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1、精选优质文档-倾情为你奉上声波在非均匀介质中的传播摘要：运用声波传播的基本理论以及数理知识推导出理想介质中声波的三个基本方程，将其应用在理想均匀介质中得出小振幅声波传播的波动方程，应用以上知识获得非均匀介质中的波动方程，给出它的几种解析解的形式并推其解非解析解的求解方法和需要考虑的因素。使用有限元法来构建声波在一维非均匀介质中传播的模型，推测求解思路和方程解的方法（只分析较为简单的情况，给出解析式进行分析即可。)关键词：波动方程；有限元法；非均匀介质 1 绪论1.1 声的基本概念声，一般是指人耳能够感受得到的空气的振动，就是人耳能够听得到的声音。而人耳可以感受到频率为20Hz 20000Hz，
2、超过这个频率的为超声波，低于的则为次声波。 声波的传播也是能量的传播，遵循能量守恒定律。声波是机械波，有机械波所有的性质，声波以机械波的方式向四周放射能量，依靠介质传递能量，所以，声波不能在真空中传播。声波为机械波，分横波与纵波两种。依据引起介质质点振动的振源的不同，声可分为气动声和机械声两种。物体在流体中运动或流体流动引起流体振动产生的声即为气动声，而机械结构振动产生的声则为机械声。由于声波依靠介质传播，所以介质的温度，密度等的变化都将会影响声波的传播。声波是波的一种，它有所有的波都通有的折射，反射，干涉，衍射，散射等性质。 1.2 声波的应用 声波在非均匀介质中的传播在许多领域有着十分重要
3、的应用。如：利用声波的散射性原理，研究的超声造影剂可以很大程度提高超声波图像的清晰度与对比度，在超声波呈像诊断中有极大的研究价值；研究声波在非均匀介质中的传播性质和规律对探讨火山内的地振声学具有巨大价值。此外还有声波测距，声波测速，声波检漏，声波清灰，声波除噪（隔离噪音），水声网络（水下通信网和陆地通信网连接起来，形成覆盖全球的立体信息网）.2 声波传播的基本理论2.1 理想流体中小振幅波的基本理论2.1.1 基本理论 声振动中满足：质量是一定的，它不会无缘由的消失或增加；有力的存在就会有 为了简化流体里声波比较复杂的传播,我们对其进行如下假设：l 介质是理想流体；l 在无声扰动的情况下，媒质
4、在微观上是运动的；l 声波传播时，媒质是绝热的；l 其变量都很小可以不予考虑。基于以上四个假设，我们推导出来的运动方程是线性的。2.1.2基本方程1.运动方程： 图一声场中介质的作用力示意图 我们取一形状规则的微小范围， 如图一，它的体积是(是其侧面积)，因声压随着的改变产生变化,所以其左侧上面受到的力和在右侧上面受到的力是不等，那么就会有一个合外力使质点沿合外力方向运动。当声波通过时，左侧受到的压强是，其所受力是： （2-1-1）的方向是沿x正方向的；规则范围右侧的压强是，其中是从变为之后的变化量，因此规则范围右侧受力为： （2-1-2）向沿负方向；因不随着的改变而改变，所以作用在该规则范围
5、上的合外力沿方向为： （2-1-3）这个小规则范围质量是，因为有，它获得一个轴向的加速度是，由此按照牛二定律有 ： （2-1-4）整理后可得： （2-1-5）此即为有声扰动时的媒质运动方程，描述的是声场里质点速度和压强之间的关系。2.连续性方程：图二媒质中质量分布情况图 连续性方程实质上就是质量守恒定律，是指同样时刻里流出与流进这个体积元的质量的差值就是它减少或者增长的质量。如上图二所示，取一个很小的规则的范围其体积为，假若在其左面处质点的速度是，密度是，那么同样时刻里通过左面流入的质量应为，而通过右面所流出的质量是，负号代表的是流出。取它的泰勒展开式的一级近似。由此得到单位时刻里纯流进的质量
6、是(、是关于的函数，以下式子皆不再标注下角标 )。如此体积没变而质量增长了，这表明增加了，我们可以假设单位时刻的增多量是，那么可以求得质量增量是。因为体积元内的质量不会无缘由的增长或消逝，因而单元时刻内微小规则范围内增长的就是纯流进其内的，即： （2-1-6）整理后可得： （2-1-7）这即是声场中媒质的连续性方程，描述的是媒质质点的速度和密度之间的关系。3.物态方程： 当有声波通过时，小规则范围内的密度、压强、温度就会产生改变，且改变是彼此联系的，介质的如此情况的变化规律我们能够用热力学状态方程来表述。因为热传导远远比声波传播使体积改变慢，所以能够把这个过程看做是绝热的，热力学状态方程来表述
