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1、精选优质文档-倾情为你奉上行列式的解法摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了这几种方法的使用条件。关键词：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循环行列式。Determinant solutionsAbstract: This article enumerates several calculation methods of deteminants . such as .turning into triangle .extracting publicly owned multiplier and so on .At the same time .it poi
2、nts out the service conditions of these kinds of methods .Key words: determination . triangulaire determination . vandermonde determination 一、 定义法 n介行列式 的值等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 的代数和,这里是的一个排列,每一项都是按下列规则带有符号:当是偶排列时, 带有正号,当是奇排列时,带有负号.这一定义可以写成,这里表示对所有级排列求和.例 1. 计算 的值.解:原式 但是对于含有元素较多的高阶行列式可用定义法计算则较为复杂,一般仅对
3、2级3级的行列式采用。而对与高阶行列式中0元素较多的行列式则可以采用.因行列式的项中有一因数为零时，该项的值为零，故只需求出全部为非零乘积的项相加即可。通常是从行列式的一般项行入手，将行标按自然数排列，讨论列标的所有可能的非零取值，并且要注意每一项的符号。例 2. 计算12345阶行列式 =解:有定义法知:只需求出A中所有的非零项相加即可。D中的第一行的非零元素只有，因而，同理于是在可能取的数值中，只能组成一个12345个元素的排列：12344 12343 2 1 12345 .而此排列的逆序数为=为偶数，故 二、 升阶法在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展开定理
4、使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点作出选择。例1计算n阶行列式 ，其中解 将最后一个行列式的第j列的倍加到第一列（，就可以变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为1+故 例2 计算n阶行列式解 好象范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，令 按第列展开，则得到一个关于的多项式，
5、的系数为。另一方面 显然，中的系数为所以三、降阶法（按行按列展开） 利用行列式的性质对行列式中存在某行（列）0元素较多的行列式进行行(列)展开.容易留下少些非0部分将行列式降阶一般也只对非特殊阶数不高的行列式计算如下.亦可利用降阶定理对高阶的行列式求值. 例5 计算行列式 解： = = =-7 降阶定理:设是方阵,且A可逆,则 证明: 例 6. 计算 解: 原式= =然后从第2列起,后面的每一列依次减去第一列,可得: 原式= = =四、利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。例3计算n阶行列式 ，其
6、中解 将的第一行视为据行列式的性质，得 于b与c的对称性，不难得到 联立（1），(2）解之，得 例4计算n阶行列式 解将按第一行展开，得于是得到一个递推关系式，变形得 易知 所以，据此关系式在递推，有 如果我们将的第一列元素看作,1+0,0+0,按第一列坼成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式，同样可得的值。五、化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带
7、符号 例5计算N阶行列式解 六、利用范德蒙（Vandermonde）行列式法著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果。例6 计算n阶行列式 解 将第一行可视为，再由行列式的性质，得 把第一个行列式从第一行起依次将行加到行；第二个行列式的第列提取得=七、利用乘法定理法在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定行列式的值；有时不直接计算给定的行列式，而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式，计算两行列式的乘积，由此求出给定行列式的值，这样也可使问题简单。例7计算n
8、阶行列式 解 所以，当时，；当时，当时，八、 加边法行列式的计算一般是想办法降阶,但对于某些行列式,在保持原行列式值不变的基础上增加一行一列(增加的一行一列元素一般是有0和1组成),然后可化为爪型行列式,最终在根据行列式性质化为上下三角形行列式计算.例 7. 求 分析:这类行列式的一个显著特点就是每一行每一列除个别元素以外均相同,这时可加条边将相同元素化为0.解： 九、提取公因式法若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”。满足条件（1）的行列式可直接提取
9、公因式变为“1，1，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶。满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法。例9计算N阶行列式 解 该行列式各行元素之和都等于 ，属于“全和型”，所以 十、拆行（列）法计算 若行列式某一行（列）或多行（列）可以表示成两项之和，且有一拆成的项相同元素较多(一般都会全力相同)，则此时可以利用行列式的拆项的性质，将行列式拆成两个简单的行列式计算。 例11.计算n阶行列式 解： =0+0 =0除了以上常见的方法外还有一些特殊的方法,如n阶轮换行列式的初等计算方法、极限法、导数法、积分法，数学归纳法等。对于一个给定的行列式可以有多种方法求解，这是则要求我们注意方法的灵活性，要在众多方法中选取一种最简便的方法。参考文献1. 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）.北京：高等教育出版社.19942. 王品超.高等代数新方法.济南：山东教育出版社.19893. 北大数学系.高等代数M.北京高等教育出版社.19884. 陈仲.大学数学复习指导与试题解析M.南京大学出版社.19995. 钱吉林,高等代数解题精粹M.北京：中央民族大学出版社，2002 专心-专注-专业