常微分方程(共0页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上常微分方程第一章绪论 在初等数学中，我们已经学过一些代数方程（如元个一次联立方程），并且用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。 在解析几何与微积分中，我们又碰到一类不同的方程方程的个数少于未知量的个数，也就是通常所说的函数方程。例如， 1） (设是自变量，则是未知函数)； 2），（设是自变量，则和是两个未知函数）。 这类函数方程与开头所说的代数方程相比，在概念上进了一步确定自变量与因变量之间的函数关系。利用这类方程可以解决一类新的问题，例如某些轨迹问题和极值问题等。 本课程所要讲述的方

2、程与刚才说的那种函数方程又不一样，它们除了自变量和未知函数外，还包含了未知函数的导数(即微商)。例如: 1）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数。） 2）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数等等）。 这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式,数学上称之为微分方程。其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。下面我们通过几个具体的例子，粗略地介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，并讲述一些最基本的概念。 第一节 微分方程：某些物理过程的数学模型 在这一节中列举几个简单的实际例子，说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。例子虽然简单，但是从中能够简明地诱导出微分方

3、程的一些基本概念，成为进一步探讨其他较复杂问题的借鉴。掌握好这些例子，会有助于增进我们分析问题的能力。 例1 物体冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中， 在时刻 时， 测量得它的温度为，10分钟后测得温度为。我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持为。 解 为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。这是已为实验证明了的牛顿（ Newton）冷却定律。 设物体在时

4、刻的温度为，则温度的变化速度以来表示。由牛顿冷却定律得到 这里是比例常数。方程（1.1.1）就是物体冷却过程的数学模型,它含有未知函数及它的一阶导数，这样的方程,我们称为一阶微分方程。 为了决定物体的温度u和时间t的关系，我们要从方程（1.1.1）中“解出”。注意到是常数，且，可将（1.1.1）改写成 这样，变量和被“分离”开来了。两边积分，得到 （1.1.3） 这里是“任意常数”。根据对数的定义，得到 令，即得 （1.1.4） 根据“初始条件”：当时， （1.1.5） 容易确定“任意常数”的数值。故把和代入（1.1.4），得到 于是 （1.1.6） 这时如果的数值确定了，（1.1.6）就完全

5、决定了温度和时间的关系。 根据条件时，得到 由此， 用给定的，和代入，得到 从而（1.1.7） 这样根据方程（1.1.7）,就可以计算出任何时刻t物体的温度u的数值了。例如20分钟后物体的温度就是。由方程(1.1.7)可知，当时，这可以解释为：经过一段时间后，物体的温度和空气的温度将会没有什么差别了。事实上,经过2小时后，物体的温度已变为，与空气的温度已相当的接近。而经过3小时后，物体的温度为,我们的一些测量仪器已测不出它与空气的温度的差别了。在实用上，人们认为这时物体的冷却过程已基本结束。 微分方程的“解”可以用图形表示出来，这往往给我们一个简明直观的了解。图（1.1）就是“解”（1.1.7

6、）的图形。 从例1中可以大体看出用微分方程解决实际问题的基本步骤:（1）建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程；(2）求解这个微分 方程；（3）用所学的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。 建立起实际问题的数学模型一般比较困难的，因为这需要对与问题有关的自然规律有一个清晰的了解（例如，例中就要了解热力 学中的牛顿冷却定律），同时也需要有一定的数学知识。微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型。我们在建立微分方程的时候，只能考虑影响这个物 理现象的一些主要因素，而把其他的一些次要因素忽略掉，如果的确考

7、虑到了那些最主要的因素，那么我们所得到的微分方程，它的解和所考虑的物理现象比较接近 的。这时，我们得到的数学模型是有用；否则，我们还应该考虑其他的一些因素，以便建立起更为合理的数学模型。 下面再举几个例子说明如何建立微分方程的问题，至于如何求解这些微分方程，则留待以后再讨论。 例2镭、铀等放射性元素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量（称为衰变）。根据实验知道衰变速度与剩余物的质量成正比，问这种元素的质量是时间的什么样的函数？ 解 由题意可知有 这里表示衰变的速度，即关于的变化率。是比例常数，因元素的不同而异。等式右边的负号表示当时 ,即当增加时镭的质量总是减少的。 例 3 电路 如图(1.2

