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1、精选优质文档-倾情为你奉上矩阵函数的性质及其应用 Matrix function Calculus and its application 彭雪娇 欧傅群 岭南师范学院数学与计算科学学院，湛江摘 要：矩阵函数理论是矩阵理论中的一个重要组成部分。矩阵函数把对矩阵的研究带入了分析领域，同时也解决了数学领域及工程技术等其他领域的计算难题。本文从多项式和幂级数两个方面给出了矩阵函数的两种定义方式，从定义出发推导了若干性质及其矩阵函数的求法，在计算中根据适当的情况进行选择，起到事倍功半的作用。在文章的末尾会简述矩阵函数的应用。 Abstract: Matrix function to the field
2、 of research into the analysis of the matrix,but also solved the calculation in the field of mathematics and engineering technology,and other problems.In this paper,from two aspects of polynomial and exponential matrix function to two types of definitions are given,starting from the definition to so
3、me properties and several cases of matrix function,the application of minimal polynomial to undertake choosing according to appropriate in the calculation,have the effect of the wasted effort.At the end of the article will briefly describes the application of matrix function.关键词：矩阵函数;微分方程;标准型Keyword
4、s:matrix function;the differential equation;Jordan canonical form1 引言矩阵函数定义的引出把矩阵理论延伸到分析的领域，从而使得对矩阵的研究又提升了一个新的层次，增加了新的手段，同时也使矩阵理论在数学，物理，工程技术等许多领域有了新的应用。为了讨论方便，给出以下定义和引理：定义1.1设的最小多项式为，则称集合为的谱，记为.定义1.2 设的最小多项式为，称为函数在上的的谱值。记为.定义1.3 设是一个矩阵序列，如果由它的部分和矩阵构成的矩阵序列收敛，则称矩阵级数收敛，否则成发散。定义1.4 设，称为矩阵A的幂级数，记为.引理1 设和
5、是两个复系数的多项式，则的充要条件是和在的谱上有相同的值.引理2 设是s个互不相同的复数，是s个正整数，那么对任意给定的m个复数必存在唯一的次数不超过m-1的多项式，使得2 矩阵函数的相关概念及其性质2.1 矩阵函数的定义正如微积分学的幂级数理论一样，在矩阵分析中通常用矩阵幂级数表示矩阵函数。下面给出的是利用幂级数定义矩阵函数。定义2.1.1设是复变量的解析函数， 的收敛半径为R，如果矩阵的谱半径，则称为的矩阵函数。利用前言给出的两个引理，现在我们可以给出矩阵函数的多项式定义。定义2.1.2 设在的谱上有定义，我们定义，其中是一个在的谱上与有相同取值的复系数多项式。2.2 矩阵函数的性质性质1
