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1、精选优质文档-倾情为你奉上第二章 习题解答提示（一）1.（定理）设连续曲线，有，则（试证）曲线C在点有切线。分析 1）在的某去心领域内能联结割线； 2）割线的极限位置就是切线。证1）使，有，即C在的 对应去心领域内无重点，即能够连接割线，否则就存在数列使。于是 ，这与假设矛盾。2），（对割线倾角的极限） 。因此,割线确实有极限位置,即曲线在点的切线存在,其倾角为.3. 设 试证在原点满足条件,但却不可微. 证 1) 有公式(2.5)及(2.6)有 2) 但当沿直线时,随而变.4. 试证下列函数在平面上任何点都不解析:(1) ; (2) ; (3) ; (4) .分析 由于孤立的可微点不是解析点
2、,故只须证明各函数个别点外处处不满足解析的必要条件:条件. 证 (1) 当时,即至少有一时,或有或有故至多在原点可微;(2) 在C上处处不满足条件;(3) 的结论同(2);(4) 除原点外,条件处处不成立.5. 判断下列函数的可微性和解析性:(1) (2) (3) (4) 分析 如只在孤立点或只在直线上可微,都未形成由可微点构成的圆邻域,故都在其上不解析;利用推论2.3考查可微性,然后应用解析的定义. 解 (1) 仅当时且此四偏导数在原点连续,故只在原点可微,且6. 若函数在区域内解析,且满足下列条件之一,试证在内必为常数.(1) 在内 (2)在内解析;(3) 在内为常数;(4) 或在内为常数
3、.分析 分别由各题设条件及条件得:在内从而在内为常数.引理* 在区域内 (A)在内为常数. 事实上,1) 设为内一定点.是内任一点.若这两点能用全含于内的直线段来联结,则有: 这是因为,”若令则有而 由数学分析中的微分中值定理得于是式成立.”从而由知即.即在内为常数.同理,在内为常数.2) 若联结两点与的直线段不全含于内,由区域的连通性知,可用全含在内的折线段将与连接.若是折线上后面的一个顶点,则在段中的表达式中, 令立即得如此逐步推算,由一顶点至另一顶点,最后可得即在内为常数. 同理,在内为常数.引理*证毕. 证 (1) (2) 由题设条件及在内解析,再由条件可推得最后有引理*可得证.(3)
4、 由题设,在内常数.1) 2) 证一 在内解析,于是由题(2)得知内为常数.证二 分别对微分,再应用 条件,讨论解二元一次方程组,即得在内(4) 由条件推得,在内8. 试证下列函数在平面上解析,并分别求出其导函数. (1) (2) (3) (4) 证 应用定理2.5及求导公式(2.7).(1)及（2） 证一 分别证明（1）和（2）.按定义将正,余弦函数表成指数函数,再等比级数求和的公式简化. 注 由于和是复数,不能从(1)+(2)着手化简后,再比较实,虚部. 证二 先将(1)和(2)式两端各乘去分母后,再应用三角函数中积化和差的公式,代入左端化简.16. 试证：（1）；（2）；（3）；（4）；
5、（5）；（6）. 证 （1）、（2）应用定义2.5及2.7；（3）由（1）；（4）由（2）；（5）、（6）由定义2.6、及2.7及（1）、（2）.17. 试证：（1）；（2）；（3）. 证 （1）由16题（1）、（2）；（2）由本题（1）；（3）由16题（1）、（2）.18. 若试证： （1）； （2）； （3）； （4）. 证 （1）、（2）应用16题（1）、（2）；（3）、（4）分别应用本题（1）、（2）及17题（1）.20. 试解方程：（4）；（5）. 解 （4）（为整数）. （5） +21. 设，试证. 证 设，则.22. 设确定在从原点起沿正实轴割破了的平面上，并且，试求之值. 解一
6、 ，（：；）1） 利用定求. 解二 作图2.0.1. 再由公式（2.25）计算23. 设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上，并且（这是边界上岸点对应的函数值），试求之值. 解一 由定从而 解二 作图2.0.2.，而又再应用公式（2.25）计算.24. 已知在轴上点（）的初值为，令由起沿正向再以原点为中心的圆周上走圆周而至轴的点，问在点的终值为何？ 分析 题设的函数是具有四个有限支点的二值函数，讨论起来比较繁难，而经过变数代换后，就简化成具有单有限支点-1的二值函数.zAB 解 在平面上沿以为心，为半径的圆周c从A走到B，经过变换，其象点w在w平面上w=0为心，为半径的象圆周从走到，刚好绕的交