8、)的电路，它包含电感，电阻和电源。设时，电路中没有电流。我们要求建立：当开关合上后，电流应该满足的微分方程。这里假设、都是常数。 解 为了建立电路的微分方程，我们引用关于电路的基尔霍夫第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零。 注意到经过电阻的电压降是，而经过电感的电压降是，由基尔霍夫第二定律得到 即 求出的应满足条件：当时， 如果假定在时，电源突然短路，因而变为零，此后亦保持为零。那末电流满足方程及条件：当时，。 图（1.2） 例4 研究悬挂重物的弹簧的振动。假设弹簧的质量与重物的质量相比是很小，以致可以略去不计，试建立其微分方程。 图(1.3) 解如图(1.3)，当重物（质量

9、为）静止不动时，它所受到的两个力，即重力和弹簧的恢复力，互相平衡。如果把它向下拉(或向上推)一小段距离，然后放手。根据常识，知道重物将作上下振动若干次,振幅愈来愈小，最后仍归于静止。今取轴的正方向铅直向下，取重物静止不动时其重心的位置为。在振动过程中，重物受到三个力的作用：1.重力，方向向下。 2.弹簧的恢复力， 其中是弹簧的刚度，即把它拉长一个单位茶馆年度所需的力。这个力的方向要看还是而定。在前一情况，弹簧的长度比没有悬挂重物时要长，因此恢复力方向向上；在后一情况则相反， 恢复力向下。3.空气阻力。根据实验知道空气阻力的大小与重物运动的速度成正比，而方向与运动方向相反。这样，应用牛顿第二定律

10、，就得到: (1.1.10) 其中称为阻尼系数，等式中间第二，三两项前面的负号已经在上面解释过。 从以上所举的几个例子中不难发现，完全无关、本质上不同的物理现象有时可以由同类型的微分方程来描述。例如，反映物体冷却过程的方程 和反映电路中电流变化规律的方程 都可以写成 不同的物理现象可以具有相同的数学模型这一事实，正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论依据。例如，利用电路来模拟某些力学系统或机械系统等等在现时已相当普遍。 第二节基本概念1）常微分方程和偏微分方程定义1 微分方程就是联系着自变量、未知函数以及它的导数的关系式。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个

11、，我们称这种微分方程为常微分方程； 自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。方程是常微分方程的例子，这里是未知函数，是自变量。方程 (1.1.16)就是偏微分方程的例子，这里是未知函数，、是自变量。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。例如，方程（1.1.13）是二阶常微分方程，而方程（1.1.15）、（1.1.16） 都是二阶偏微分方程。 一般的阶常微分方程具有形式 (1.1.17) 这里 是的已知函数，而且一定含有；是未知函数,是自变量。练习1 指出下面微分方程的阶数，并回答方程是常微分方程还是偏微分方程：2） 线性和非线性定义2 如果方程(1.1.17

12、)的左端为及，.，的一次有理整式，则称（1.1.17）为n阶线性微分方程。一般的阶线性微分方程具有形式这里是的已知函数。不是线性方程的方程称为非线性方程。例如，方程是二阶非线性方程，而方程（1.1.14）是一阶非线性方程。练习2 指出下面微分方程的阶数，并回答是否线性的：3） 解和隐式解定义3 如果函数代入方程（1.1.17）后，能使它变为恒等式，则称函数为方程（1.1.17）的解。例如，1.1的例1中,函数就是方程(1.1.1)的解。如果关系式决定的隐函数是（1.1.17）的解，我们称为方程(1.1.17)的隐式解。例如，一阶微分方程有解和；而关系式就是方程的隐式解。练习3 验证下列各函数是

