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1、初中数学圆的专题训练圆的专题训练初中数学组卷一.选择题 (共 15 小题 )1.如图 ,O 的半径为 4,ABC 就是 O 的内接三角形 ,连接 OB、 OC.若 BAC 与 BOC 互补,则弦 BC 的长为 () A.3B.4C.5D.62.如图 ,AB 就是 O 的直径 ,弦 CDAB 于点 E,CDB=30 ,O 的半径为5cm,则圆心 O 到弦CD 的距离为 () A.cm B.3cm C.3cm D.6cm 3.如图 ,AB 就是 O 的直径 ,CD AB, ABD=60 ,CD=2,则阴影部分的面积为() A.B.C.2 D.44.如图 ,已知 AB 就是 O 的直径 , D=40
2、 ,则CAB 的度数为 () A.20 B.40C.50D.705.如图 ,半径为 3 的 A 经过原点 O 与点 C(0,2),B 就是 y 轴左侧 A 优弧上一点 ,则 tanOBC为() 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练A.B.2C.D.6.如图 ,AB 就是圆 O 的直径 ,弦 CDAB, BCD=30 ,CD=4,则 S阴影=() A.2B.C.D.7.如图 ,O 中,弦 AB 与 CD 交于点 M
3、,A=45 ,AMD=75 ,则 B 的度数就是 () A.15 B.25C.30D.758.如图 ,点 A,B,C 在 O 上,A=36 ,C=28 ,则B=() A.100 B.72C.64D.369.如图 ,在平面直角坐标系中,P 与 x 轴相切 ,与 y 轴相交于A(0,2),B(0,8), 则圆心 P 的坐标就是() 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练A.(5,3) B.(5,4) C.(3,5) D
4、.(4,5) 10.如图 ,正方形 ABCD 的边 AB=1,与都就是以1 为半径的圆弧 ,则无阴影两部分的面积之差就是 () A.B.1C.1 D.111.如图 ,ABC 内接于半径为5 的 O,圆心 O 到弦 BC 的距离等于3,则 A 的正切值等于() A.B. C. D.12.如图所示 ,在 ABC 中,A=90 ,AB=AC=2cm, A 与 BC 相切于点D,阴影部分的面积为()A.B.C.D.13.如图 ,某工件形状如图所示,等腰 RtABC 中斜边 AB=4, 点 O 就是 AB 的中点 ,以 O 为圆心的圆分别与两腰相切于点D、E,则图中阴影部分的面积就是() A.B.C.D
5、.214.若圆锥经过轴的截面就是一个正三角形,则它的侧面积与底面积之比就是() A.3:2 B.3:1 C.5:3 D.2:1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练15.如图 ,AB 为半圆 O 的直径 ,C 为半圆上一点 ,且为半圆的.设扇形 AOC 、 COB、弓形BmC 的面积分别为S1、S2、S3,则下列结论正确的就是() A.S1S2S3 B.S2S1S3 C.S2S3S1 D.S3S2 S1二.解答题
6、 (共 10 小题 )16.已知 AB 就是半径为1 的圆 O 直径 ,C 就是圆上一点 ,D 就是 BC 延长线上一点,过点 D 的直线交 AC 于 E 点,且 AEF 为等边三角形(1)求证 :DFB 就是等腰三角形; (2)若 DA=AF,求证 :CFAB. 17.已知 ABC, 以 AB 为直径的 O 分别交 AC 于 D,BC 于 E,连接 ED,若 ED=EC. (1)求证 :AB=AC; (2)若 AB=4,BC=2,求 CD 的长 . 18.如图 ,正方形 ABCD 内接于 O,M 为中点 ,连接 BM,CM. (1)求证 :BM=CM; (2)当 O 的半径为 2 时,求的长
7、 . 19.如图 ,O 就是 ABC 的外接圆 ,AC 为直径 ,弦 BD=BA,BE DC 交 DC 的延长线于点E. (1)求证 :1=BAD; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练(2)求证 :BE 就是 O 的切线 . 20.如图 ,O 的直径为 AB,点 C 在圆周上 (异于 A,B),AD CD. (1)若 BC=3,AB=5, 求 AC 的值; (2)若 AC 就是 DAB 的平分线 ,求证 :直线