7、点-1转一整周.故它在的值为.因此.25. 试证：在将平面适当割开后，函数能分出三个单值解析分支.并求出在点取负值的那个分支在的值. 分析 仿例2.3.14，2.3.15及2.3.16解之. 证 的支点是在沿割开的平面的区域内，能分出三个单值解析分支. 证一 令， 当时，.由已知定.然后计算 证二 作图2.0.4.由2到，取路线.再按公式（2.25）计算证三 作图2.0.4.由2到I,取路线,.再按(2.25)计算.(二)1.设,试证证 .2.设,试证证3.若函数在上半平面内解析，试证函数在下半平面内解析.证一设分别为下半z平面内的定点及动点，可证.由的任意性及解析的定义得证.证二在上半平面内
8、解析1)在可微，且2), 考查，则可证：1)在内可微，且由式有2），.4(形式导数)(1)设二元函数有偏导数.此函数可以写成及的函数试证(形式地)(2)设复变函数,且和都有偏导数.试证(形式地):对于,柯西黎曼(Cauchy-Riemann)条件可以写成(由此可见,解析函数是以条件为其特征的.因此,我们不妨说,一个解析函数与无关,而是z一数的函数.)证 （形式地）（1）由于.这里视为两个独立变量.根据复合函数求偏导的法则，即可形式地得证。（2）.5.试证. 证 设.由本章习题（一）18（3）可证得前一不等式；后一要证不等式可应用的定义及三角不等式来证明。6.若试证证 应用：本章习题（一）18（
9、3）；17（1）.8.试证多值函数在割去线段的z平面上可以分出四个单值解析分支.求函数在割线上岸取正值的那个分支在点的值.分析 类似本章习题（一）26.证 因f(z)的支点为-1,1,取支割线-1,1,作图2.0.5.1).2).9.已知在z=0的值为1.令z描绘路线OPA（如图2.0.6）.A点为2.试求f(z)在A点的值.分析 类似本章习题（一）26解 f(z)的支点为及，支割线可取：沿虚线轴割开;沿实轴割开路线OPA未穿过支割线。记路线OPA为C. .10.试证在割去线段的z平面上能分出两个单值解析分支.并求出在支阁线0,1上岸取正值的那一支在的值,以及它的第二阶导数在的值.证 f(z)
10、 的支点为0和1.取支割线0,1（图2.3.8）.按复合函数求导法则： ,取路线C如图2.3.8.,并由(2.25)得.2)代入（1）得.类题或自我检查题1. 证明: 的实、虚部在.(0,0)点满足C.-R.条件,但在不可微.2. 设再区域D内解析，试证：在D内.3. 设,问取何值时,在平面上解析?(答:4. 设(1)在区域D内解析;(2)在D内.则在D内为常数.5. 设.取,通过计算,验证中值定理在复数域内不成立.6. 设, 问在哪些点对可导？并求出.(答:在的点可导.)7. 证明:.8. 解方程(1)(2)(答:(1)(2)9. 试证:10. 设区域D是沿负虚轴割破的平面,确定在D内,求在
11、D内满足的单值连续解析分支在处之值.(答:11. 求的一切值.(答:12. 求的一切值.(答:13. 设下列函数在是的辅角为零,求当从2出发绕以原点为中心的圆周回到2时(反时针方向)的辅角.(1)(2)(3)(4) (5)(答(1)(2)(3);(4);(5) 0.)14. 求下列多值函数的支点.这些多值函数在怎样的区域内可以分出单值解析分支?(1)互不相同,(2)互不相同,(3)(4),a,b,c互不相同;(5)(提示:参看本章3,6段所叙述的判断方法.)15. 设试证明:在沿实轴上区间割开的平面上,可分出两个单值解析分支,并求在取正值的那一支在出的值.(答:16. 设有函数并设在时,若由此点出发,沿下列路线至终点,求在终点处之值.(1)当路线为直线段;(2)当路线为半圆周.(答:(2)专心-专注-专业