6、 设，证明 设矩阵多项式为于是 证毕。性质2 函数和（或差）的矩阵等于矩阵函数的和（或差），即。性质3 函数积的矩阵函数等于矩阵函数的积，即。性质4 若有可逆矩阵T,使,则。性质5 设A是对称矩阵，函数在上有定义，则是对称矩阵。性质6 设A是实对称矩阵，实函数在上有定义，且对A的任一特征值，有，则是正定矩阵。证明 由是实函数，是实对称矩阵，又因为的特征值为，其中是A的特征值，所以是正定矩阵。证毕。 下面给出一些常用的矩阵函数的基本性质： 2.3 常用矩阵函数的性质在这里主要是介绍以下几种常用的矩阵函数， 分别称为矩阵的指数函数，矩阵的正弦函数，矩阵的余弦函数。 定理2.3.1 对任意，证明 （
7、1）按照和的定义直接验证即可。（2）根据的定义，可得 同理，可得.从而有成立。证毕。这个性质和普通的指数函数和三角函数性质相同。但由于矩阵的乘法不满足交换律，因此有一些一般函数满足的性质，对于矩阵函数不一定满足。例如：若，则上述公式可能不成立。如(3),(4)在此不作证明。定理2.3.2 设,若,则有证明 （1）根据的定义，有（2）由定理2.3.1，可得 同理，可以证明（3）。证毕。 根据定理2.3.2，很容易得到下面结论：推论2.3.1 由于很多矩阵函数都是利用级数的形式来定义的，在实际应用时非常不方便，因此更希望将所表示的矩阵具体计算出来，下面主要介绍矩阵函数的中常用的计算方法。3 矩阵函
8、数的计算3.利用Hamilton-Cayley 定理计算矩阵函数利用Hamilton-Cayley 定理计算矩阵函数基本思想是：利用Hamilton-Cayley 定理找出矩阵方幂之间的关系，然后化简矩阵幂级数，从而求出矩阵函数。定理（Hamilton-Cayley 定理）设，则例3.1 已知四阶矩阵的特征值分别为、0、0，求、.解： 由于,根据Hamilton-Cayley 定理可得,从而有 因此， 3.2 利用相似对角化计算矩阵函数设与对角矩阵相似，即存在矩阵，使得则有同理，可得。例3.2 已知，求、.解： 由于，容易求得存在使得 因此有 . 这种方法的前提是矩阵A能对角化，但事实上有许多
9、矩阵是不能对角化的。由于任意矩阵一定可以通过相似变换成一个Jordan标准型，因此下面介绍利用Jordan标准型来计算矩阵函数的方法。3.3 利用Jordan标准型来计算矩阵函数定义3.3.1 形如 （1.1）的方阵称为阶块，。定义3.3.2 设为形如（1.1）的块，则称块对角矩阵 (1,.2)为标准型。利用Jordan 标准型可得到式中其中 .例3.3 已知求、.解： 可以求得存在使得因此 从而有 这种方法需要计算矩阵A的Jordan 标准型及相似变换矩阵P，计算量是比较大的。下面介绍一种计算量比较小的待定系数法。3.4 利用待定系数法求矩阵函数设n阶方阵其特征多项式为式中：为A的s个互异特
10、征值;为特征值的重数，且有。 为计算矩阵函数，记 ，则可表示为式中：为一个含参数t的的幂级数；为含参数t的关于的次数不超过n-1的多项式，即可表示为 由Hamilton-Cayley 定理可知，因此可见，只需要计算出系数即可得到.对于A的重特征值，有从而这样共得到个方程，从中求解得到系数。例3.4 已知，求、。解：由于.假设由求解得到因此由求解得到因此。 这一章主要介绍了四种求矩阵函数的方法，对不同的矩阵可以选择一种方法使得计算更简。一般来说，当一个矩阵Jordan标准型分解容易计算时用第三种方法求矩阵函数往往方便些，当一个矩阵可以对角化时用第二种方法简便些。否则用其他两种方法好些。4 矩阵函
11、数的应用4.1 矩阵函数在微分方程组中的应用在线性控制系统中，常常涉及求解线性方程组的问题。矩阵函数在其中有着重要的应用。4.1.1 应用矩阵函数讨论一阶线性常系数齐次微分方程组的定解问题定理4.1.1 一阶线性常系数微分方程组的定解问题有唯一解证明 设是方程（1）的解。将在处展开成幂级数。 则有,其中， 但由 ，逐步求导可得 因而 所以由此可见，微分方程组（1）在给定初始条件（2）下的解必定具有的形式。下面我们来证明它确实是解问题（1）和(2)的解。事实上，又当t=0时， 因此这个解是满足初始条件的。推论4.1.1 定解问题 的唯一解是.例4.1.1 解初值问题 其中. 解A的初等因子是 则