13、相应微分方程的解：(c是任意常数)4） 通解和特解定义4 把含有个独立的任意常数的解称为阶方程（1.1.17）的通解。同样，可以定义阶方程（1.1.17）的隐式通解。为了简单起见，以后我们也不把通解和隐式通解加以区别，统称为方程的解。为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必须满足的条件，这就是所谓的定解条件。常见的定解条件是初始条件。所谓阶微分方程（1.1.17）的初始条件是指如下的个条件：当时， （1.1.19）这里是给定的个常数，初始条件（1.1.19）有时可写为 （1.1.20）求微分方程满足定解条件的解，就是所谓定解问题。当定解条件为初始条件时，相应的定解问题，就称为初值

14、问题。满足初始条件的解称为微分方程的特解。初始条件不同，对应的特解也不同。一般来说，特解可以通过初始条件的限制，从通解中确定任意常数而得到。例如，在1.1的例1中，含有一个任意常数解就是一阶方程（1.1.1）的通解；而就是满足初始条件当时，的特解。练习4 给定一阶微分方程 ,（1）求出它的通解；（2）求通过点（1，4）的特解。5）积分曲线和方向场定义5 一阶微分方程 （1.1.21）的解代表平面上的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线。而微分方程(1.1.21)的通解对应于平面上的一族曲线，我们称这族曲线为积分曲线族。满足初始条件的特解就是通过点的一条积分曲线。此外方程(1.1.21）的积分

15、曲线的每一点上的切线斜率刚好等于函数在这点的值，也就是说,积分曲线的每一点及这点上的切线斜率恒满足方程（1.1.21）；反之，如果在一条曲线每点上其切线斜率刚好等于函数在这点的值，则这一条曲线就是方程(1.1.21）的积分曲线。设函数的定义域为D。在每一点处画上一个小线段，其斜率等于。我们把带有这种直线段的区域称为由方程（1.1.21）规定的方向场。这样，求微分方程（1.1.21）经过点的曲线，就是在D内求一条经过的曲线，使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该点的方向相吻合。在方向场中， 方向相同的点的几何轨迹称为等斜线。 微分方程（1.1.21）的等斜线方程为 = 其中是参数。给出参数的一系

16、列充分接近的值，就可得足够密集的等斜线族，借此可以近似地作出微分方程（1.1.21）的积分曲线。当然，要想更精确地作出积分曲线，还必须进一步弄清楚积分曲线的极值点和拐点等。显然，极值点和拐点如果存在的话， 一般地， 它们将满足方程 =0及。例1 求解方程 。解 等斜线是双曲线。特别地当时双曲线退化为一对直线和，就是说，在轴和轴上积分曲线有相同的切线方向。进一步考虑积分曲线的极值点和拐点。为此， 令时得，在此双曲线上， 可见积分曲线在双曲线的一支（对应于）上取得极小值， 而在其另一支（对应于 ） 上达到极大。同样易知积分曲线的拐点位于曲线上。由以上分析,我们既可近似地画出积分曲线的分布概况如图（

17、1.4）。图(1.4)第二章 一阶微分方程的初等解法微分方程的一个中心问题是“求解”。但是，微分方程的求解问题通常并不是容易解决的。 本章将介绍一阶方程的初等解法， 即把微分方程的求解问题化为积分问题。一般的一阶方程是没有初等解法的，本章的任务就在于介绍若干能有初等解法的方程类型及其求解的一般方法，虽然这些类型是很有限的，但它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分。第一节 变量分离方程与变量变换2.1.1 变量分离方程定义1 形如 (2.1.1.1) 的方程， 称为变量分离方程， 这里分别是 ， 的连续函数。 例如，都是变量分离的方程，而莱布尼兹方程则不是。现在说明方程(2.1.1.1)

