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1、精选优质文档-倾情为你奉上绝密启用前河南省信阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题（理)评卷人得分一、单选题1命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A任意一个有理数，它的平方是有理数 B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数 D存在一个无理数，它的平方不是无理数【答案】B【解析】【分析】依据特称命题“”的否定为“”.【详解】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，答案为B【点睛】本小题考查了特称命题的否定，注意与否命题区别，属于基础题.2已知空间向量，且，则实数的值为( )A5 B-5
2、C5或-5 D-10或10【答案】C【解析】【分析】利用空间向量共线定理以及向量模的坐标表示，建立方程组，即可求得z的值.【详解】因为，所以存在，使得，又因为，而，则，解得或，所以答案为C.【点睛】本小题主要考查空间向量共线定理以及向量模的坐标表示，属于中档题，具体如下：设（），则 存在唯一的，使得，即；.3设，且，则下列不等式成立的是( )A B C D【答案】C【解析】【分析】给选取适当的值即可判断A、B、D项不正确，而利用对应函数的单调性即可证明C选项正确.【详解】A选项：令，则，但，不正确；B选项：令，则，但，不正确；C选项：因为在R上为增函数，所以，正确；D选项：令，则，但，不正确；
3、答案为C.【点睛】本题主要考查大小比较问题，常用的方法有：（1）利用不等式的性质；（2）特殊值法；（3）作差法；（4）作商法；（5）中间值法；（6）单调性法.4下列抛物线中，原点到其焦点距离最小的是( )A B C D【答案】B【解析】【分析】先将每一项转化为标准的抛物线方程，然后分别求出值，再对应求出原点到其焦点的距离，最后各项进行比较，即可得出距离最小的选项.【详解】A选项：因为，得，则原点到焦点的距离为；B选项：因为，即，则，得，则原点到焦点的距离为；C选项：因为，得，则原点到焦点的距离为；D选项：因为，得，则原点到焦点的距离为；因为，所以答案为B.【点睛】主要考查抛物线的标准方程以及P
4、值的几何意义，属于基础题.5设公差不为零的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则的值为( )A-3 B3 C8 D-24【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，前项和公式以及等比中项的性质建立关于和的方程组，即可求出和，然后利用前项和公式求出.【详解】设的公差为，因为，成等比数列，所以，而，解得，所以，答案为D.【点睛】等差（等比）数列基本量求解问题主要的方法：（1）方程组法：根据题目的条件，结合通项公式、求和公式，将问题转化为关于首项和公差（公比）的方程组，然后求解.（2）性质法：灵活运用通项公式、求和公式以及相关性质公式，如等差数列的性质、若，则等，求解数列基本量问题.6已知点的
5、坐标满足条件点，则的最小值为( )A2 B C D1【答案】A【解析】【分析】根据点坐标得到点满足的参数方程，从而得到点所在的直线方程，因此将求最小值问题转化为求可行域上的点到直线的最小距离，然后运用数形结合得到可行域内点B（1，0）到直线距离最小，从而求出的最小值.【详解】因为，则点满足的参数方程为（为参数），消去参数得到普通方程为：，则问题转化为求可行域上的点到直线的最小距离，如图：由图可知当点与B点重合时到直线的距离最小，而B点为（1，0），B到的距离为，所以， 答案为A.【点睛】主要考查线性规划问题，同时也考查了参数方程与普通方程的互化。这类型题的关键在于寻找出目标函数的几何意义，然后
