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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章 从自然数到有理数1.1从自然数到分数l 知识点1.自然数：注意（1）0是最小的自然数，它表示没有，不要遗漏。（2）表示不同作用的数有不同的性质，表示计数和测量的数可以进行数的运算，而表示标号或排序的数有时有指代作用，即对事物起区别作用，一般不能进行计算，这也是区别数的表示作用的重要性。剖析用于计数和测量的数往往与量词相连，而用于标号和排序的数往往与顺序有关，在阅读是应特别注意体会这一点。l 知识点2.分数：注意(1)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看做分数。（2）百分数是分母为100的分数
2、，它是分数的特殊形式。l 知识点3.数的运算（1）数的加、减、乘、除运算顺序：先乘除，后加减，有括号先做括号内的；（2）加法、乘法的运算律：交换律、结合律、乘法分配律。注意（1）领悟加、减、乘、除的意义。（2）明确混合计算的运算顺序，（a）同级运算从左至右依次计算，(b)不同级先乘除后加减，括号内优先。（3）灵活掌握能运用运算律进行的简便运算。1.2有理数l 知识点1正数和负数的定义：1、像4，3，1/2，350等比0大的数叫做正数。2、像-5，-3，-1/2，-350等在正数前面加上-号的数叫做负数，负数比0小。（3）零既不是正数也不是负数。l 知识点2相反意义的量：注意用正数、负数表示相反
3、意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯上把前进、上升、收入等规定为正，而把后退、下降、支出等规定为负。剖析对负数表示的意义的正确理解是解答此类问题的关键。引入负数的意义之一，就是为了用简单的数学符号“+或“-”号来表示具有相反意义的量。l 知识点3有理数的概念及分数（1）有理数的概念：整数和分数统称为有理数。（a）整数包括正整数、零、负整数，例如3，5，6，0.-4，-5.-7等。(b)分数包括正分数和负分数，例如1/2，5/3，-3/7等。（2）有理数的分类(a)按整数和分数分类： (b)a按正数、零、负数分类：正整数整数 零 正整数 正有理数正分数有理数 负整数 有理数 零 负
4、整数正分数 负有理数分数 负分数负分数注意（1）分类时，一定药注意零所属的数集。（2）有理数的分类标准不一样，结果也相应地发生变化。（3）因为有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以都属于分数，即属于有理数。（4）习惯上将正有理数和零称为非负有理数；将负有理数和零称为非正有理数；将正整数和零有称为非负整数；将负整数和零有称为非正整数。剖析：在有理数分类中，注意分类的标准，即注意正数是相对负数而言的，整数是相对分数而言的；分数和有限小数、无限循环小数的实质是相同的，都是分数。1.3数轴知识点1数轴的概念及画法（1） 概念：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。（2） 画法：省略。注意：数
5、轴的定义包含三层含义：（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸，（2）数轴有三要素原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。（3）原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”。剖析：画数轴时易出现的错误：（1）三要素不全。（2）单位长度不统一。（3）未画成直线。（4）将正数标在原点的左边，负数标在原点右边。（5）标负数时丢掉负号。知识点2有理数与数轴上的点的关系注意：所有的有理数都可以用数轴上的点赖表示，但不能说数轴上的点都表示有理数，数轴上的点还可以无理数，这一点我们以后会学到。剖析：（1）在数轴上画一个数所对应的点时，常把点画成一个实心圆点，以免与刻度线相互混要。（2
6、）单位长度的选取药合适，数轴的整体效果尽量美观大方。知识点3相反数的概念（1） 相反数的代数定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。（2） 相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。剖析：求某个式子的相反数时必须在整个式子前加上括号，即a+b的相反数为-（a+b）。1.4绝对值知识点1绝对值的几何意义及表示方法（1） 概念：在数轴上，一个数所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。（2） 表示方法：数a的绝对值记作a.注意：（1）绝对值最小的数是0.（2）互为相反