8、 CD 就是 O 的切线 . 21.如图 ,直角 ABC 内接于 O,点 D 就是直角 ABC 斜边 AB 上的一点 ,过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于 E,过点 C 作ECP=AED,CP 交 DE 的延长线于点P,连结 PO 交 O 于点 F. (1)求证 :PC 就是 O 的切线 ; (2)若 PC=3,PF=1,求 AB 的长 . 22.如图 ,在 ABC,AB=AC, 以 AB 为直径的 O 分别交 AC 、BC 于点 D、E,点 F 在 AC 的延长线上 ,且CBF=CAB. (1)求证 :直线 BF 就是 O 的切线 ; (2)若 AB=5,sin CBF=,求 BC 与
9、BF 的长 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练23.如图 ,AB 就是 O 的直径 ,点 F、C 在O 上且,连接 AC、AF,过点 C 作 CDAF交 AF 的延长线于点D. (1)求证 :CD 就是 O 的切线 ; (2)若,CD=4,求 O 的半径 . 24.如图 ,已知圆 O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E,连接 CO 并延长交 AD 于点 F,且 CFAD. (1)请证明 :E 就是 OB
10、 的中点 ; (2)若 AB=8, 求 CD 的长. 25.如图 ,AB 就是 O 的直径 ,弦 CDAB 于点 E,且 CD=24,点 M 在 O 上 ,MD 经过圆心O,联结 MB. (1)若 BE=8,求O 的半径 ; (2)若 DMB= D,求线段 OE 的长 . 圆的专题训练初中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题 (共 15 小题 )1.(2016?陕西 )如图 ,O 的半径为4,ABC 就是 O 的内接三角形 ,连接 OB、OC.若 BAC与 BOC 互补 ,则弦 BC 的长为 () 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳
11、- - - - - - - - - -第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练A.3B.4C.5D.6【分析】 首先过点 O 作 ODBC 于 D,由垂径定理可得BC=2BD, 又由圆周角定理,可求得BOC 的度数 ,然后根据等腰三角形的性质,求得 OBC 的度数 ,利用余弦函数 ,即可求得答案. 【解答】 解:过点 O 作 ODBC 于 D, 则 BC=2BD, ABC 内接于 O,BAC 与 BOC 互补, BOC=2A,BOC+A=180 , BOC=120 , OB=OC, OBC=OCB=(180 BOC)=30 , O 的半径为 4,
12、BD=OB ?cosOBC=4=2, BC=4. 故选 :B. 【点评】 此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用. 2.(2016?黔南州 )如图 ,AB 就是 O 的直径 ,弦 CDAB 于点 E, CDB=30 ,O 的半径为 5cm,则圆心 O 到弦 CD 的距离为 () A.cm B.3cm C.3cm D.6cm 【分析】根据垂径定理知圆心O 到弦 CD 的距离为 OE;由圆周角定理知COB=2 CDB=60 ,已知半径 OC 的长 ,即可在 RtOCE 中求 OE 的长度 . 精品资料 - - - 欢迎下载
13、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练【解答】 解:连接 CB. AB 就是 O 的直径 ,弦 CDAB 于点 E, 圆心 O 到弦 CD 的距离为 OE; COB=2CDB( 同弧所对的圆周角就是所对的圆心角的一半),CDB=30 , COB=60 ; 在 RtOCE 中, OC=5cm,OE=OC ?cosCOB, OE=cm. 故选 A. 【点评】 本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用.解答这类题一些学生不会综合运用所学知
14、识解答问题,不知从何处入手造成错解. 3.(2016?通辽 )如图 ,AB 就是 O 的直径 ,CDAB, ABD=60 ,CD=2,则阴影部分的面积为() A.B.C.2 D.4【分析】 连接 OD,则根据垂径定理可得出CE=DE, 继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积 ,代入扇形的面积公式求解即可. 【解答】 解:连接 OD. CDAB, CE=DE=CD=, 故 SOCE=SODE,即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积 , 又 ABD=60 , CDB=30 , COB=60 , OC=2, S扇形OBD=,即阴影部分的面积为. 故选 A. 精品资料 - - - 欢迎下载 -