6、利用数形结合的方法寻找出最优解，求出最值，属于中档题.7设，则“”是“”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别解出两个条件“”与“”的范围和，然后判断集合和的关系，即可判断充分条件和必要条件.【详解】因为，解得，设，因为，解得或，令|或，因为，所以“”是“”的充分不必要条件，答案为A.【点睛】主要考查充分条件和必要条件的判断以及不等式的求解，属于中档题.而充分条件和必要条件的判断常用的方法有：（1）定义法：分别判断命题“若，则”，“若，则”的真假，即可得到充分条件和必要条件的判断.（2）集合关系法：分别解出两个条件与的范围和，
7、然后根据集合集合和的关系，即可得到充分条件和必要条件的判断.8已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为( )A B C D【答案】B【解析】【分析】由渐近线与直线平行可知其斜率相等，可以得到，再由条件“双曲线的一个焦点在直线上”可以求得一个焦点坐标，从而得到c的值，再结合的关系式，即可求出，从而得到双曲线方程.【详解】因为双曲线的渐近线为，其中一条渐近线与直线平行，则有，所以，又因为双曲线的焦点在轴上，而其中一个焦点在直线上，则直线与轴焦点为双曲线焦点，即，又因为，得，则，所以双曲线方程为，答案为B.【点睛】主要考查双曲线方程的求解，同时涉及到渐近线、焦点的
8、应用，以及直线平行的性质运用，属于中档题.圆锥曲线方程的求解，一般都是利用题目的条件，从代数角度或者几何角度建立参数的关系式，从而联立方程组求得曲线方程，一定要注意焦点的位置，避免写错曲线方程.9一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（ ）A正西方向 B南偏西方向C南偏西方向 D南偏西方向【答案】C【解析】【分析】根据题设中的方位角画出，在中利用正弦定理可求出的长，在中利用余弦定理求出的长，利用正弦定理求的大小（即灯塔的方位角）.【详解】如图，在中，由正弦定理有，.在中，余弦定理有
9、，因，由正弦定理有，故或者.因，故为锐角，所以，故选C.【点睛】与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.10直三棱柱中，分别是，的中点，则与所成的角为( )A B C D【答案】D【解析】【分析】取BC中点E，通过证明四边形MNEB为平行四边形，从而得到BM/NE，将求BM与AN所成的角转化为求或其补角.接着通过设，然后利用AN，AE，BM所在的直角三角形求出其长度，而NE=BM，进而得到AN，AE和NE的长度，再由其满足勾股定理，得到，即BM
10、与AN所成的角为.【详解】如图取BC中点E，连接AE和EN，MN，因为M，N分别为，中点，所以，且，因为，且，所以且，所以四边形为平行四边形，得，则BM与AN所成的角为或其补角，因为该为直三棱柱，则侧棱与地面均垂直，又，设，则，所以.在中，；在中，；在中，所以；因为，所以，所以BM与AN所成的角为，答案为D.【点睛】主要考查异面直线所成角的求解问题，主要有两种方法：（1）定义法：利用异面直线所成角的定义，在空间上恰当选取一点，过该点分别作异面直线的平行直线，从而将异面直线所成角转化为平面角，再结合解三角形的相关定理进行求解.（2）向量法：i.建立空间直角坐标系；ii.求出相关点的坐标；iii.