18、的求解方法。如果，我们可将 (2.1.1.1)改写成 这叫做分离变量。两边积分，得到所满足的隐函数方程 (2.1.1.2)（这里我们把积分常数明确写出来，而把分别理解为的某一个原函数。 如无特别声明， 以后也作这样的理解。）于是，对于任一常数，微分(2.1.1.2)的两边，就知(2.1.1.2)所确定的隐函数满足方程(2.1.1.1)。因而，(2.1.1.2)是(2.1.1.1)的通解。如果存在,使 =0,直接代入，可知也是(2.1.1.1)的解。可能它不包含在方程的通解(2.1.1.2)中，必须予以补上。例1 求解方程 。解 将变量分离，得到两边积分，即得 因而，通解为 这里是任意常数。或者

19、，解出，写出显函数形式的解 。例2 求解方程并求满足初始条件：的特解。解 分离变量得两边积分得因而，通解为 这里为任意常数。此外，方程还有解。 为了确定所求的特解，以代入通解中以决定任意常数，得到。因而，所求特解为 。例3 求方程 (2.1.1.3)的通解，其中是的连续函数。解 将变量分离，得到两边积分，即得 这里是任意常数。由对数定义，即有 即令，得到通解 (2.1.1.4)此外，显然也是方程的解。如果在(2.1.1.4)中允许，则也就包括在(2.1.1.4)中，因而，微分方程(2.1.1.3)的通解为(2.1.1.4)，其中为任意常数。2.1.2 可化为变量分离方程的类型这里只介绍二种简单

20、的情形：1）形如 (2.1.2.1) 的方程，称为齐次方程，这里是的连续函数。现在引进新的未知函数 (2.1.2.2)，即 ，于是 (2.1.2.3)将(2.1.2.2)、(2.1.2.3)代入 (2.1.2.1)，则原方程变为，整理后，得到 (2.1.2.4)方程(2.1.2.4)是一个变量分离方程。可改写为，再积分，得到在算出等式左边的积分后， 仍以 代替其中的， 即得方程(2.1.2.1)的通积分。但如果有实根，那末（i=1，2，k）都是丢掉的特解，应该补上。例 4求解方程 。解 这是齐次方程，以及代入，则原方程变为，即 (2.1.2.5)将上式分离变量，即有 ，两边积分，得到 这里是任

21、意常数整理后，得到 令，得到 (2.1.2.6) 此外，方程(2.1.2.5)还有解 即如果在(2.1.2.6)中允许,则也就包括在(2.1.2.6)中,这就是说，方程(2.1.2.5)的通解为(2.1.2.6)。代回原来的变量，得到原方程的通解为 （这里为任意常数）。例5 求解方程 。解 将方程改写为 ，可见它是齐次方程。以 及 代入， 则可得 或，积分以后化简，再以代入，最后得到通积分：。例6 求解方程解 将方程改写为这是齐次方程。以及代入，则原方程变为 (2.1.2.7)分离变量，得到两边积分，得到(2.1.2.7)的通解即(2.1.2.8)这里是任意常数。此外，方程(2.1.2.7)还

22、有解 此解并不包括在通解(2.1.2.8)中。代回原来的变量，即得原方程的通解 及解。顺带指出，我们也可将原方程的通解表为它定于整个负半轴上。2）形如 (2.1.2.9)的方程也可经变量变换化为变量分离方程。这里均为常数。我们分别三种情形来讨论：（1） 的情形。这时方程(2.1.2.9)属齐次方程，事实上，我们有因此，只要作变换，则方程就化为变量分离方程。（2），即的情形。设此比值为，即 = ，则方程可写成令，则方程化为，这是变量分离方程。（2）现讨论及不全为零的情形。这时方程(2.1.2.9)右端的分子、分母都是的一次式，因此 (2.1.2.10)代表平面上两条相交直线，设交点为。显然，或，