7、数的两个数的绝对值相等。（3）绝对值相等的两个数可能相等也可能互为相反数。（4）绝对值等于一个正数的数有两个，且它们互为相反数。剖析：在数轴上找到与原点的距离等于这个数的点是解题关键。知识点2绝对值的代数定义 一般地，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。互为相反数的两个数的绝对值相等。绝对值的代数定义，用式子可以表示为：a=a(a0)或0（a=0）或-a（a0）。剖析：求一个数的绝对值有两种方法：（1）根据几何定义画数轴，利用它到原点的距离来求；（2）判断已知数的正、负或0，根据代数定义来求。1.5有理数的大小比较知识点1利用数轴比较有理数的大小（1） 在数
8、轴上本身的两个数，右边的数总比左边的数大（2） 正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。知识点2利用绝对值比较两数的大小 两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。注意：（1）用绝对值的方法比较两数大小；比用数轴的方法简便些，但对几个数进行大小排序，用画数轴的方法更简便些。（2）异号两数比较大小，正数大于负数。（3）同0比较，正数大于0，负数小于0。剖析：（1）比较异分母的负分数的绝对值时，要注意通分。（2）在比较两个负数大小时，最终结果是比较这两个负数的大小，而不是比较其绝对值的大小。第二章有理数的运算2.1有理数的加法知识点1有理数的加法法则：（1）、同号两
9、数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。（2）、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。（3）、互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，乃得这个数。注意：两个有理数相加所得的和，由符号和绝对值两部分组成，因此，应用加法法则进行运算时，常按下面的步骤进行：a、判断两个加数的符号，由法则确定和的符号；b、确定两个加数的绝对值，再由法则确定和的绝对值。剖析：运用有理数加法法则进行运算时，一般要遵守以下三步：第一步，观察两个数的符号是同号还是异号；第二部，确定使用哪条法则；第三步，求出结果。知识点2有理数的加法运算律（1） 加法交换律：两个数相加
10、，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a（2） 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=a+(b+c)注意：（1）加法交换律和结合律中的“两个数”和“三个数”是个概数，对两个以上或三个以上也适用。（2）结合律的结合原理：a能凑成和为0的n个数先结合；b能凑成和为整数的n个分数或小数先结合。剖析：多个有理数相加时，为了使运算简便，通常有下列规律：（1）互为相反数的两个数，可以先相加，（2）符号相同的数可以先相加。（3）分母相同的数可以先相加。（4）几个数相加能得到整数的可以先相加。2.2有理数的减法知识点1有理数的减法法则减去一个数，等于加上这个数
11、的相反数，用字母表示该法则为：a-b=a+(-b).其中a、b表示任意有理数，即a、b既可以是正数，也可以是负数和0。注意：（1）进行有理数的减法运算有两个步骤：第一步，将减号变成加号，把减数的相反数变成加数。第二步，进行有理数加法运算，特别注意在第一步中将有理数减法“转化”为加法时，要同时改变两个符号：a运算符号由“-”号变为“+”号；b改变减数的性质符号。（2）减数与被减数不能互换，即减法没有交换律。剖析：有理数的减法体现了转化的思想，把未知的问题转化为已知的问题赖解决，以上三题就是把有理数的减法利用减法法则转化为有理数的加法来进行计算。知识点2代数和几个正数和负数的和称为代数和。代数和一
12、般用省略加号、括号的和的形式来表示，因为m-n=m+(-n),所以可将m-n看做m和-n的代数和，即m+(-n)形式省略加号和括号，写成m-n的形式。知识点3有理数的加减混合运算有理数的加减混合运算可统一为加法运算。它的运算方法和步骤如下：（1）利用有理数减法法则将减法统一成加法；（2）省略各加数的括号和它前面的加号；（3）运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。注意：（1）每个数字前面的符号都是这个数字的性质符号，因此在交换加数的位置时，一定要连同符号一起交换。（2）计算如果需要添括号，一定要连同加数前面的符号一起括进括号内，并将原来省略的符号还原。23有理数的乘法知识点1有理数的乘法
13、法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零想乘，积为零。注意：（1）计算有理数的乘法时常分两步进行：第一步，确定积的符号；第二步确定积的绝对值由于绝对值总是非负数，因此有理数的乘法实质上是通过符号法则，归纳为算术的乘法来完成的。（2）有理数乘法法则中“同号得正，异号得负”是专指“两数相乘”的情况。知识点2有理数乘法法则的推广（1） 几个不为零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。（2） 几个数相乘，有一个因数为零，则积为零。剖析：三个或三个以上的非零有理数相乘，关键是数准负因数的个数，从而正确确定积的符号。知识点3互