12、A的Jordan标准型是可以求出满秩矩阵使得 .4.1.2 应用矩阵函数讨论一阶线性常系数非齐次微分方程组的定解问题现在我们考虑一阶线性常系数非齐次微分方程组的定解问题 这里是已知向量函数 。这个问题理论上的详细推导是很繁琐且前面有很多相似之处，所以不详细写出。只就问题的解，做形式上的推导，目的是为了让读者知道此问题解的到处过程。改写方程为并以左乘方程两边，即得即在上进行积分，可得 即.例4.1.2 求初值问题其中解 已经在例4.3.1中计算出，故于是 . 4.2 矩阵函数在求解矩阵方程中时的应用 我们无论是在数学领域的理论推导中，还是在工程技术领域中，经常会遇到求解矩阵方程非问题。在这里我们
13、讨论了一下矩阵函数在矩阵方程的应用。 矩阵代数方程 形如AX=BX=C(1)的矩阵代数方程的求解。其中与是已知数字矩阵，是未知数字矩阵。 定理4.2.1 方程（1）有唯一解的充分必要条件是A与B满足 其中表示A的第i个特征值，表示第j个特征值。 推论4.2.1 矩阵代数方程AX=BX=0(3)有非零解的充分必要条件是对某一个i与j有. 推论4.2.1 若 ,则AX=BX=C有唯一解。 证明 因为A的所有特征值的实部全小于零，所以A的任何两个特征值之和不会等于零，根据定理4.2.1 可知方程（1）有唯一解。通过上面的讨论，我们已经知道方程（3） 及其特例的解的存在，唯一性的判别方法，下面我们来具
14、体讨论它的解。定理4.2.2 若表达式 存在，则它是方程AX=BX=C的唯一解。证明 考虑方程它的解为 设 ,对AX=BX=C两边从0到 的积分，便得 即,令,上式变为AX=BX=C，这表明是满足方程AX=BX=C的唯一解。4.3 矩阵函数在现代控制理论中的应用 在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。随着科技的发展，自动控制理论跨入了一个新的阶段-现代控制理论。它主要研究具有高性能、高精度的多变量便参数系统的最优控制问题，而研究多变量系统的主要工具是矩阵理论。因此，矩阵理论及其矩阵函数理论在现代控制理论中有着广泛而重要的应用。 我们这里只讨论矩阵函数在线性系统的可控性的
15、应用。 一般来说，如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意初态达到原点，则系统是可控的。反之，为不可控。下面我们只就连续型的线性定常系统进行讨论。这系统其中A,B,C,D均为常数矩阵。系统矩阵A是nn矩阵，输入矩阵B是nmd的矩阵，输出矩阵C是pn的，又矩阵D是 pm的。状态向量x(t)是n维列向量，输入向量u(t)输出向量y(t)分别是m维，P维列向量。这个系统简称为系统（A,B,C）. 定义4.3.1 对于一个线性定常系统，若在某个有限时间区 内存在着输入 ,能使系统从任意初始状态 转移到,则称此状态是可控的；若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是完全可控的。定理4.3
16、.1 系统（A,B,C）完全能控的充要条件是n阶对称矩阵 为非奇异矩阵。参考文献1张跃辉.矩阵理论与应用M.北京：科学出版社.20112刘慧，袁文燕。姜冬青.矩阵论及应用M.北京：化学工业出版社.20033苏育才，姜翠波，张跃辉.矩阵理论M.北京：科学出版社.20064Horn R A,Johnson C R.矩阵分析M.杨奇译.北京：机械工业出版社.20055朱元国，饶玲，严涛，张军，李宝成.矩阵分析与计算M.北京：国防工业出版社.20106Roger A.Hom.etc.Matrix Theory and ApplicationJ.The American Mathematical Society printed.19907胡寿松.自动控制原理M.北京：科学出版社.2003 8时宝，盖明久.矩阵分析引论及其应用M.北京：国防工业出版社.20109邱启荣.矩阵理论及其应用.北京：中国电力出版社.20089罗家洪.矩阵分析引论M.广州：华南理工大学出版社.2001专心-专注-专业