23、否则，即交点为坐标原点，那么必有，这正是情形（1）。从几何上知道要将所考虑的情形化为情形（1）只需进行坐标平移，将坐标原点移至就行了。事实上，若令 (2.1.2.11)则(2.1.2.10)化为从而(2.1.2.9)变为 (2.1.2.12)因此，我们得到这种情形求解的一般步骤如下：解联立代数方程(2.1.10),设其解为；作变换(2.1.11)将方程化为齐次方程(2.1.2.12)；再经变换将(2.1.2.12)化为变量分离方程；求解上述变量分离方程，最后代回原方程(2.1.2.9)的解。我们指出，上述解题的方法和步骤也适用于比方程(2.1.2.9)更一般的方程类型此外，诸如、以及（其中为的

24、齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程。例7 求解方程 (2.1.2.13)解 解方程组 得。令 代入方程(2.1.2.13),则有 (2.1.2.14)。这是齐次方程，解之得 。化回原来的变量，便得到方程的通解。2.1.3 应用举例例8 电容器的充电和放电如图(2.1)所示的电路,开始时电容上没有电荷，电容两端的电压为零。我们把开关合上“1”后，电池就对电容充电,电容C两端的电压逐渐升高。经过相当时间后,电容充电完毕，我们再把开关合上“2”，这时电容就开始放电过程。现在要求找出充、放电过程中，电容两端的电压随时间的变化规律。图(2.1)解 对于充电过

25、程，由闭合回路的基尔霍夫第二定律，有 (2.1.3.1)对电容充电时，电容上的电量逐渐增多，根据得到（2.1.3.2）将(2.1.3.2)代入(2.1.3.1)，得到满足的微分方程(2.1.3.3)这里、都是常数。方程(2.1.3.3)属于变量分离方程。将(2.1.3.3)分离变量，得到 两边积分，得到 即 这里为任意常数。将初始条件：时， =0代入，得到 所以 (2.1.3.4)这就是电路充电过程中电容C两端的电压的变化规律。由(2.1.3.4)知道,电压从零开始逐渐增大，且当时，见图（2.2）。 在电工学中，通常称为时间常数，当时， 就是说，经过的时间后，电容上的电压已达到外加电压的95%

26、。实用上，通常认为这时电容的充电过程已基本结束。易见充电结果。对于放电过程的讨论，可以类似地进行。图(2.2)例9 若有两种化学药品及互相作用而成化合物。 若已知每一个分子是由个分子及个分子所组成，而和各原有及个分子。今若化合成之速率是与及尚未起变化的量之乘积成正比，试求在时刻时的分子量。解 假定在时刻时，的分子量为，则在这个时刻已经用掉了个分子及个分子，故此时及尚未起变化者各有及。于是由题意得方程 ，其中为正的常数。由此分离变量即有为了计算左端这个积分，先假定，即。此时，。所以。因为当时，故，代入上式得。去分母，并化去对数，即可解出为。若，即。则因，故。所以，。于是由解出。 第二节 线性方程

27、与常数变易法 一阶线性微分方程 在的区间上可以写成 (2.2.1) 今后我们主要讨论形如(2.2.1)的方程，对于有零点的情形分别在的相应区间上讨论。这里假设在考虑的区间上是x的连续函数。 定义1 若，(2.2.1)变为 (2.2.2) (2.2.2)称为一阶齐线性方程。 若，(2.2.1)称为一阶非齐线性方程。 (2.2.2)是变量分离方程。我们在2.1例3中求得它的通解为 (2.2.3)这里是任意常数。 现在讨论非齐线性方程(2.2.1)的通解的求法。(2.2.1)不能用分离变量法求解，因此得想其他办法。不难看出，（2.2.2）是(2.2.1)的特殊情形，两者既有联系又有差别。因此可以设想

28、他们的解也应该有一定的联系而又有一定的差别。 下面试图利用方程(2.2.2)的通解(2.2.3)的形式去求出方程(2.2.1)的通解。显然，如果(2.2.3)中c恒保持为常数，它必不可能是(2.2.1)的解。我们设想：在(2.2.3)中，将常数变易为的待定函数,使它满足方程(2.2.1)，从而求出。为此，令 (2.2.4) 微分之，得到 = (2.2.5) 以(2.2.4)、(2.2.5)代入(2.2.1)，得到 = 即 积分后得到(2.2.6)这里是任意常数。 将(2.2.6)代入(2.2.4)，得到（） (2.2.7) 这就是方程(2.2.1)的通解。 这种将常数变易为待定函数的方法，我们