15、 - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练【点评】 本题考查的就是垂径定理,熟知平分弦 (不就是直径 )的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧就是解答此题的关键. 4.(2016?娄底 )如图 ,已知 AB 就是 O 的直径 ,D=40 ,则 CAB 的度数为 () A.20 B.40C.50D.70【分析】 先根据圆周角定理求出B 及 ACB 的度数 ,再由直角三角形的性质即可得出结论. 【解答】 解: D=40 , B=D=40 . AB 就是 O
16、 的直径 , ACB=90 , CAB=90 40 =50 . 故选 C. 【点评】 本题考查的就是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半就是解答此题的关键. 5.(2016?达州 )如图 ,半径为 3 的 A 经过原点 O 与点 C(0,2),B 就是 y 轴左侧 A 优弧上一点 ,则 tanOBC 为() A.B.2C.D.【分析】 作直径 CD,根据勾股定理求出OD,根据正切的定义求出tanCDO,根据圆周角定理得到 OBC=CDO,等量代换即可 . 【解答】 解:作直径 CD, 在 RtOCD 中,CD=6,OC=2, 则 OD=4,
17、 tanCDO=, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练由圆周角定理得,OBC= CDO, 则 tanOBC=, 故选 :C. 【点评】 本题考查的就是圆周角定理、锐角三角函数的定义,掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义就是解题的关键 . 6.(2016?广安 )如图 ,AB 就是圆 O 的直径 ,弦 CDAB, BCD=30 ,CD=4,则 S阴
18、影=() A.2B.C.D.【分析】 根据垂径定理求得CE=ED=2,然后由圆周角定理知DOE=60 ,然后通过解直角三角形求得线段OD、 OE 的长度 ,最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODBSDOE+SBEC. 【解答】 解:如图 ,假设线段 CD、 AB 交于点 E, AB 就是 O 的直径 ,弦 CDAB, CE=ED=2, 又 BCD=30 , DOE=2BCD=60 ,ODE=30 , OE=DE ?cot60 =2=2,OD=2OE=4, S阴影=S扇形ODBSDOE+SBEC=OEDE+BE?CE=2+2=. 故选 B. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -
19、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练【点评】 考查了垂径定理、扇形面积的计算,通过解直角三角形得到相关线段的长度就是解答本题的关键 . 7.(2016?自贡 )如图 ,O 中,弦 AB 与 CD 交于点 M,A=45 , AMD=75 ,则 B 的度数就是() A.15 B.25C.30D.75【分析】 由三角形外角定理求得C 的度数 ,再由圆周角定理可求B 的度数 . 【解答】 解: A=45 ,AMD=75 , C=AMD A=75 45 =30 , B=
20、C=30 , 故选 C. 【点评】 本题主要考查了三角形的外角定理,圆周角定理 ,熟记圆周角定理就是解题的关键. 8.(2016?毕节市 )如图 ,点 A,B,C 在 O 上,A=36 ,C=28 ,则 B=() A.100 B.72C.64D.36【分析】 连接 OA, 根据等腰三角形的性质得到OAC= C=28 ,根据等腰三角形的性质解答即可 . 【解答】 解:连接 OA, OA=OC, OAC= C=28 , OAB=64 , OA=OB, B=OAB=64 , 故选 :C. 【点评】 本题考查的就是圆周角定理,掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质就是解题的关键. 精品资料 - - - 欢