14、为倒数的概念若两个有理数的乘积为1，则称这两个有理数互为倒数注意：（1）互为倒数的数是成对出现的，并且符号相同，若a、b互为倒数，则ab=1。（2）0没有倒数，（3）倒数等于其本身的数是1和-1。剖析：（1）整数求倒数时把整数看成分母为1的分数，然后将分子、分母颠倒位置即可；（2）小数求倒数时首先将其化成分数，然后分子、分母颠倒位置；（3）带分母求倒数时，先把带分数化成假分数，然后分子、分母颠倒位置。知识点4有理数乘法的运算律乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 ab=ba 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 (ab)c=a(bc) 分配律：一
15、个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 a(b+c)=ab+ac注意：乘法分配律可以推广:a(b+c+d+e)=ab+ac+ad+ae;乘法分配律还可以逆用：ab+ac=a(b+c) 剖析：(1)利用乘法交换律和结合律简便运算时，弄清哪几个数结合能达到简便计算的效果是解题的关键所在。（2）当算式为一些乘积的和或差的形式，且各乘积中含有相同因数时，可逆用乘法分配律。2.4有理数的除法知识点1有理数除法法则（一） 两个不为零的有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个非零的数都得零。注意：（1）0不能做除数。（2）有理数的除法法则（一）与有理数的乘法
16、法则和加法法则类似，也是先确定符号，后确定绝对值。剖析：运用有理数除法法则（一）进行运算时，一般要遵循以下两步：第一步确定符号；第二步把绝对值相除。知识点2有理数除法法则（二）除以一个数（不等于零）等于乘以这个数的倒数，即ab=a1/b(b0)。注意：有理数的除法法则（二）与有理数的减法法则相类似都是运用了转化思想，是把除法“转化”为乘法来进行运算的。剖析：对于除法的两个法则，计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（二）较简便；而在能整除的情况下通常选用法则（一）。知识点3有理数的乘除混合运算运算顺序：按从左到右依次计算。注意：有理数的乘除混合运算往往将除法统一转化为乘法进行
17、计算，便可按多个因数相乘，适当地运用运算律简便计算。剖析：乘法和除法的混合运算，药注意的问题是符号和顺序，出现带分数时要化成假分数。2.5有理数的乘方知识点1乘方的意义求几个相同因数的积的运算叫做乘方。一般地，把n个相同的因数a相乘的积记作a ,即aaaa=a ？,乘方的结果a叫做幂，在a？ 中，a叫做底数，n叫做指数。剖析：从乘方的意义入手，找准幂的底数和指数，有几个相同的底数指数就是几，底数是负数或分数时，注意括号的使用。知识点2乘方的符号法则及其与乘除的混合运算（1） 乘方的符号法则：a、正数的任何次幂都是正数；b、负数的奇次幂是负数；c、任何数的偶次幂是非负数，即a0（n为偶数）。（2
18、） 乘除和乘方的混合运算：对于乘、除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除，如果遇到括号，就先进行括号里面的运算。剖析：（1）负号属于底数时，根据符号法则确定符号；不属于底数时，负号与乘方无关。（2）底数若为小数，通常先将小数转化为分数（假分数），再计算。知识点3科学记数发一般地，把一个数表示成a与10的幂相乘的形式，其中1a10,叫做科学记数法。用科学记数法表示较大的数时，先确定a10？形式中a的值。a是整数位数只有一位数；再确定10？中n的大小，n是比原数的整数位数少1的数。2.6有理数的混合运算知识点1有理数混合运算的法则有理数的混合运算是指一个算式里含有加、减、乘、除、乘方运算中两种或
19、两种以上的运算。其运算法则是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先进行括号内的。剖析：在进行有理数的混合运算时，药根据题目的特点对法则的使用作出适当的选择，避免盲目性和机械性。2.7准确数和近似数知识点1准确数与近似数（1）、准确数：与实际完全符合的数称为准确数。（2）、近似数：能在一定程度上反映被考查量的大小，与实际接近的数称为近似数。剖析：近似数一般是测量和估计等方法得到的，而准确数可以准确无误地数出来。知识点2精确度和有效数字（1）、一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，精确度是指近似数与准确数的接近程度。（2）、对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，