29、通常称为常数变易法。我们看到,常数变易法实际上是一种变量变换的方法,通过变换(2.2.4)可将方程(2.2.1)化为变量分离方程。它不但适用于一阶线性方程，而且也适用于高阶线性方程和线性方程组。 例1 求方程的通解，这里为常数。 解 将方程改写为 (2.2.8) 首先，求齐线性方程 =0的通解， 从 = 得到齐线性方程的通解。 其次，应用常数变易法求非齐线性方程的通解。为此，在上式中把看成的待定函数，即 (2.2.9) 微分之，得到 (2.2.10) 以(2.2.9)及(2.2.10)代入(2.2.8)，得到 积分之，求得 把求得的代入(2.2.9)，即得原方程的通解这里是任意常数。 例2 求

30、方程的通解。 解 本题不是线性方程，但不难经过代换化为线性方程。以乘以等式两边，再令，便得： 因此，由公式(2.2.7),得： 这里为任意常数。 练习1 求下列方程的解： 参考答案： 以上为任意常数。 不如例2这样明显，但亦可经过类似的变量代换化为线性方程的，是所谓伯努里（Bernoulli）方程：(2.2.11)这里为的连续函数，是常数。 利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程。事实上，对于，用乘(2.2.11)两边，得到 (2.2.12) 引入变量变换(2.2.13) 从而(2.2.14) 将(2.2.13)、(2.2.14)代入(2.2.12)，得到 (2.2.15) 这是线性方程，可按

31、上面介绍的方法求得它的通解，然后代回原来的变量,便得到(2.2.11)的通解。此外，当时,方程还有解。 例3 求方程的通解。 解 这是时的伯努利方程。令，算得 代入原方程得到 这是线性方程，求得它的通解为 代回原来的变量，得到，或者 这里为任意常数。这就是原方程的通解。此时，方程还有解。 例4 求方程 (2.2.16)的通解。 解 原方程不是未知函数的线性方程，但我们可将它改写为， 它是伯努利方程，故可用代换，把它化为线性方程： (2.2.17) (2.2.17)的通解是，从而(2.2.16)的通积分是：（2.2.18） 这里为任意常数。 练习2 求解下列方程： 参考答案： 以上为任意常数。

32、第三节 恰当方程与积分因子 2.3.1 恰当方程 下面将一阶方程写成微分形式或把平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程 (2.3.1.1) 这里假设在某矩形域内是的连续函数，且具有连续的一阶偏导数。 定义1 如果方程(2.3.1.1)的左端恰好是某个二元函数的全微分，即 (2.3.1.2) 则称(2.3.1.1)为恰当方程。 容易验证，(2.3.1.1)的通解就是 (2.3.1.3) 这里是任意常数。 这样，我们自然会提出如下问题： (1)如何判别(2.3.1.1)是恰当方程？ (2)如果(2.3.1.1)是恰当方程，如何求得函数？ 为了回答以上问题，我们首先察看，如果(2.3.1.1)

33、是恰当方程时，函数应该具有什么性质？ 从(2.3.1.2)得到 (2.3.1.4) 和 (2.3.1.5) 将(2.3.1.4)、(2.3.1.5)分别对求偏导数，得到。 由于的连续性，可得，故 (2.3.1.6) 因此，（2.3.1.6）是（2.3.1.1）为恰当方程的必要条件。现在证明(2.3.1.6)也是(2.3.1.1)为恰当方程的充分条件，或更进一步证明：如果方程(2.3.1.1)满足条件(2.3.1.6)，我们能找到函数，使它同时适合方程(2.3.1.4)和(2.3.1.5)。 接下来从关系式(2.3.1.2)出发,把看作参数,解这个方程,得到 (2.3.1.7) 这里是的任意可微