21、迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练9.(2016?河池 )如图 ,在平面直角坐标系中,P与 x 轴相切 ,与 y 轴相交于 A(0,2),B(0,8), 则圆心P的坐标就是 () A.(5,3) B.(5,4) C.(3,5) D.(4,5) 【分析】过 P 作 PCAB 于点 C,过 P 作 PDx 轴于点 D,由切线的性质可求得PD 的长 ,则可得 PB 的长 ,由垂径定理可求得CB 的长 ,在 RtPBC 中,由勾股定理可求得
22、PC 的长 ,从而可求得 P 点坐标 . 【解答】 解:如图 ,过 P作 PCAB 于点 C,过 P作 PDx 轴于点 D,连接 PB, P 为圆心 , AC=BC, A(0,2),B(0,8), AB=8 2=6, AC=BC=3, OC=83=5, P 与 x 轴相切 , PD=PB=OC=5, 在 RtPBC 中,由勾股定理可得PC=4, P 点坐标为 (4,5), 故选 D. 【点评】 本题主要考查切线的性质与垂径定理,利用切线的性质求得圆的半径就是解题的关键. 10.(2015?黄冈中学自主招生)如图 ,正方形 ABCD 的边 AB=1,与都就是以1 为半径的圆弧,则无阴影两部分的面
23、积之差就是() 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练A.B.1C.1 D.1【分析】 图中 1、2、3、4 图形的面积与为正方形的面积,1、2 与两个 3 的面积与就是两个扇形的面积 ,因此两个扇形的面积的与正方形的面积=无阴影两部分的面积之差,即1=. 【解答】 解:如图 : 正方形的面积 =S1+S2+S3+S4;两个扇形的面积=2S3+S1+S2; ,得:S3S4=S扇形S正方形=1=. 故选 :A. 【
24、点评】 本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法.找出正方形内四个图形面积之间的联系就是解题的关键. 11.(2014?镇江 )如图 ,ABC 内接于半径为5 的O,圆心 O 到弦 BC 的距离等于3,则 A 的正切值等于 () A.B. C. D.【分析】 过点 O 作 ODBC,垂足为 D,根据圆周角定理可得出BOD= A,再根据勾股定理可求得 BD=4,从而得出 A 的正切值 . 【解答】 解:过点 O 作 ODBC,垂足为 D, OB=5,OD=3, BD=4, A=BOC, A=BOD, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢
25、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练tanA=tan BOD=, 故选 :D. 【点评】 本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形,要熟练掌握这几个知识点. 12.(2013?江门模拟 )如图所示 ,在 ABC 中,A=90 ,AB=AC=2cm, A 与 BC 相切于点 D,阴影部分的面积为 ()A.B.C.D.【分析】 阴影部分的面积就是三角形ABC 的面积减去圆的面积 ,根据勾股定理可求得BC的长 ,连接 AD, 由等腰直角三角形的性质可得出AD 等于 BC 的一半 . 【解
26、答】 解:连接 AD, A=90 ,AB=AC=2cm, 由勾股定理得BC=2cm, AD=BC, AD=cm, S阴影=SABCS圆=2. 故选 B. 【点评】 本题就是一道综合题,考查了扇形面积的计算以及等腰三角形的性质,就是中档题 . 13.(2011?深圳模拟 )如图,某工件形状如图所示,等腰 RtABC 中斜边 AB=4, 点 O 就是 AB 的中点 ,以 O 为圆心的圆分别与两腰相切于点D、E,则图中阴影部分的面积就是() 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 27 页
27、 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练A.B.C.D.2【分析】 本题需先求出直角三角形的边长,再利用切线的性质与等腰直角三角形的性质得出四边形 CDOE 就是正方形 ,然后分别求出直角三角形ABC 、扇形 FOD, 正方形 CDOE,扇形EOG 的面积 ,即可求出阴影部分的面积. 【解答】 解:设 AC=BC=x, 则 x2+x2=4 x=2设 OD=R,则 OE=R AC,BC 与 O 相切 , ODAD,OE BC A=45 AOD=45 A=AOD AD=OD=R AC=2AC=2AD=OD C=90四边形 ODCE 就是正方形S正方形CDOE=2 S扇形FOD
