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1、精选优质文档-倾情为你奉上1. 对Runge函数用在区间-1, 1下列条件作插值逼近，并和的图像进行比较。（1） 用等距节点，h=0.2, 绘出它的10次Newton插值多项式的图像。（2） 用节点(i=0,1,10)，绘出它的10次Newton插值多项式的图像。（3） 用等距节点，h=0.2, 绘出它的分段线性插值多项式的图像。（4） 用等距节点，h=0.2, 绘出它的三次自然样条线性插值多项式的图像。解：当x在中间取值范围时，Newton插值曲线与原曲线比较接近，但是当x在两端时，Newton插值曲线与原曲线相差越来越大，出现了Runge现象。插值余项.由插值多项式的唯一性知，因此，牛顿插
2、值与拉格朗日插值有相同的余项表达式，即由此有.牛顿前插公式为.其余项为牛顿后插公式为.其余项为在这里由于x不是等距节点，Lagrange插值曲线与原曲线比较接近，没有出现Runge现象。给定，构造次数不超过的拉格朗日插值多项式.称为关于的次拉格朗日插值多项式，它满足.其中称为为结点的次插值函数，它满足.设是上关于的次插值多项式，在上有阶连续导数，在上存在，则其余项为.分段线性插值函数在区间上是一致收敛的，曲线与原曲线比较接近，不会出现Runge现象，但是需要用分段函数来表示。n越大，分段越多，节点间距越小，分段直线越逼近于原函数曲线；由于在每个节点处，分段线性插值函数都是取该点的原函数的值，故
3、Inx具有很好的收敛性，不会像拉格朗日插值那样出现振荡现象；由于对于x点的插值，分段线性插值只用到x左右的两个节点，并且用直线直接相连，因此分段线性插值在节点处不光滑。三次自然样条插值曲线与原曲线很接近。设为三次样条插值函数，则有估计式， .其中： .可见，当时，三次样条插值函数及其一阶导数、二阶导数分别一致收敛于被插函数、及.在以上四种插值方法中，三次自然样条插值方法得到的曲线与原曲线最相近。拉格朗日插值曲线在节点附近误差很小，曲线也较为光滑，但在端点处有较为明显的振荡现象；分段线性插值曲线具有良好的收敛性，但在节点处不光滑；而三次样条插值曲线在n较小时也会在端点附近有相对较大的误差，但兼具
4、了收敛和光滑的优点，从直观上看与原函数曲线吻合得最好。Matlab程序如下：x0=-1:0.2:1; %初始数据y0=1./(1+25*x0.2);x=-1:0.01:1; %插值点y=1./(1+25*x.2);n=max(size(x0);l=max(size(x);s=1; %一次因子的乘积,预设为1dx=y0; %差商for k=1:l s=1; %一次因子的乘积,预设为1 dx=y0; %差商 yz=y0(1);for i=1:n-1 dx0=dx; for j=1:n-i dx(j)=(dx0(j+1)-dx0(j)/(x0(i+j)-x0(j); end df=dx(1); s=
5、s*(x(k)-x0(i); %一次因子乘积 yz=yz+s*df; %计算各次Newton插值的值 end yx(k)=yzend figure;plot(x,yx,r,LineWidth,2);hold on;plot(x,y,b,LineWidth,2);grid on;plot(x0,y0,ok,markersize,6,LineWidth,6)hold ontitle(Newton插值曲线与原曲线比较,fontsize,24);xlabel(x轴,fontsize,20);ylabel(y轴,fontsize,20);legend(Newton插值曲线,原曲线:1/(1+25*x2)
6、;set(gca,fontsize,16)i=1:11x0=cos(2*i-1)/22*pi)y0=1./(1+25*x0.2);x=-1:0.01:1; %插值计算点y=1./(1+25*x.2);m=length(x);n=11;for k=1:m %分别对每一点进行插值 tx=x(k);%插值点 s=0; %进入迭代计算过程 for j=0:(n-1) t=1; for i=0:(n-1) if i=j t=t*(tx-x0(i+1)/(x0(j+1)-x0(i+1); end end s=s+t*y0(j+1); end yx(k)=s;end%画图显示结果figure;plot(x,
7、yx,r,LineWidth,2);hold on;plot(x,y,b,LineWidth,2);grid on;plot(x0,y0,ok,markersize,6,LineWidth,6)hold ontitle(Lagrange插值曲线与原曲线比较,fontsize,24);xlabel(x轴,fontsize,20);ylabel(y轴,fontsize,20);legend(Lagrange插值曲线,原曲线:1/(1+25*x2);set(gca,fontsize,16)x0=-1:0.2:1y0=1./(1+25*x0.2);x=-1:0.01:1; %插值计算点y=1./(1+
8、25*x.2);m=length(x);n=length(x0);for j=1:mfor i=1:n-1 if (x(j)=x0(i)&(x(j)=x0(i+1) yx(j)=(x(j)-x0(i+1)/(x0(i)-x0(i+1)*y0(i)+(x(j)-x0(i)/(x0(i+1)-x0(i)*y0(i+1); endendendfigure;plot(x,yx,r,LineWidth,2);hold on;plot(x,y,b,LineWidth,2);grid on;plot(x0,y0,ok,markersize,6,LineWidth,6)hold ontitle(分段线性插值曲
9、线与原曲线比较,fontsize,24);xlabel(x轴,fontsize,20);ylabel(y轴,fontsize,20);legend(分段线性插值曲线,原曲线:1/(1+25*x2);set(gca,fontsize,16)x0=-1:0.2:1;%节点y0=1./(1+25*x0.2);x=-1:0.01:1; %插值计算点y=1./(1+25*x.2);yx=csape(x0,y0,second);figure;plot(x,fnval(yx,x),r,LineWidth,2); hold on;plot(x,y,b,LineWidth,2);grid on;plot(x0,y0,ok,markersize,6,LineWidth,6)hold ontitle(三次样条插值曲线与原曲线比较,fontsize,24);xlabel(x轴,fontsize,20);ylabel(y轴,fontsize,20);legend(三次样条插值曲线,原曲线:1/(1+25*x2);set(gca,fontsize,16)专心-专注-专业