34、函数。我们现在来选择使同时满足(2.3.1.5)，即 由此 (2.3.1.8) 下面证明，(2.3.1.8)的右端与无关。为此只需证明(2.3.1.8)的右端对的偏导数恒等于零。事实上， = = = 0 由于在假设条件下，上述交换求导的顺序是允许的。于是(2.3.1.8)右端的确只含有，积分之，得到 = (2.3.1.9) 将(2.3.1.8)代入(2.3.1.7)，即求得 = + 因此，恰当方程(2.3.1.1)的通解就是 + = (2.3.1.10) 这里是任意常数。 例1 求的通解。 解 这里，这时，因此方程是恰当方程。 现在求，使它同时满足如下两个方程： = (2.3.1.11)， =

35、 (2.3.1.12) 由(2.3.1.11)对积分，得到 + (2.3.1.13) 为了确定，将(2.3.1.13)对求导数，并使它满足(2.3.1.12)，即得 = = ，于是 积分后可得，将代入(2.3.1.11)，得到 因此，方程的通解为这里是任意常数。 不过在判断方程是恰当方程后，并不需要按照上述一般方法来求解，而是采取“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分。这种方法要求熟记一些简单二元函数的全微分，如 现在试用这种方法求解下面例题。 例2 用“分项组合”的办法，求解例1。 解 把方程重新“分项组合”，得到 即 或者写成 于是方程的通解为 这里是

36、任意常数。 例3 求解方程。 解 因为，故方程是恰当方程。把方程重新“分项组合”，得到 即 或者写成 于是，方程的通解为 这里是任意常数。 2.3.2 积分因子 恰当方程可以通过积分求出它的通解。因此能否将一个非恰当方程化为恰当方程就有很大的意义。积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念。根据一阶微分的形式不变性，易见变量代换法在这里是无能为力的。 但是分离变量法却却可以推广而成为对方程(2.3.1.1)能够适用的积分因子法。 定义2 如果存在连续可微的函数，使得 为一恰当方程，即存在函数，使 (2.3.2.1) 则称为方程(2.3.1.1)的积分因子。 这时是(2.3.2.1)的通解。因而也

37、就是(2.3.1.1)的通解。由(2.3.1.14)看到，同一方程可以有不同的积分因子。可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的。因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因子不同从而通解可能具有不同的形式。 根据2.3.1，函数为(2.3.1.1)的积分因子的充要条件是即 (2.3.2.2) 这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程。对于一般的一次连续可微函数，虽然可证(2.3.2.2)的解一定存在，但要找出的表达式却不一定能办到。下面介绍几种常用的，求积分因子的简便方法。 I.当满足一定的条件时，(2.3.2.2)可化为常微分方程而求得其解。例如，对于方程(2.3.1.1

38、)，如果存在只与有关的积分因子，则，这时方程(2.3.2.2)变成 即 (2.3.2.3) 由此可知，方程（2.3.1.1）有只与有关的积分因子的充要条件是 (2.3.2.4)这里仅为的函数。假设条件(2.3.2.4)成立，则根据方程(2.3.2.3)，可以求得方程(2.3.1.1)的一个积分因子 (2.3.2.5) 同样，(2.3.1.1)有只与有关的积分因子的充要条件是 这里仅为的函数。从而求得方程(2.3.1.1)的一个积分因子。 例4 试用积分因子法解线性方程 (2.2.1) 解 把方程改写为 (2.3.2.6) 这时，算得， 因而，线性方程有只与有关的积分因子。 以乘(2.3.2.5