28、=S扇形EOG=阴影部分的面积就是2故选 A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练【点评】 本题主要考查了扇形面积的求法,在解题时要注意面积计算公式与图形的有关性质的综合应用 . 14.(2006?兰州 )若圆锥经过轴的截面就是一个正三角形,则它的侧面积与底面积之比就是() A.3:2 B.3:1 C.5:3 D.2:1 【分析】 利用轴的截面就是一个正三角形,易得圆锥的底面半径与母线长的关系,把相应数值代入圆
29、锥的侧面积=底面周长母线长2,圆锥底面积 = 半径2比较即可 . 【解答】 解:设圆锥底面圆的半径为r, S底= r2,S侧=?2r?2 r=2 r2, S侧:S底=2 r2: r2=2:1. 故选 D. 【点评】 此题主要考查圆锥的轴截面、侧面积与底面积的求法. 15.(2003?海南 )如图,AB 为半圆 O 的直径 ,C 为半圆上一点,且为半圆的.设扇形 AOC 、COB、弓形 BmC 的面积分别为S1、S2、S3,则下列结论正确的就是() A.S1S2S3 B.S2S1S3 C.S2S3S1 D.S3S2 S1【分析】首先根据 AOC 的面积 =BOC 的面积 ,得 S2S1.再根据题
30、意 ,知 S1占半圆面积的.所以 S3大于半圆面积的. 【解答】 解:根据 AOC 的面积 =BOC 的面积 ,得 S2S1, 再根据题意 ,知 S1占半圆面积的, 所以 S3大于半圆面积的. 故选 B. 【点评】 此类题首先要比较有明显关系的两个图形的面积. 二.解答题 (共 10 小题 )16.(2016?株洲)已知 AB 就是半径为1 的圆 O 直径 ,C就是圆上一点,D 就是 BC 延长线上一点,过点 D 的直线交 AC 于 E 点,且 AEF 为等边三角形(1)求证 :DFB 就是等腰三角形; (2)若 DA=AF,求证 :CFAB. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -
31、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练【分析】 (1)由 AB 就是 O 直径 ,得到 ACB=90 ,由于 AEF 为等边三角形,得到 CAB= EFA=60 ,根据三角形的外角的性质即可得到结论; (2)过点 A 作 AM DF 于点 M,设 AF=2a,根据等边三角形的性质得到FM=EM=a,AM=a,在根据已知条件得到AB=AF +BF=8a,根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a, 推出ECF=EFC,根据三角形的内角与即可得到结论.
32、【解答】 解:(1)AB 就是 O 直径 , ACB=90 , AEF 为等边三角形 , CAB= EFA=60 , B=30 , EFA=B+FDB, B=FDB=30 , DFB 就是等腰三角形; (2)过点 A 作 AM DF 于点 M,设 AF=2a, AEF 就是等边三角形,FM=EM=a,AM=a, 在 RtDAM 中,AD=AF=2a,AM=, DM=5a, DF=BF=6a, AB=AF +BF=8a, 在 RtABC 中,B=30 ,ACB=90 ,AC=4a, AE=EF=AF=2a, CE=AC AE=2a, ECF=EFC, AEF= ECF+EFC=60 , CFE=
33、30 , AFC= AFE+EFC=60 +30 =90 , CFAB. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练【点评】本题考查了圆周角定理,等边三角形的性质,等腰三角形的判定与性质,垂径定理 ,勾股定理 ,正确的作出辅助线就是解题的关键. 17.(2016?宁夏)已知 ABC, 以 AB 为直径的 O 分别交 AC 于 D,BC 于 E,连接 ED,若 ED=EC. (1)求证 :AB=AC; (2)若 AB=
34、4,BC=2,求 CD 的长 . 【分析】 (1)由等腰三角形的性质得到EDC=C,由圆外接四边形的性质得到EDC=B,由此推得 B=C,由等腰三角形的判定即可证得结论; (2)连接 AE,由 AB 为直径 ,可证得 AEBC,由(1)知 AB=AC, 证明 CDE CBA 后即可求得CD 的长 . 【解答】 (1)证明 :ED=EC, EDC= C, EDC= B, B=C, AB=AC; (2)方法一 : 解:连接 AE, AB 为直径 , AEBC, 由(1)知 AB=AC, BE=CE=BC=, CDECBA, , CE?CB=CD ?CA,AC=AB=4, ?2=4CD, CD=.
