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1、精选优质文档-倾情为你奉上期末考试试卷（ A 卷）2007 学年第二学期考试科目：数值分析考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分234516得分评阅人一、判断题（每小题2 分，共 10 分）1.用计算机求 10001 时，应按照 n 从小到大的顺序相加。（）1000n 1n2.为了减少误差 ,应将表达式 20011999 改写为2进行计算。 （）200119993.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4.采用龙格库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高， 数值解越精确。（）5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变
2、方式有关，与常数项无关。（）二、填空题（每空2 分，共 36分）1.已知数 a 的有效数为0.01 ，则它的绝对误差限为_ ，相对误差限为 _.10102.设 A021, x5 , 则 A 1 _ ， x2 _ ， Ax_.13013.已知 f ( x)2x54x35x, 则 f 1,1,0, f 3, 2,1,1,2,3.4.为使求积公式1f (x) dxA1 f (3 ) A2 f (0) A3 f (3 ) 的代数精度尽量高，应使133A1， A2， A3，此时公式具有次的代数精度。5.n 阶方阵 A 的谱半径( A) 与它的任意一种范数A 的关系是.6.用迭代法解线性方程组AXB 时，
3、使迭代公式X ( k 1)MX (k )N ( k0,1,2,) 产生的向量序列X (k )收敛的充分必要条件是.7.使用消元法解线性方程组AX B 时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩专心-专注-专业1/13阵 U 的乘积，即 ALU . 若采用高斯消元法解AXB，其中 A422，则1L _， U_；若使用克劳特消元法解AXB ，则u11_ ；若使用平方根方法解 AXB ，则 l11 与 u11的大小关系为 _ （选填： ， =，不一定）。8.以步长为 1 的二阶泰勒级数法求解初值问题yxyy(0)的数值解，其迭代公式为1_.三、计算题（第 1 3、 6 小题每题8 分，第 4
4、、 5 小题每题7 分，共 46分）1.以 x02 为初值用牛顿迭代法求方程f (x) x33x10 在区间 (1,2)内的根，要求（1 ）证明用牛顿法解此方程是收敛的；（2 ）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算x1, x2 ,计算结果取到小数点后4 位）。2/132. 给定线性方程组x1 0.4 x20.4 x310.4 x1x20.8 x320.4 x10.8 x2 x33（ 1 ） 分别写出用 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式；（ 2） 试分析以上两种迭代方法的敛散性。3. 已知函数 y f ( x) 在如下节点处的函数值x-
5、1012y1430（ 1）建立以上数据的差分表；（ 2）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式P2 ( x) ，并计算y(1.1) 的近似值；（ 3）采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。3/134. 已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。x-1012y12504/135. 已知函数 yf ( x) 在以下节点处的函数值，利用差商表求f (3) 和 f(3) 的近似值。x134y2186. 写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估校正公式求解下列常微分方程的数值解。yx 2y2(0x1, h0.2)y(0)05/13四、（ 8 分）
6、已知 n+1 个数据点 (xi , yi )(i 0,1,2,n) ，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。6/13期末考试答案及评分标准（A 卷）2007 学年第二学期考试科目：数值分析一、判断题： （每小题2 分，共10 分）1.2.3. 4.5.二、填空题： （每空 2分，共 36分）1.0. 0051020.5或 0.5，2.5,26,153.0,24.1,0,1,35.( A)A6.( M )110421,1,7.10,228.yyn(xny)(1xny ) y1.5xn 2.5yn0.5, n 0,1,2,n1n1n或n 12三、解答题（第1 4 小题
7、每题8 分，第 5、6 小题每题7 分，共46 分）1. （ 1）证明： f ( x) x3 3x 1，由于a)f (1)30, f (2)10,b)f ( x)3x23 0( x (1,2),c)f ( x)6x0( x(1,2), 即 f( x) 在 (1,2) 上不变号，d)对于初值 x02 ，满足 f (2) f (2)0,所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。4 分（ 2）解：牛顿迭代法的迭代公式为7/13xn 1xnf ( xn )xnxn33xn 1f ( xn )3 xn232 分取初值 x02 进行迭代，得x11.8889,1 分x21.8795.1 分2. 解：（1 ） Ja