39、)得到 即 或者写成 因此，(2.3.2.6)的通解为 或者改写为 这与前面得到的结果(2.2.7)完全一样。 II 分组求积分因子法 设将方程(2.3.1.1)的左端分成两组，即写成： 并已找出两组分别各有积分因子，使得： （）= ，（）= 设，分别是，的任一可微函数，则是第一组的积分因子，是第二组的积分因子。如果能找到适当的可微函数，使得 = = ，那末也就是原方程(2.3.1.1)的积分因子了。 例5 求解方程。 解 把方程改写为。前一组有积分因子 和通积分 ，因而它有更一般的积分因子。后面一组显见有积分因子和通积分，因而有更一般的积分因子。 为了使关系式 = ，只须取= = ， = 。

40、这样，可知原方程有积分因子，且： = = + =0 积分，即得： = 这里C为任意常数。 此外，原方程还有解和，它们是在用乘方程的两端时丢掉的。 III 观察法。为此，需要熟记象(2.3.1.14)中那些微分公式。 例6 求解方程 1）；2）。 解 不难看出，这两个方程分别有积分因子和，因为: ， 由此积分，立刻得到两方程的通积分为：和 这里C为任意常数。 例7 求解方程。 解 这里，方程不是恰当方程。 方法1 因为只与有关，故方程有只与有关的积分因子，以乘方程两边，得到， 或者写成，因而，通解为这里为任意常数。 方法2 将方程改写为，则左端有积分因子或，但考虑到右端只与有关，故取为方程的积分

41、因子，由此得到，因此，通解为这里为任意常数。 方法3 方程可以写为 ，这是齐次方程，令，代入得到 即，因此，通解为，代回原来的变量，即得这里为任意常数。 方法4 把看作未知变量，看作自变量，方程变为线性方程，同样解得 这里为任意常数。此外，易见也是原方程的解。 第四节一阶隐方程与参数表示 一阶隐微分方程的一般形式可表示为： 如果能从此方程中解出导数，其表达式为，则可依的具体形状如何而选择前面所讲的某一方法进行求解。 但如果难以从方程中解出，或即使解出，而其表达式相当复杂的情况下，则宜采用引进参数的办法使之变为导数已解出的方程的类型，这正是本节讨论的主要思想。这里主要介绍以下四种类型： 1），2

42、），3），4） 2.4.1 可以解出（或）的方程 1）讨论形如 (2.4.1.1) 的方程的解法，这里假设函数有连续的偏导数。 引进参数，则(2.4.1.1)变为(2.4.1.2)将(2.4.1.2)两边对求导数，并以代入，得到(2.4.1.3)方程(2.4.1.3)是关于的一阶微分方程，但它的导数已解出。于是我们可以按前面讲的方法求出它的解。 若已求得(2.4.1.3)的通解形式为,将它代入(2.4.1.2),得到，这就是(2.4.1.1)的通解。 若求得(2.4.1.3)的通解形式为，则得到(2.4.1.1)的参数形式的通解为，其中是参数，是任意常数。 若求得(2.4.1.3)的通解形式为

43、，则得到(2.4.1.1)的参数形式的通解为，其中是参数,是任意常数。 例1 求方程的解。 解 令，则 (2.4.1.4) 两端对求导数并以代替，得到， 或（）（）=0。 从 =0解得，将它代入(2.4.1.4),得到原方程的通解 (2.4.1.5) 从解得，以此代入(2.4.1.4)，又得原方程的一个特解(2.4.1.6),此解称为奇解。奇解的概念将在下一章给出。 例2 求方程的解。 解 解出，并令，得到 (2.4.1.7) 两边对求导数，得到 即 当时，上式乘以，得到 积分之，注意到中间一项为，得到 解出，得到，以此代入(2.4.1.6)，即得。 因此，得到方程的参数形式的通解为 当时，由(2.4.1.6)直接推知也是方程的解。 2）形如 (2.4.1.8) 的方程的求解方法与方程(2.4.1.1)的求解方法完全类似。这里假定函数 有连续偏导数。 引进参数，则(2.4.1.8)变为 (2.4.1.9) 将(2.4.1.9)两边对求导数，并以代入，得到 (2.4.1.10) 方程(2.4.1.10)是关