7、介质的这个情况。如此可以认为仅是的函数，即: （2-1-8）所以因为声扰动导致的和的微小增加量都适用于下面的式子： （2-1-9） 下标“”表示绝热过程。 因为和的改变方向一样，所以当把介质压缩时，那么和都增大，即，；而膨胀时，和都减小，即 ，。所以系数恒大于零，用表示，即： （2-1-10）此为理想流体介质中有声扰动的物态方程，描述的是声场里压强的微小变量与密度的微小变量的关系。2.1.3小振幅声波的一维波动方程考虑到方程中各个声学量是非线性的关系，因而不能用消掉一些方程中的一些物理量的方法来获得只有一个参量的声波方程。考虑到我们作的假设声波振幅很小，其的各个变量都随着时间、位置的改变引起的
8、变改变皆是微小量，其平方项以上的微量就更是微量了，这样的话就能够忽视，如此即能化简基本方程了。（1）运动方程 已知媒质运动方程为： （2-1-5） （2-1-11）因为还是个变量，而质点的加速度是，因为质点的速度跟着时间改变而得到的本地加速度为；由于质点移动一段距离后，速度因跟着位置的改变获得的迁移加速度是，因此得到简化方程：（2）连续性方程 已知媒质的连续性方程为： （2-1-7）因，是无声扰动时介质的静态密度，它不跟着时刻和位置的改变而改变，把代入上式，略去微量即得简化的方程： （2-1-12）（3）物态方程已知媒质的物态方程 （2-1-10）中的系数，一般来说并不是常数，可能是或者的函数
9、。但是因为其为小振幅声波相对很小忽略它的二次及以上的微量，然后在平衡态附近展开如下： （2-1-13）则有 ，可见对小幅振波近似常数。 通过近似后，我们思虑对声波里压强的微分就是声压，那么同样的其密度微分就是密度增量，那么物态方程可化简为以下形式： （2-1-14） 简化后方程如下： （2-1-11） （2-1-12） （2-1-14） 由上述方程组都是线性的，可消去、中随便俩，比方将（2-1-14） 对求导后代入（2-1-12）得 ： （2-1-15）将上式对求导得： （2-1-16）代入（2-1-11）得： （2-1-17）这即为均匀理想流体介质中小振幅声波的波动方程。2.2非均匀介质中的
10、波动方程2.2.1非均匀介质中的波动形式 声波在非均匀介质中传播时，因为介质的密度，压强，温度和声速随着空间位置的改变而改变的性质就是介质的非均匀性。例：水中的温度随深度的加深而改变,那么水的密度是空间位置的函数。根据前面的知识,能够推出非均匀媒质中的波动方程： （2-2-1）若上式中密度与声速全部都是常数,那么可已得出赫姆霍兹方程: （2-2-2） 介质的非均匀性大部分可以反映在温差上,由介质的和可以表示成如下形式： （2-2-3） （2-2-4） 对任意非均匀媒质，已知它的温度场在空间及时间上的分布，再由方程理论上获得在空间的分布。经探究得知，仅有极少部分的温度分布能够知道到在空间分布的解
11、析形式,大多数情况都仅能够获得数值解。2.2.2几种解析解的形式 声波在不均匀媒质中传播的波动方程的另外一种形式为: （2-2-5）式中为声速，为介质密度。由上式和声波强度式可得声波因的改变导致的改变很小。实际的使用中，随而变化。假设沿轴方向传播变化，也就是说 那么赫姆霍兹方程则成为： （2-2-6）上式中 （2-2-7）声压垂直于传播方向的平面内只存在相位上的变化,即声压可写成下面的形式： （2-2-8） 当介质的密度仅在一个方向上发生改变时,声波方程写为： （2-2-9）式中 （为实数） （2-2-10）引入变量，令 （2-2-11）代入（2-2-6）中得： （2-2-12）上式中： （2
12、-2-13） 由求偏微分方程的原理知, 是常数时，（2-2-12）有解析解，即： （2-2-14）上面式子里的常数能是负数、零、正数。我们来探究在不一样的前提下方程的解析解的几种形式。1）当 令可得（2-2-6）的解为： （2-2-15）式中，是常数，是由前提条件确定的，我们可知在解析解的形式为： （2-2-16）其中 （2-2-17）2） 当时， 一样可得方程（2-2-6）的解为： （2-2-18）上式中、为随便一个常数，那么我们可得到解析解的形式是为： （2-2-19） 当时，传播越远，声压减少，而当时，相反的情景在实真实情景中并不存在。3）当 令方程（2-2-6）的解为： （2-2-19