11、分别求出两条异面直线的方向向量；iv.若异面直线所成角为，则利用公式.11在中，内角，所对的边分别为，且，则取得最大值时，内角的值为( )A B C D【答案】B【解析】【分析】将正弦定理平方处理，即可将恒等式转化为，再代入余弦定理，从而将转化为，再利用辅助角公式即可求出使得式子取最大值的A值.【详解】由，根据正弦定理，可得，再由，得，所以，所以当时，取得最大值，答案为B.【点睛】本题主要考查正弦定理以及余弦定理的综合运用，运用了函数的思想，通过构造与问题相关的函数，从而讨论最值的情况，属于难题.12已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，分别为的内心、重心，当轴时，椭
12、圆的离心率为( )A B C D【答案】A【解析】【分析】结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率.【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，设点，则，因为为的重心，所以，因为轴，所以点横坐标也为，因为为的角平分线，则有，又因为，所以可得，又由角平分线的性质可得，而所以得，所以，所以，即，因为即，解得，所以答案为A.【
13、点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：（1）根据题目条件求出，利用离心率公式直接求解.（2）建立的齐次等式，转化为关于的方程求解，同时注意数形结合.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13已知空间四边形中，点在上，点在上，则等于_（用，表示）【答案】【解析】【分析】利用向量加法和减法的三角形法则，以及向量线性运算的运算律即可用表示【详解】因为 所以【点睛】主要考查向量的线性运算法则以及运算律，属于基础题.14若，点、三点共线，则的最小值为_【答案】11【
14、解析】【分析】由三点共线得，利用其坐标表示，建立的关系式，从而得到，然后代入式子，即可运用基本不等式求得最小值.【详解】因为，又因为三点共线，所以，所以，而，即，所以化简得，因为，当且仅当即时，等号成立，故答案为11.【点睛】主要考查了向量共线的坐标表示以及基本不等式的应用，要注意基本不等式的适用条件以及等号成立的条件，属于中档题.15右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米。【答案】：2米【解析】试题分析：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将A（2，-2）代入，得m=-2，代入B得，故水面宽为m考点：抛物线的应用16已知数列满足，则_【答案】【
15、解析】【分析】由题意结合数列的递推关系首先求得数列的通项公式，然后分组求和求解数列的前n项和即可.【详解】令，则，由题意可得：，即：，整理可得：，令，则，由题意可得：，且，故，即，据此可知： .【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项评卷人得分三、解答题17设：方程表示椭圆，：对任意实数恒成立，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】先分别求出
16、命题为真命题时的取值范围，再根据为真命题，为假命题可知一真一假，从而分两种情况求出的取值范围.【详解】若方程表示椭圆，则 且真则且若对任意实数恒成立当时，恒成立当时，则 真则是真命题，是假命题、一真一假若真假，则若假真，则 或故实数的取值范围为【点睛】本题考查已知复合命题真假求参数范围问题，同时也考查了椭圆标准方程以及一元二次不等式恒成立问题. 1.已知复合命题真假求参数范围问题求解步骤：（1）分别求出每个简单命题为真命题时的参数范围；（2）根据复合命题真假得到其等价条件，然后分类讨论，求出参数范围. 2.一元二次不等式恒成立问题：（1）对任意实数恒成立的条件是 ；（2）对任意实数恒成立的条件
17、是.同时要注意二次项系数含参的情况下，不要遗漏参数为零的情况.18在中，设，是内角，的对边，若 .（1）求角；（2）若为中点，求的面积.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）首先可以通过二倍角公式对其进行化简，再通过解三角形的正弦公式化简得，最后与解三角形的余弦公式进行联立得出结果；（2）可通过余弦定理以及计算出的值，再通过计算出面积。【详解】（1）由题意得由正弦定理得 即，由余弦定理得 所以 ；（2）由题意， 即所以，故所以。【点睛】本题主要考查解三角形，需要对题目所给条件和解三角形的正弦、余弦、面积公式进行综合运用。19已知数列的前项和为，且，是等差数列的前三项.（1）求数列，的
18、通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系将式子转化得，再根据条件求出，从而证明为等比数列，求出其通项.再利用等差数列通项公式求出的通项.（2）利用错位相减法即可求和.【详解】（1）当时，两式相减得，即.又，成等差数列 数列是首项为2公比为2的等比数列数列的通项公式为.则，数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列的通项公式为.（2）由（1）知， 两式相减得 即数列的前项和【点睛】主要考查数列通项的求解以及前项和的求解，属于中档题.1.利用与的关系求数列通项的基本步骤：（1）当时，求出；（2）当时，利用即可转化为递推公式求解通项.（3）检验时是否
