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1、精选优质文档-倾情为你奉上全等三角形一、全等图形定义及性质1.图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用表示，读作“全等于”2.全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。3. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 例1.下列说法：全等图形的形状相同、大小相等；全等三角形的对应边相等；全等三角形的
2、对应角相等；全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（） A B C D2.如图,ABDACE,则AB的对应边是_,BAD的对应角是_3.已知:如图,ABEACD,B=C,则AEB=_,AE=_4.如图:ABCDCB,AB和DC是对应边,A和D是对应角,则其它对应边是_,对应角是_5.已知:如图,ABCDEF,BCEF,A=D,BC=EF,则另外两组对应边是_,另外两组对应角是_ 2题3题4题5题 全等三角形的基本图形大致有以下几种：1平移型 如图3，下面几种图形属于平移型，它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到图32对称型
3、如图4，下面几种图形属于对称型：图4 它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点3旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型：它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角、某些角的和 或差中 图5二、全等三角形的判定画图思考？1、 全等三角形的判定方法：（SAS）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)边边边（SSS）边角边（SAS）角边角(ASA)角角边AAS直角边和斜边（HL） 三边对应相等的两三角形全等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全
4、等.两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL）2全等三角形证题的思路：3.全等三角形的隐含条件：公共边（或公共角）相等 对顶角相等利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等 利用平行线的性质得出同位角、内错角相等 全等三角形（SSS）【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”，例1.已知：如图AB=CD,AD=BC，求证：ADBC。例2.已知：如图，点A、C、B、D在同一条直线上,AC=BD,AM=CN,BM=DN,求证：AMBCND例3.已知AB=CD，BF=CE，AE=CF，问A
5、BCD吗？例4.已知：如图,AB=AE,AC=AD,BC=DE, C,D在BE边上.求证：CAE=DAB例5.如图，在中，M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 求证：AM是的角平分线例6.如图：在ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BDAC。例7. 如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：B=C。例8. 如图，在中,，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DEAB。 例9.已知：如图，AB=DC，BD=AC，AC，BD交于O求证：AOBDOC例10.如图，已知：AB=AC，BE=CE ，E为AD上一点，求证：BED=CED。例1
6、1.已知：如图，A、E、F、B在一条直线上，AC=BD , AE=BF，CF=DE。求证：ADBC例12.已知：如图 , E是AD上的一点 , AB=AC , AE=BD , CE=BD+DE求证：B=CAE课后思考1.工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下： 如图：AOB是一个任意角，在OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线OP便是AOB的平分线。你知道这样做的理由吗？全等三角形（SAS）【知识要点】ABCEDF两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示如图，在和中，例1.如图，AE=DB,BC=E
7、F,BCEF,求证:ABCDEF例2.已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE求证:BECF 例3.如图，已知，等腰RtOAB中，AOB=90o，等腰RtEOF中，EOF=90o，连结AE、BF 求证：（1）AE=BF；（2）AEBF例4.如图，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于点O. 求证：(1) ABCAED； (2) OBOE .例5. 已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.ADBEC例6. 如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，1=2，由此你能得出哪些结论？给出证明.ABDEC12 DABCE例7.如图，已知ABC、BD
8、E均为等边三角形。求证：BDCD=AD。例8.如图,在中,，分别以AB,AC为边作两个等腰直角ABD和ACE， 使（1）求的度数；（2）求证： 例9.已知:如图,AB=AC,AE平分BAC.求证:DBE=DCE例10.已知如图，B是CE的中点，AD=BC，AB=DCDE交AB于F点。求证：（1）ADBC（2）AF=BF例11.已知：如图，BE、CF是ABC的高，分别在射线BE与CF上取点P与Q，使BP=AC，CQ=AB。求证：（1）AQ=AP；（2）APAQ例12.已知C为AB上一点,ACN和 BCM是正三角形.(1)求证:AM=BN；(2)求AFN的度数.例13.如图，已知ABC的边长为1的
9、正三角形，BDC是顶角BDC=1200的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连MN形成AMN，求证：AMN的周长等于2。例14.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDE. 课后思考1.如图，ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD. (1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想； (2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立
10、？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.全等三角形（ASA）【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”， 全等三角形（AAS）【知识要点】两角和它们的邻边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”， 【典型例题】【例1】如图，已知中，、分别是及平分线求证：【例2】如图，在MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.【例3】已知：如图ACCD于C , BDCD于D , M是AB的中点 , 连结CM并延长交BD于点F。求证：AC=BF【例4】如图，AB=AC，求证：AD=AEABDEC【例3】已知：如图，AB=AC
11、，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CDACBDEFABCDP1234【例4】已知如图，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？试证明之例5.如图，ACB=900，AC=BC，D为AB上一点,AECD，BFCD，交CD延长线于F点.求证：BF=CE.例6.如图在ABC中，ACB=90，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CFAE于F，过B作BDCB交CF的延长线于点D。（1）求证：AE=CD，（2）若BD=5，求AC的长。例7.如图：在ABC中，ACB=90，AC=BC，D是AB上一点，AEGD于E，BFCD交CD的延长线于F。求证：AE=EF+BF。例8.