35、方法二 : 解:连接 BD, AB 为直径 , BD AC, 设 CD=a, 由(1)知 AC=AB=4, 则 AD=4 a, 在 RtABD 中,由勾股定理可得: BD2=AB2AD2=42(4a)2在 RtCBD 中,由勾股定理可得: 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练BD2=BC2CD2=(2)2a242 (4a)2=(2)2a2整理得 :a=, 即:CD=. 【点评】 本题考查了圆周角定理,等腰三角形
36、的判定与性质,勾股定理 ,正确的作出辅助线就是解题的关键 . 18.(2016?福州)如图,正方形 ABCD 内接于 O,M 为中点 ,连接 BM,CM. (1)求证 :BM=CM; (2)当 O 的半径为 2 时,求的长 . 【分析】 (1)根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可; (2)根据弧长公式计算. 【解答】 (1)证明 :四边形 ABCD 就是正方形 , AB=CD, =, M 为中点 , =, +=+,即=, BM=CM; (2)解: O 的半径为 2, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -
37、- - -第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练 O 的周长为 4 , =, =+=, 的长=4 =4 = . 【点评】 本题考查的就是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系,掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理就是解题的关键. 19.(2016?自贡 )如图,O 就是 ABC 的外接圆 ,AC 为直径 ,弦 BD=BA,BE DC 交 DC 的延长线于点 E. (1)求证 :1=BAD; (2)求证 :BE 就是 O 的切线 . 【分析】 (1)根据等腰三角形的性质与圆周角定理得出即可; (2)连接 BO,求出 OBD
38、E,推出 EBOB,根据切线的判定得出即可; 【解答】 证明 :(1)BD=BA, BDA= BAD, 1=BDA, 1=BAD; (2)连接 BO, ABC=90 , 又 BAD +BCD=180 , BCO+BCD=180 , OB=OC, BCO=CBO, CBO+BCD=180 , OBDE, BEDE, EBOB, OB 就是 O 的半径 , BE 就是 O 的切线 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专
39、题训练【点评】 本题考查了三角形的外接圆与外心,等腰三角形的性质,切线的判定 ,熟练掌握切线的判定定理就是解题的关键. 20.(2016?黄石 )如图,O 的直径为AB, 点 C 在圆周上 (异于 A,B),AD CD. (1)若 BC=3,AB=5, 求 AC 的值; (2)若 AC 就是 DAB 的平分线 ,求证 :直线 CD 就是 O 的切线 . 【分析】 (1)首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形,然后利用勾股定理求得AC的长即可 ; (2)连接 OC,证 OCCD 即可 ;利用角平分线的性质与等边对等角,可证得 OCA= CAD, 即可得到 OCAD,由于 AD CD,那么
40、OCCD,由此得证 . 【解答】 (1)解:AB 就是 O 直径 ,C 在 O 上, ACB=90 , 又 BC=3,AB=5, 由勾股定理得AC=4; (2)证明 :连接 OC AC 就是 DAB 的角平分线 , DAC= BAC, 又 AD DC, ADC= ACB=90 , ADC ACB, DCA= CBA, 又 OA=OC, OAC= OCA, OAC +OBC=90 , OCA +ACD= OCD=90 , DC 就是 O 的切线 . 【点评】 此题主要考查的就是切线的判定方法.要证某线就是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径 ),再证垂直即可 . 21.(201
41、6?菏泽 )如图,直角 ABC 内接于 O,点 D 就是直角 ABC 斜边 AB 上的一点 ,过点 D作 AB 的垂线交 AC 于 E,过点 C 作 ECP=AED,CP 交 DE 的延长线于点P,连结 PO 交 O于点 F. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练(1)求证 :PC 就是 O 的切线 ; (2)若 PC=3,PF=1,求 AB 的长 . 【分析】 (1)连接 OC,欲证明 PC 就是 O 的切线
42、 ,只要证明PCOC 即可 . (2)延长 PO 交圆于 G 点,由切割线定理求出PG 即可解决问题 . 【解答】 解:(1)如图 ,连接 OC, PDAB, ADE=90 , ECP=AED, 又 EAD= ACO, PCO=ECP+ACO= AED +EAD=90 , PCOC, PC 就是 O 切线 . (2)解法一 : 延长 PO 交圆于 G 点, PFPG=PC2,PC=3,PF=1, PG=9, FG=91=8, AB=FG=8. 解法二 : 设 O 的半径为 x,则 OC=x,OP=1 +x PC=3,且 OCPC 32+x2=(1+x)2解得 x=4 AB=2x=8 【点评】
43、本题考查切线的判定、切割线定理、等角的余角相等等知识,解题的关键就是熟练运用这些知识解决问题,学会添加常用辅助线,属于中考常考题型. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练22.(2016?新疆 )如图,在 ABC,AB=AC, 以 AB 为直径的 O 分别交 AC 、BC 于点 D、E,点 F在 AC 的延长线上 ,且CBF=CAB. (1)求证 :直线 BF 就是 O 的切线 ; (2)若 AB=5,sin
44、CBF=,求 BC 与 BF 的长 . 【分析】 (1)连接 AE,利用直径所对的圆周角就是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而证明 ABF=90 . (2)利用已知条件证得AGC ABF,利用比例式求得线段的长即可. 【解答】 (1)证明 :连接 AE, AB 就是 O 的直径 , AEB=90 , 1+2=90 . AB=AC, 1=CAB. CBF=CAB, 1=CBF CBF+2=90即 ABF=90 AB 就是 O 的直径 , 直线 BF 就是 O 的切线 . (2)解:过点 C 作 CGAB 于 G. sinCBF=,1=CBF, sin1=, 在 Rt
45、AEB 中,AEB=90 ,AB=5, BE=AB ?sin1=, AB=AC, AEB=90 , BC=2BE=2, 在 RtABE 中,由勾股定理得AE=2, sin2=,cos2=, 在 RtCBG 中,可求得 GC=4,GB=2, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专题训练AG=3, GCBF, AGC ABF, BF=【点评】 本题考查常见的几何题型,包括切线的判定,角的大小及线段长度的求法,要求学生掌握常
46、见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题. 23.(2016?南昌校级自主招生)如图 ,AB 就是 O 的直径 ,点 F、 C 在 O 上且,连接 AC 、AF,过点 C 作 CDAF 交 AF 的延长线于点D. (1)求证 :CD 就是 O 的切线 ; (2)若,CD=4,求 O 的半径 . 【分析】 (1)连结 OC,由 F,C,B 三等分半圆 ,根据圆周角定理得FAC=BAC, 而 OAC= OCA, 则FAC= OCA, 可判断 OCAF,由于 CDAF,所以 OCCD,然后根据切线的判定定理得到 CD 就是 O 的切线 ; (2)连结 BC,由 AB 为直径得 ACB=90 ,由
47、 F,C,B 三等分半圆得BOC=60 ,则 BAC=30 ,所以 DAC=30 ,在 RtADC 中,利用含 30 度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8, 在 RtACB 中,根据勾股定理求得AB,进而求得 O 的半径 . 【解答】 (1)证明 :连结 OC,如图 , , FAC=BAC, OA=OC, OAC= OCA, FAC=OCA, OCAF, CDAF, OCCD, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆
48、的专题训练CD 就是 O 的切线 ; (2)解:连结 BC,如图, AB 为直径 , ACB=90 , =, BOC=180 =60 , BAC=30 , DAC=30 , 在 RtADC 中,CD=4, AC=2CD=8, 在 RtACB 中,BC2+AC2=AB2, 即 82+(AB)2=AB2, AB=, O 的半径为. 【点评】 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线就是圆的切线.也考查了圆周角定理与含30 度的直角三角形三边的关系. 24.(2016?西安校级三模 )如图 ,已知圆 O 的直径 AB 垂直于弦CD 于点 E,连接 CO 并延长交AD 于点 F,
49、且 CF AD. (1)请证明 :E 就是 OB 的中点 ; (2)若 AB=8, 求 CD 的长. 【分析】 (1)要证明 :E 就是 OB 的中点 ,只要求证 OE=OB=OC,即证明 OCE=30 即可 . (2)在直角 OCE 中,根据勾股定理就可以解得CE 的长 ,进而求出CD 的长 . 【解答】 (1)证明 :连接 AC,如图直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E, , 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 初中数学圆的专
50、题训练AC=AD, 过圆心 O 的线 CFAD, AF=DF, 即 CF 就是 AD 的中垂线 , AC=CD, AC=AD=CD. 即:ACD 就是等边三角形, FCD=30 , 在 RtCOE 中, , 点 E 为 OB 的中点 ; (2)解:在 RtOCE 中,AB=8, , 又 BE=OE, OE=2, , . 【点评】 解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里,运用勾股定理求解 . 25.(2016?金乡县一模 )如图 ,AB 就是 O 的直径 ,弦 CDAB 于点 E,且 CD=24,点 M 在 O上,MD 经过圆心 O,联结 MB. (1)若 BE=8,求 O