20、到末位数字为止的所有的数字，都叫做这个数的有效数字。注意：（1）近似数的精确度有两种形式：a、精确到某一数位；b、保留几个有效数字。（2）对于科学记数法表示的一个数，要写回原数才能指出它是精确到哪一位，对于a10?来说，a中最后一个数字在写回原数后，位于哪一位，我们就说这个数精确到哪一位。剖析：四舍五入法取近似值，可分两步：（1）找到要精确到的数位；（2）对这一位数字的下一位进行四舍五入，特别注意当一个绝对值较大的数精确到个位以上时，可先把这个数写成科学记数法的形式，然后按上述步骤取近似值即可。2.8计算器的使用（省略）第三章实数3.1平方根知识点1平方根（1） 概念：一般地，如果一个数的平方
21、等于a,那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。（2） 性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（3） 表示：一个正数a的正平方根用“a”表示（读作根号a）;a的负平方根用“-a”表示（读作“负根号a”），因此，一个正数a的平方根就用“a”表示（读作正、负根号a）其中a叫做被开方根。（4） 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方。剖析：判断一个数有没有平方根，就是确定该数的性质符号（是正数、负数或零）。知识点2算术平方根 正数的正平方根和零的平方根。统称为算术平方根。一个数a（a0）的算术平方根记做“a”.0的算术平方根为0。注意：（1）算术平
22、方根a有双重非负性；被开方数数非负数，即a0;算术平方根本身是非负数，即a0.（2）一个数的算术平方根只有一个。3.2实数知识点1无理数无限不循环小数叫做无理数。注意：判断一个数是否是无理数时，就要看它是否满足定义中的三个条件：（1）小数；（2）无限；（3）不循环；以上三个条件缺一不可，和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。剖析：常见无理数有三种表现形式：（1）圆周率及一些含有的数；（2）含根号且不能化简的数；（3）有一定的规律，但不循环的无限小数。知识点2实数的定义及分类(1) 概念：有理数和无理数统称为实数。(2) 分类：按实数的定义或性质可以对实数进行分类 正整数 整数 0 有
23、理数 负整数 正分数分数 有限小数或无限循环小数 负分数按定义分类：实数 无理数 无限不循环小数 正整数 正有理数 正实数 正分数 正无理数按性质分类：实数 0 负整数 负有理数 负分数 负实数 负无理数（3）实数和数轴上的点一 一对应。知识点3实数与数轴上的点的关系（1） 实数与数轴上点的对应关系：在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来。数轴上的每一个点都表示一个实数。（2） 利用数轴上比较两个实数大小：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。注意：实数比较大小十，也可以用：正实数大于零，零大于负实数；正实数大于一切负实数；两个负实数。绝对值大的反而小的原则。3.3
24、立方根知识点立方根（1） 概念：一般地，一个数的立方等于a，这个数叫做a的立方根，也叫做a的三次方根。（2） 表示：读作“三次根号”。（3） 性质：由一个正数的立方还是一个正数；0的立方乃是0；负数的立方还是一个负数。（4） 开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。 注意：（1）任意实数都有立方根，(2)开立方与立方互为逆运算。（3）a的根指数2可以省略，即写成a,但a中的根指数3不能省略，要写在根号的左上角。（4）立方根等于它本身的数有三个,它们分别是1，0，-1.（5）开立方的结果是唯一的。 剖析：（1）求一个数的立方根，实质是利用立方运算来求得，因此熟记常见简单数的立方。便于快速解
25、决此类题目。（2）任何数的立方根有且只有一个。（3）一个数a的立方根 a与a的符号相同。3.4用计算器进行数的开方（省略）3.5实数的运算知识点实数的混合运算 实数混合运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算。第四章一元一次方程5.1一元一次方程1、方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次这样的方程叫做一元一次方程。2、使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。等式的两个性质：（1）。等式的两边都加上或减去同一个数或式，所得结果仍是等式。（2）。等式的两边都加上或减去同一个数或式，所得结果仍是等式。都乘以或都除以同一个不为零
26、的数或式，所得结果仍是等式。 利用等式的两个性质可以解一元一次方程。5.2一元一次方程的解法1、一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。去分母、去括号、移项、合并同类项等都是方程变形的常用方法，但必须注意，移项和去分母的依据是等式的性质，而去括号和合并同类项的依据是代数式的运算法则。一般地，解一元一次方程的基本程序是：去分母去括号移项合并同类项两边同除以未知数的系数5.3一元一次方程的应用运用方程解决实际问题的一般过程是：（1） 审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。（2） 设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如）。（3） 列方程：根据相等关系列出方程。
