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1、精选优质文档-倾情为你奉上西姆松(Simson)定理 西姆松定理说明过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。相关的结果有：（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。（4）从一点向的三边所引垂线的垂足共线的是该点落在三角形的外接圆上。 证明证明一： ABC外接圆上有点P，且PEAC
2、于E，PFAB于F，PDBC于D，分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是FDP=ACP ，（都是ABP的补角） 且PDE=PCE 而ACP+PCE=180 FDP+PDE=180 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由可见A、B、P、C共圆.证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分别四点共圆，有PBN = PLN = PLM = PCM.故A、B、P、C四点共圆。若A、B、P、C四点共圆，则PBN = PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于
3、AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有PBN =PLN =PCM=PLM.故L、M、N三点共线。欧拉线 的、，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。于1765年在它的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。欧拉线的证法1： 作ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G BD是直径 BAD、BCD是直角 AD
4、AB，DCBC CHAB，AHBC DACH，DCAH 四边形ADCH是平行四边形 AH=DC M是BC的中点，O是BD的中点 OM= 1/2DC OM= 1/2AH OMAH OMG HAGAG/GM=2/1 G是ABC的重心 G与G重合 O、G、H三点在同一条直线上 如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.欧拉线的证法2：设H,G,O,分别为ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。连接OD ，又因为O为外心，所以ODBC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AEBC。所以OD/AE，有ODA=EA
5、D。由于G为重心，则GA:GD=2:1。连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理，OF/CM.所以有OFC=MCF连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以DFC=FCA，FDA=CAD，又OFC=MCF，ODA=EAD，相减可得OFD=HCA,ODF=EAC,所以有OFDHCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1又ODA=EAD，所以OGDHGA。所以OGD=AGH,又连接AG并延长，所以AGH+DGH=180,所以OGD+DGH=180。即O、G、H三点共线。欧拉线的证法3设H,G,O,分别为ABC
6、的垂心、重心、外心.则OH=向量OA+向量+OB+向量OC向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，向量OG*3=向量OH所以O、G、H三点共线九点共圆定理九点共圆定理三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这9点共圆.九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几Benjamin Beven.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列1788-1867.一位高中教师费尔巴哈1800-1834曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的直边三角形的一些特殊点的性质一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质如下列的性质3,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.
7、 九点圆具有许多有趣的性质,例如: 1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; 3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理.4.九点圆是一个垂心组共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆,十二个旁切圆相切.5.九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线且OG=2VG VO=2HO 九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。 事先定义的变量与垂心、外心一样： d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘（句子很长_）。 c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。 重心坐标：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。专心-专注-专业