13、）上式中可以是任意常数，当非常小时，密度的分布类似于函数，当较大时，密度的分布类似函数。 声波在非均匀介质中传播情况较复杂，综上所述，只有当密度或温度的变化形式和给定的情形吻合时,才可以得到声压最终分布的解析解。然而实际情况中密度或温度分的布是比较复杂多变的，所以大多数情况下我们是很难得到非均匀介质下声波方程的解析解的。3声波在一维非均匀介质中的传播模型的分析与讨论 实际应用中经常遭遇声波在非均均匀质中传播的情况,但是由于其求解问题的复杂性,我们从最简单的一维模型出发,研讨声波在非均匀介质中的传播的性质。3.1有限元法的基本理论有限元法是一种高效、常用的数值分析方法，同时也是一种非常受欢迎，应
14、用广泛的数值分析技术。其曾经的原理是变分原理。自1969年以来，一些学者将最小二乘法或迦辽金法在流体力学里面使用，竟然也得到了有限元方程，所以有限元法在任意微分方程描绘的任意物理场中全部适用。基本思想：有限元法分析（Finite Element Analysis）的基础思想即：用简易问题替代疑难复杂问题后求解，由解泊松方程化为解泛函的极值的问题。基本原理：将求解范围分成若干形状规则的小范围，小范围之间互相依靠边缘相连形成一个组合求解范围中要求的待知场函数用每个小范围假设的近似函数分块的表示。每一个小范围的简单场函数的集合就可以近似的表示连续范围的场函数，通过加权余量法或变分原理就可创立有关待定
15、未知量的代数或常微分方程组，运用数值分析法，就可得问题的结果。 有限元处理问题的优势：能够分析形状复杂的结构；能够处理复杂的边界条件；能够保证规定的工程精度；能够处理不同种类的材料； 有限元法在求解线性和非线性问题中被广泛的运用，需注意的是由于有限元法将求解范围看作由许许多多的小范围集合而成，每个小范围假设一个近似的解，继而求适用整个大范围的总条件，求得解，所以这个解只是近似解，并不是准确解。因为我们用相对简单理想的问题代替实际中较为复杂的问题，而大多数的实际问题得到精确解并不容易。由于有限元法计算精确度相对较高，又可应用在各种形状中，所以是一种有效的工程分析技术。 3.2 声波在一维非均匀介
16、质中的传播模型图三非均匀介质温度分布图如图三，介质温度分别如图：XY面为非均匀介质范围，R0区和R2范围是温度不变的范围，这两个范围无限大。R1是高温范围，它分成三部分T0部分是高温不变的部分，T1部分为高温升温的部分，T2部分为高温降温部分，升温部分与降温部分对称，都是温度逐渐改变部分。为了简便计算，把温度渐变部分看成是线性变化，因介质随温度的改变而改变，而温度的变化又是跟着位置的改变而分区分布的，如此便可依靠有限元法的数值分析进行求解。依照以上思路我们可以推测：1）频率影响：当声波频率比20KHz大的情况下,频率的越大，反射系数反而会减小。入射频率为10KHz附近时最好。2）介质内部温度分
17、布的影响：温度渐变的范围温差越大,待解范围越接近三层介质模型,越有可能得到理想的结果。3）温差影响：温差越大,反射就越强 4）非均匀介质中温度较高的范围或温度不变的范围的宽度一定要与波长有可比性的前提下，只有如此反射作用才会相对明显。当时,声波将会有全透射的现象。媒介里温度不变的范围的宽度为时,反射最大。 5）声波，入射角越大,其反射就越强。当入射角为九十度时,透射本领达到最大。4 总结和展望本文研究了声波在非均匀介质中的传播，得到如下结论： 1）声波可在非均匀介质内长距离传播。 2）当时，声压随着传播距离的增加减少，而当时，相反的情景在实真实情景中并不存在。 3）当非常小时，密度的分布类似于
18、函数，当较大时，密度的分布类似函数。声波在非均匀介质中传播情况较复杂，然而实际情况中密度或温度分的布是比较复杂多变的，所以大多数情况下是没有解析解的，我们只能分析它的非解析解。声波在非均匀介质中的传播性质在很多领域带给我们新的体验，它的性质在声波测距，声波测速，声波检漏，声波清灰，声波除噪（隔离噪音），水声网络（水下通信网和陆地通信网连接起来，形成覆盖全球的立体信息网）等的到广泛应用，使我们的生活更方便舒适，尤其是水声网络将带 领我们探索更神秘的水下世界，打开新世界的大门。 主要参考文献1 田晓培 声波在非均匀介质中的传播D，浙江大学硕士学位论文，2011年2 宋志强 安连锁 吕玉坤 声波折射