27、（4） 解方程：求出未知数的值。（5） 检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。路程、速度、时间关系见书p114.一元一次方程来解决有关利率等的实际问题本金利率=利息（但利率要考虑时间）叶就是本金利率时间=利息利息税率=利息税本金利息利息税=实际本利和=本金+利息（1税率）5.4问题解决的基本步骤学习的目的之一是运用知识和技能去解决问题，在解决问题时，通常按下面的四个步骤来进行：（1）、理解问题。弄清问题的意思，以及问题中涉及的术语、词语的含义；分清问题中的条件和要求的结论等。（2）、制定计划。在理解问题的基础上，运用有关的数学知识和方法拟定出解决问题的思路和方案。（3）、执行计
28、划。把已制定的计划具体地进行实施。（4）、回顾。对整个解题过程进行必要的检查和反思，也包括检验得到的答案是否符合问题的实际，思考对原来的解决进行或尝试用不同的方法，进行举一反三等。第六章数据的收集与整理6.1数据的收集与整理数据收集可以通过直接观察、测量、调查和实验等手段得到（直接途径），也可以通过查阅文献资料、使用互联网查询等间接途径得到（间接途径）。将数据分类、排序是整理数据的常用方法。分组、编码可以将原来数量繁多、无序的数据简化、有序化。将数据分组、编码也是整理数据的一种重要方法。6.2统计表数据经整理后进一步使之表格化，便形成统计表，统计表主要由标题（统计表的名称）、标目（例如“污染指
29、数（w）”）6.3条形统计图和折线统计图把数据和数据的变化用图形直观、生动地表示出来。常用的统计图：条形统计图和折线统计图。条形统计图一般由两条互相垂直的数轴和若干长方形组成，两条数轴分别表示两个不同的标目，长方形的高表示其中一个标目的数据。折线统计图在反映数据变化的走向，以及同时反映若干组不同类别数据之间的相互关系方面尤为见长。绘制折线统计图的一般步骤是：（1）。画出横、纵两条互相垂直的数轴（有时不画箭头）。分别表示两个标目的数据。（2）。根据横、纵各个方向上的各对对应的标目数据花点。（3）。用线段依次把每相邻两点连结起来，在同一个统计图中，反映不同类别数据的折线要用不同的图标把它们区分开来
30、。6.4扇形统计图用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图。扇形统计图的特点是能直观地、生动地反映各部分在总体中所占的比例。绘制扇形统计图的一般步骤是：1. 画一个圆。2. 按各组成部分所占的比例算出各个扇形的圆心角的度数。3. 根据算得的各圆心角的度数，画出各个扇形，并注明相应的百分比。各成分的名称可以注在图上，也可以用图例表明。第七章图形的初步知识7.1几何图形点、线、面、体这些基本图形可帮助人们有效地刻画错综复杂的现实世界，它们都称为几何图形。图形所表示的各个部分不在同一个平面内，这样的图形称为立体图形。另外，如直线、射线、角、三角形、平行四边形、梯形和圆也都是
31、几何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一个平面内，称为平面图形。7.2线段、射线和直线直线有下面的基本性质：经过两点有且只有一条直线7.3线段的长短比较线段有下面的性质： 在所有连结两点的线中，线段最短，简单地说，两点之间线段最短。连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离。7.4角与角的度量角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做这个角的顶点。角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。7.5角的大小比较等于90的角是直角，小于直角的角是锐角。大于直角而小于平角的角是钝角。从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成
32、两个相等的角，这个射线叫做这个角的平分线7.6余角和补角如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余。也可以说其中一个角是另一个角的余角。如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补。也可以说其中一个角是另一个角的补角。同角或等角的余角相等。同角或等角的补角相等。7.7相交线如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交。该公共点叫做这两条直线的交点相对的任何一对角叫做对顶角。对顶角的性质：对顶角相等当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们就说这立体图直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。一般地，在同一平面内，过一点专心-专注-专业