8、cobi 迭代公式为x1(k 1)0.4 x2(k )0.4 x3(k )1x2(k 1)0.4 x1(k )0.8 x3( k)22 分x3(k 1)0.4 x1(k )0.8 x2( k)3Gauss-Seidel 迭代公式为x1( k 1)0.4x2(k )0.4 x3(k )1x2(k 1)0.4x1(k 1)0.8 x3(k )22 分x3(k 1)0.4x1(k 1)0.8 x2(k 1)30 . 40 . 4（ 2） Jacobi迭代矩阵的特征方程为0. 40 . 80，展开得0. 40 . 830.960.2560，即 (0.8)(0.40.505)(0.40.505)0 ，从
9、而得 1-1.0928,2 0.8000,30.2928 ，（或由单调性易判断必有一个大于1的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1 ，所以 Jacobi 迭代法发散。2 分0.40.4Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程为0.40.80，展开得0.40.8( 20.8320.128) 0 ，解得10, 20.628, 3 0.204,迭代矩阵的谱半径小于 1，所以 Gauss-Seidel迭代法收敛。2 分3. 解：（1 ）建立差分表8/13xyy2 y3 y113044121323202 分（ 2）建立牛顿后插公式为P2 ( x) 03( x 2)2( x 2)( x 1)1!2
10、 !3( x 2) ( x 2)( x 1)x24则所求近似值为P2 (1.1)2.793 分（ 3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为P2(1) ( x) 31 ( x 1)4 ( x 1) x1!2!3( x1)2 x( x 1)2x2x4则P2(1) (1.1) 2.68根据事后误差估计法R2 ( x)x2 P2 (0.9) P2(1) ( 0.9)x1故截断误差R2 (1.1)0.9( 2.79 2.68) 0.04712.13 分4. 解：设所求二次最小平方逼近多项式为P2 ( x) a0 a1 x a2 x2 . 根据已知数据，得111a011002, Aa1M11,Y1a25124
11、09/132 分则4268M M268, M Y4681861 分建立法方程组为426a08268a146818a262 分解得a03.5, a11.5, a21.5.1 分从而得所求一次最小平方逼近多项式为P1 ( x)3.51.5x1.5x2.1 分5. 解：设 P2 (x) 为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表：xy一阶差商二阶差商1225487231P23, 3P24,3,33P2 (3)P23, 3P23,3,33P2 (3)2 分因为二次多项式的二阶差商为常数，又P2 ( x) 是 f ( x) 的插值函数，故有P24, 3, 3P253, 3, 322 分而P24, 3
12、,3P2 3, 3 75 ，342因此得10/139P2 3, 3，21 分由于f ( k ) ( x)k ! Pn x, x, x, x ，k1从而得f (3) P23, 39 ,2f (3)2! P23, 3,35.2 分6. 解：前进欧拉公式：yn 1ynhf ( xn , yn ) yn0.2xn20.2yn2 1 分后退欧拉公式： yn 1ynhf (xn 1 , yn1)yn0.2xn210.2 yn21 1分预估时采用欧拉公式yn*1yn0.2xn20.2 yn21 分校正时采用后退欧拉公式yn 1yn0.2xn2 10.2 yn*211 分由初值知，节点分别为xi0.2i, (
13、i 1,2,3,4,5)0, h 0.2x0 0, y0当 x1 0.2,y1*y00.2x020.2y020,y1y00.2 x12 0.2y1*20.008 ，1 分当 x20.4,y*2y10.2x120.2y120.0160,11/13y2 y1 0.2 x220.2 y2*20.0401 .1 分当 x30.6,y3*y20.2x220.2y220.0724,0.2 x320.2 y3*2y3y20.1131 .1 分当 x40.8,y4*y30.2x320.2y320.1877,0.2 x420.2 y4*2y4y30.2481 .1 分当 x51.0,y5*y40.2x420.2
14、y420.3884,y5y42*20.2 x50.2 y50.4783 .四、（ 8 分）答： 1、可以建立插值函数：（ 1）Newton 基本差商公式Pn( x)f ( x0 ) ( x x0 ) f x1 , x0 ( x x0 )( x x1 ) f x2 , x1 , x0 ( x x0 )( x x1 ) ( x xn 1) f xn , , x1 , x0 1 分（ 2）Lagrange 插值多项式Ln ( x) a0 f ( x0 ) a1 f ( x1 )ai f ( xi )an f ( xn )其中 ai( x x0 ) ( x xi1 )( x xi 1) ( x xn
15、)0,1, , n) .( xi x0 ) ( xixi, (i1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )1 分这两类插值函数的适用条件是：n 不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。2 分2、可以建立拟合函数：12/13Pm ( x)a0a1 xa2 x2am xm1 分其中系数 a0 ,a1 , a2 , an 满足法方程组 M MAM Y ,1x0x02x0ma0f ( x0 )y01x1x12x1ma1f ( x1 )y1M, A,Y1xnxn2xnmamf ( xn )yn1 分拟合函数的适用条件是： n 比较大，而且并不要求函数严格通过已知数据点，或者已知数据点本身的误差较大。2 分13/13