19、符合.2.错位相减法的基本步骤：（是等差数列，是等比数列，公比为）：（1）写：；（2）错位：；（3）相减：；（4）化简20如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为，点在底面的投影是线段的中点，为侧棱的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先通过证明面，从而证得，再利用勾股定理证得，而，所以证得，再利用线面垂直判定定理证得面.（2）利用向量法，以为原点，所在直线为轴，从而分别求出平面与平面的法向量，利用公式求出二面角的余弦值，再通过同角三角函数的平方关系求出正弦值.【详解】（1）连接，因为平面，所以又为正三角
20、形，所以而，所以平面，所以在中，所以，则为等腰直角三角形因为为侧棱的中点，所以，又，所以而，所以平面（2）如图，分别以，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系则，由得由（1）得为平面的一个法向量设为平面的一个法向量由得取得所以 故平面与平面夹角的正弦值为【点睛】主要考查线面垂直的证明，以及二面角的求解，属于中档题. 线面垂直的证明常利用线面垂直判定定理或者面面垂直性质定理.而二面角的求解一般都是运用：（1）定义法：找出二面角的平面角并证明，然后运用题目条件以及解三角形相关结论进行求解；（2）向量法：主要分四步进行，先建系，然后求相关点的坐标，从而求出两平面法向量，再运用公式求二面角.21在平面直角
21、坐标系中，为，轴上两个动点，点在直线上，且满足，.（1）求点的轨迹方程；（2）记点的轨迹为曲线，为曲线与正半轴的交点，、为曲线上与不重合的两点，且直线与直线的斜率之积为，试探究面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通过引入参数，分别表示点的横纵坐标，得到其参数方程，再消去参数得到其轨迹方程.（2）按照直线斜率是否存在分两种情况进行讨论，对于斜率存在的情况，通过设出方程，代入曲线消去得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，结合题目条件求出m的值，从而求出关于的表达式，再利用基本不等式即可求出最大值.【详解】（1）设，则，故点的轨迹方程为（2）当直线的斜率不存在时，设则，不合题意.
22、当直线的斜率存在时，设，联立方程得则 ，又 即 将，代入上式得直线过定点，所以直线MN： ，即，则三角形GMN的底MN上的高为，令即 当且仅当时取等号故【点睛】主要考查轨迹方程的求解以及与椭圆有关的三角形面积最值问题，属于难题.常见的轨迹方程求解方法：（1）直接法，根据动点所满足的几何条件，直接翻译成的形式，然后等价变换成；（2）定义法，根据题目条件，证明其符合五种常见曲线中某种曲线的定义，然后利用对应的定义求出其轨迹方程；（3）相关点法，动点随着某已知曲线上的点运动而运动，将已知曲线上的点的坐标用动点的坐标表示，并代入已知曲线方程化简得轨迹方程；（4）参数法，通过引入新的参数分别表示动点的横
23、、纵坐标，得到其参数方程，再转化为普通方程即得其轨迹方程.22在直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.（1）求曲线与的交点的直角坐标；（2）设点、分别为曲线，上的动点，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别将的方程化为直角坐标方程，然后联立方程组进行求解，即可求得两曲线交点的直角坐标.（2）的最小值即为圆上的点到直线的最小距离，即圆心到直线的距离减去半径即可.【详解】（1）由得曲线的普通方程为 由，得曲线的直角坐标系方程为.由，得，解得或（舍去）.所以点的直角坐标为.（2）由得曲线的直角坐标方程为即则曲线的圆心到直线的距离为故
24、.【点睛】主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及距离的最小值问题，属于中档题.对于互化问题，利用对应的互化公式即可，而距离最值问题常用的方法为：（1）几何法，结合其几何性质将距离最值问题转化，然后求解.（2）参数法，通过设出动点的参数坐标，建立关于距离的函数，从而讨论距离的最值.23已知函数，.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用零点分段法确定分类标准，然后去绝对值号进行不等式求解.（2）根据的范围将转化为或，再分离参数求出的范围.【详解】（1）当时，即等价于：，或，或解得或或所以原不等式的解集为：.（2）所以可化为即或式恒成立等价于或，或，.【点睛】主要考查绝对值不等式的求解以及恒成立问题，属于中档题.绝对值不等式常用零点分段法进行求解，而恒成立问题常用分离参数法或者构造函数法进行求解.专心-专注-专业