12、如图，已知在中，AD是角平分线，CFAD交AB于F，垂足为M，CEAD交BA的延长线于E，求证：AC=AE=AF。例9.如图，ABC中，BAC=900，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CE10.如图：在ABC中，AB=AC，AD和BE都是高，它们相交于点H，且AH=2BD.求证：AE=BE.11.已知:如图,四边形 ABCD中,ADBC,F是AB的中点,DF交CB延长线于E , CE=CD.求证：ADE=EDC12.如图，ABC中，D是AC上一点，BEAC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G 图中有全等三角形
13、吗？请找出来，并证明你的结论 若连结DE，则DE与AB有什么关系？并说明理由 13.已知:如图,ABCD,1=2,O是AD的中点,EF、AD交于O求证：O也是EF的中点 12.已知：如图,AE=BF , ADBC , AD=BC.AB、CD交于O点求证：OE=OF能力提高：1.已知:如图，AD=DC,ADC=DEB=B=90,四边形ABCD的面积为16,则DE的长为（ ） A.5 B.4 C.3 D.23.已知：如图，在ABC 中，AD是BAC的角平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且EDF+EAF=180。求证：DEDF。4.在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQAD于
14、Q求证：BP=2PQ5.如图，点M为正ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作，射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?课后思考：问题：一块三角形玻璃碎成如图形状4块，配一块与原来一样的三角形玻璃DBCA（1）要不要4块都带去？（2）带哪一块呢？（3）带D块，带去了三角形的几个元素？另外几快呢？全等三角形（HL）【知识要点】直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”【典型例题】例1.如图，有一个直角ABC，C=90，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P.Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP= 时,才能使ABC与P
15、QA全等.例2.如图，ABBC于B，ADDC于D，且CB=CD求证：ABD=ADB.3、如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，求证：ADECBF4、已知：BECD，BEDE，BCDA，求证： BECDAE；DFBCBCDEFA5、如图：在ABC中，C=90，AC=BC，过点C在ABC外作直线MN，AMMN于M，BNMN于N。（1）求证：MN=AM+BN。6.已知：如图，AD为ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BEAC。7.已知：RtABC中，ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CDBE.8.已知：如
16、图 , AE , FC都垂直于BD , 垂足为E、F , AD=BC , BE=DF求证：OA=OC.9.已知：如图，DN=EM，且DNAB于D，EMAC于E，BM=CN求证：B=C.10.已知：如图 , BC是ABC和DCB 的公共边 , AB=DC , AC=DB , AE、DF分别垂直BC于E , F 求证：AE=DF11.如图，已知：ACB和ADB都是直角，BC=BD，E是AB上任一点，求证：CE=DE12.已知在RtABC中，C90，ACBC，AD为BAC的平分线，DEAB，垂足为C求证：DBE的周长等于AB13.如图,ABC中,ACB=90,CEAB于E,AD=AC,AF平分CAE
17、交CE于F求证:FDCB。课后思考：1.证明:在直角三角形中，300所对的直角边等于斜边的一半。2.如图，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DEAC，BFAC，若AB=CD。 请回答下列问题：（1）BD平分EF；（2）若将DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。 能力提高：1.已知：AOB=90，OM是AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、DPC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论2.如图,已知在ABC中,ACB=900,CAB=300,ACD、ABE都是等边,DE交AB于F，求证：DF=EF。3.已知BD、CE是ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。判断线段AP和AQ的关系，并证明.4.如图，点C在线段AB上，DAAB，EBAB，FCAB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，AFB=51，求DFE的度数. 专心-专注-专业