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1、初中数学专题 _折叠问题专题八折叠问题学习要点与方法点拨 : 出题位置 :选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中 , 常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等; 考查问题有求折点位置、求折线长、 折纸边长周长、 求重叠面积、 求角度、 判断线段之间关系等; 轴对称性质 -折线 ,就是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。压轴题就是由一道道小题综合而成, 常常伴有折叠 ; 解压轴题时 , 要学会将大题分解成一道道小题; 那么多作折叠的选择题填空题 , 很有必要。基本图形 : 在矩形 ABCD 中, 将ABF沿 BE折叠至 FBE,可
2、得何结论？（1）基本图形练习: 如图 , 将三角形纸片ABC沿过点 A 的直线折叠 , 使得 AC落在 AB上, 折痕为 AD,展开纸片 ; 再次折叠 , 使得 A与 D点重合 , 折痕为 EF,展开纸片后得到AEF,则 AEF就是等腰三角形, 对不？（2）折叠中角的考法与做法: 将矩形纸片ABCD 沿过点 B的直线折叠 ,使得 A落在 BC边上的点F 处, 折痕为 BE(图 1); 再沿过点E的直线折叠 ,使点 D落在 BE边上的点 D, 折痕为 EG(图 2), 再展开纸片 , 求图(3) 中角 a 的大小。（3）折叠中边的考法与做法: 如图 , 将边长为 6cm的正方形 ABCD折叠,
3、使点 D落在 AB边中点 E处, 折痕为 FH,点 C落在 Q处,EQ 与 BC交于点 G,则 EBG的周长就是多少？模块精讲例 1、(2014?扬州 )已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8, 将矩形 ABCD 折叠 ,使得顶点B 落在 CD 边上的 P 点处 . 结论 :(1)全等 ;(2)垂直。解题步骤 : 第一步 :将已知条件标在图上; 第二步 :设未知数 ,将未知数标在图上; 第三步 :列方程 ,多数情况可通过勾股定理解决。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 -
4、- - - - - - - - - 初中数学专题 _折叠问题(1)如图 1,已知折痕与边BC 交于点 O,连结 AP、OP、OA. 求证 :OCP PDA; 若 OCP 与 PDA 的面积比为1:4,求边 AB 的长 ; (2)若图 1 中的点 P 恰好就是 CD 边的中点 ,求 OAB 的度数 ; (3)如图 2,擦去折痕 AO、线段 OP ,连结 BP .动点 M 在线段 AP 上(点 M 与点 P、A 不重合 ),动点 N 在线段 AB的延长线上 ,且 BN=PM,连结 MN 交 PB于点 F, 作 MEBP于点 E.试问当点M、 N 在移动过程中 ,线段 EF的长度就是否发生变化？若变
5、化,说明理由 ;若不变 ,求出线段 EF的长度 . 例 2、(2013?苏州 )如图 ,在矩形 ABCD 中,点 E就是边 CD 的中点 ,将 ADE 沿 AE 折叠后得到 AFE,且点 F在矩形 ABCD内部 .将 AF 延长交边 BC 于点 G.若=,则=用含 k 的代数式表示 ). 例 3、(2013?苏州)如图 ,点 O 为矩形 ABCD 的对称中心 ,AB=10cm,BC=12cm, 点 E、F、G 分别从 A、B、C 三点同时出发 ,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点 E 的运动速度为1cm/s,点 F 的运动速度为3cm/s,点 G 的运动速度为1、5cm/s,当点 F 到达点