19、对炉内测温技术的影响D，华北电力大学博士学位论文，2004年3 马红杰 曾昌军 李广占 地下输水管道的声波检漏技术J，石油化工腐蚀与防护，Vol.26 No.44,2009年4 吴茂伟 声波清灰器在锅炉中的应用J，新疆电力，Vol.2,2009年5 赵安邦 周彬 沈光楠 基于OFDM编码的水声通信差分解码技术J，声学技术，Vol.25 No.2,2010年6 姚文伟 气-液两相介质内声传播的研究D，陕西师范大学硕士学位论文，2006年7 梁昆淼 数学物理方法M，高等教育出版社（第四版）20108 Soukhomlinov V. S Koosov V. Y Sheverev V. A Otuge
20、n, M. V Acoustic Dispersion in Glow Discharge Plasma; A Phenomenological Analysis, Physics of Fluids, Vol. 14, 2002, pp. 427-4299杜功焕 朱哲民 龚秀芬 声学基础M，南京大学出版社，2001年10 Mishin G. I Serov Yu L Yavor I. P Flow Around a Sphere Moving Supersonically in a Gas Dischange Plasma, Soviet Technical Physics Letters,
21、 Vol. 17, 1991, pp. 413-41611杨训仁 陈宇 大气声学M，科学出版社，2007年12何柞铺 赵玉芳 声学理论基础M，国防工业出版社，1981年13李太宝 计算声学声场的方程和计算方法M，科学出版社， 2005年14杰特拉夫 亚沃尔斯基 物理学手册M，科学出版社, 1986年15李景涌 有限元法M,北京邮电大学出版社,1999年16艾长胜 D ，天津大学硕士学位论文，2006年17龙月泉 D，重庆理工大学硕士学位论文，2009年18吕飞玲 D，浙江大学硕士学位论文，2003年Propagation of acoustic wave in un-unniform medi
22、umAbstract：Based on the basic theory of acoustic wave propagation and mathematical knowledge, three basic equations of acoustic wave in the ideal medium are derived. The wave equation for the propagation of small plitude acoustic waves is obtained in uniform medium. Use the above knowlege to obtain
23、the equation of the un-uniform medium. Several analytic solutions are given,and the solution methods of non-analytic solutions and the factor that need to be considered are also given. Use the basic equations of finite element method to build the spread of sound waves in a non-uniform medium model,
24、inferred solving ideas and solving methods（only give the simple analysis and the analytical solution.）Key word: non-uniform medium; continuity equation; wave equation;致谢：在这里我要感谢我的指导老师，从最开始的论文选题，到开题报告，再到初稿完成直至终稿，都有王老师的耐心教诲，悉心指导。学习上她督促我指导我教育我，生活中关心我呵护我爱护我，令我十分感动，她不仅教会我学习，也以身作则教导我做人，谢谢你，祝福你在以后的时光里健康快乐。郭成芳 2016.5.20专心-专注-专业