶双曲面：5） 椭圆抛物面：6） 双曲抛物面（马鞍面）：7） 椭圆柱面：8） 双曲柱面：9） 抛物柱面：（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：2、 参数方程：，如螺旋线：3、 空间曲线在坐标面上的投影，消去，得到曲线在面上的投影（五） 平面及其方程1、 点法式方程： 法向量：，过点2、 一般式方程：截距式方程：3、 两平面的夹角：， 4、 点到平面的距离：（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：2、
3、 对称式（点向式）方程： 方向向量：，过点3、 参数式方程：4、 两直线的夹角：， 5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 第八章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数：，图形：3、 极限：4、 连续：5、 偏导数：6、 方向导数： 其中为的方向角。7、 梯度：，则。8、 全微分：设，则（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大
4、最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定义： 2） 复合函数求导：链式法则 若，则 ，3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数的极值解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令， 若，函数有极小值，若，函数有极大值； 若，函数没有极值； 若，不定。2） 条件极值：求函数在条件下的极值令： Lagrange函数解方程组 2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：2） 曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为： 法线方程为：第九章 重积分（一） 二重积分1、 定义：2、 性质：（6条）
5、3、 几何意义：曲顶柱体（以D为底，以曲面为顶）的体积。4、 计算：1） 直角坐标，2） 极坐标 （二） 三重积分1、 定义： 2、 性质：与二重积分类似3、 物理意义：立体（密度为）的质量4、 计算：1） 直角坐标 -投影法 -截面法2） 柱面坐标，3） 球面坐标（三） 应用曲面的面积：第十章 曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义：2、 物理意义：曲线L（线密度为）的质量3、 性质：1） 2） 3）在上，若，则4） ( l 为曲线弧 L的长度)4、 计算：设的参数方程为，则（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，
6、定义，.向量形式：2、物理意义：变力沿曲线L所做的功3、性质： 用表示的反向弧 , 则4.计算：设的参数方程为，则（四） 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，则.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则 曲线积分 在内与路径无关曲线积分 在内为某一个函数的全微分（四） 对面积的曲面积分1、 定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义 2、物理意义：曲面（面密度为）的质量3、计算：“一投二代”，则（五） 对坐标的曲面积分1、
7、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义 同理，3、物理意义：单位时间内流体（流速）流向曲面指定侧的流量4、性质：1），则2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则5、计算：“一投二代三定号”设，则,为上侧取“ + ”， 为下侧取“ - ”.6、 两类曲面积分之间的关系：其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有或2、 通量与散度通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：散度：（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲
8、面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:2、 环流量与旋度环流量：向量场沿着有向闭曲线G的环流量为旋度：第十一章 无穷级数（一） 常数项级数1、 定义：1）无穷级数：部分和：，正项级数：，交错级数：，2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散3）条件收敛：收敛，而发散；绝对收敛：收敛。2、 性质：1） 改变有限项不影响级数的收敛性；2） 级数，收敛，则收敛；3） 级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；4） 必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）3、 审敛法正项级数
9、：，1） 定义：存在；2） 收敛有界；3） 比较审敛法：，为正项级数，且 若收敛，则收敛；若发散，则发散.4） 比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，而收敛，则收敛；若存在正整数，当时，而发散，则发散. 5） 比较法的极限形式：，为正项级数，若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散.6） 比值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.7） 根值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.8） 极限审敛法：为正项级数，若或，则级数发散；若存在，使得，则级数收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：，满
10、足：，且，则级数收敛。任意项级数：绝对收敛，则收敛。常见典型级数：几何级数：p -级数：（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、 幂级数：收敛半径的求法：，则收敛半径 3、 泰勒级数 展开步骤：（直接展开法）1） 求出；2） 求出；3） 写出；4） 验证是否成立。间接展开法：（利用已知函数的展开式）1）；2）；3）；4）；5）6）7）8）4、 傅里叶级数1） 定义：正交系：函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。傅里叶级数：系数： 2） 收敛定理：(展开定理)设 f (x) 是周期为2p的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有3） 傅里叶展开：求出系数：；写出傅里叶级数；根据收敛定理判定收敛性。第十二章 微分方程（一）概念专心-专注-专业