6、C(即点 F 与点 C 重合 )时 ,三个点随之停止运动.在运动过程中,EBF 关于直线EF 的对称图形就是EB F.设点 E、F、G 运动的时间为t(单位 :s). (1)当 t=s 时,四边形 EBFB 为正方形 ; (2)若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点F,C,G 为顶点的三角形相似,求 t 的值 ; (3)就是否存在实数t,使得点 B 与点 O 重合？若存在 ,求出 t 的值 ;若不存在 ,请说明理由 . 例 4、如图 , 已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠 , 使顶点 A与边 CD上的点 E重合 , 折痕 FG分别与 AB,CD交于点G,F,AE 与 FG交
7、于点 O. (1) 如图 1, 求证:A,G,E,F四点围成的四边形就是菱形; (2) 如图 2, 当AED的外接圆与BC相切于点 N时 , 求证: 点 N就是线段BC的中点 ; (3) 如图 2, 在(2) 的条件下 , 求折痕 FG的长 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 初中数学专题 _折叠问题例 5、已知 AD BC,AB AD,点 E,点 F 分别在射线AD, 射线 BC 上.若点 E 与点 B 关于 AC 对称 ,点
8、E 与点 F 关于 BD对称 ,AC 与 BD 相交于点 G,则() A.1+tanADB=2B.2BC=5CF C.AEB+22 =DEF D.4cosAGB=6课堂练习1、2、(2014 连云港 )如图 1,将正方形纸片ABCD 对折 ,使 AB 与 CD 重合 ,折痕为 EF.如图 2,展开后再折叠一次,使点 C 与点E 重合 ,折痕为 GH,点 B 的对应点为点M,EM 交 AB 于 N,则 tanANE=_. 图 3 图 4 3、 (2014?徐州 )如图 3,在等腰三角形纸片ABC 中,AB=AC, A=50 ,折叠该纸片 ,使点 A 落在点 B 处,折痕为 DE,则 CBE=_
9、. 4、(2014?扬州 )如图 4,ABC 的中位线 DE=5cm,把ABC 沿 DE 折叠 ,使点 A 落在边 BC 上的点 F 处,若 A、F 两点间的距离就是 8cm,则ABC 的面积为_cm2. 5、(2013?扬州 )如图 1,在梯形 ABCD 中,AB CD,B=90 ,AB=2,CD=1,BC=m,P为线段 BC 上的一动点 ,且与 B、 C 不重合,连接 PA,过 P 作 PEPA 交 CD 所在直线于E.设 BP=x,CE=y. (1)求 y 与 x 的函数关系式 ; (2)若点 P 在线段 BC 上运动时 ,点 E 总在线段 CD 上,求 m 的取值范围 ; (3)如图
10、2,若 m=4,将PEC 沿 PE 翻折至 PEG 位置 ,BAG=90 ,求 BP 长. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 初中数学专题 _折叠问题课后巩固习题1、(2014?淮安 )如图 ,在三角形纸片ABC 中,AD 平分 BAC, 将ABC 折叠 ,使点 A 与点 D 重合 ,展开后折痕分别交AB、AC 于点 E、F,连接 DE、DF.求证:四边形 AEDF 就是菱形 . 2、(2013?宿迁 )如图 ,在梯形 ABCD 中
11、,AB DC, B=90 ,且 AB=10,BC=6,CD=2. 点 E 从点 B 出发沿 BC 方向运动 ,过点 E作 EFAD 交边 AB 于点 F.将BEF 沿 EF 所在的直线折叠得到GEF,直线 FG、EG 分别交 AD 于点 M、N,当 EG 过点 D 时,点 E 即停止运动 .设 BE=x, GEF 与梯形 ABCD 的重叠部分的面积为y. (1)证明 AMF 就是等腰三角形; (2)当 EG 过点 D 时(如图 (3),求 x 的值 ; (3)将 y 表示成 x 的函数 ,并求 y 的最大值 . 3、如图 , 在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8, 把BCD沿着对角线BD折叠 , 使点 C落在 C处 ,BC 交 AD于点 G,E,F, 分别就是CD与 BD上的点 , 线段 EF交 AD于点 H,把 FDE沿着 EF折叠 , 使点 D落在 D处, 点 D 恰好与点 A重合、(1) 求证: 三角形 ABG CDG (2) 求 tan ABG的值 ; (3) 求 EF的长。3、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -