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1、精选优质文档-倾情为你奉上圆圆的认识1圆的定义（1）在一个平面内，线段 OA 绕它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA叫做半径，如右图所示。（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径。说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆为等圆。2圆的有关概念（1）弦：连结圆上任意两点的线段。 （如右图中的 CD）。（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。直径等于半径的2 倍。A（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。（如右图中的 ?、 ?）CDCADC其中大于半圆的弧叫做
2、优弧，如?，小CAD于半圆的弧叫做劣弧。（4）圆心角：如右图中 COD就是圆心角。3与圆相关的角rOAOBD专心-专注-专业（1）与圆相关的角的定义圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。（2）与圆相关的角的性质圆心角的度数等于它所对的弦的度数；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角相等；弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
3、4圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等【例 1】下面四个命题中正确的一个是（）A过弦的中点的直线平分弦所对的弧B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C与圆有关的位置1点与圆的位置关系如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么：（ 1）点在圆外 ? d r（ 2）点在圆上 ? d r（ 3）点在圆内 ? d r2直线和圆的位置关系
4、设 r 为圆的半径， d 为圆心到直线的距离（ 1）直线和圆相离 ? d r ，直线与圆没有交点；（ 2）直线和圆相切 ? d r ，直线与圆有唯一交点；（ 3）直线和圆相交 ? d r ，直线与圆有两个交点。3两圆的位置关系设 R、 r 为两圆的半径， d 为圆心距（ 1）两圆外离 ?dR + r ；（ 2）两圆外切 ?dR + r ；（ 3）两圆相交 ? R r d r )；（ 5）两圆内含 ? d R- r (R r ) 。（注意：如果为 d = 0 ，则两圆为同心圆。）4. 切线的性质与判定定理（ 1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，
5、二者缺一不可即： MNOA 且 MN 过半径 OA 外端 MN 是 O 的切线O（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径 （如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。5. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，连线平分两条切线的夹角。MANB这点和圆心的OPA即： PA 、 PB 是的两条切线 PA PBPO 平分BPA【例 2】已知 O 的半径为 1，点 P 到圆心 O 的距离为 d，若关于 x 的方程 x2 2xd=0 有实根，则点 P()A在 O 的内部B在 O 的外部C在 O 上D在 O 上或 O 的内部【答案】D【例
6、3】 已知：如图， PA，PB分别与 O 相切于 A， B 两点求证： OP垂直平分线段 AB【答案】略【例 4】 已知：如图， PA切 O 于 A 点， POAC，BC是 O 的直径请问：直线PB是否与 O 相切 ?说明你的理由【答案】直线 PB与 O 相切提示：连结 OA，证PAO PBO点，若 1【例 5】已知：如图， O1 与 2 外切于A点，直线l与1、 2 分别切于 ，的半径 r1，2的半径2O求的长OOB COBC=2cmOr=3cm【答案】 26cm 提示：分别连结 O1 ，1 2，2BO OO C【例 6】如图，点 A， B 在直线 MN 上， AB=11cm， A， B 的
7、半径均为 1cm A 以每秒 2 cm 的速度自左向右运动， 与此同时， B 的半径也不断增大， 其半径 r(cm)与时间 t(s) 之间的关系式为 r=1t(t 0)(1)试写出点 A， B 之间的距离 d(cm)与时间 t(s)之间的函数表达式；(2)问点 A 出发多少秒时两圆相切 ?【答案】(1)当 0t 5.5 时， d 112t；当 t5.5 时， d 2t 11(2) 第一次外切， t3；第一次内切， t 11;3第二次内切， t 11；第二次外切， t 13垂径定理及推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
8、所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 O 中， AB CD弧 AC弧 BDCDOAB【例 7】在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度 AB是 _cm.【答案】 4 159【例 8】如图，F 是以 O 为圆心，BC为直径的半圆上任意一点， A 是的中点，ADBC于 D，求证： AD=1 BF.2AF【答案】提示：连接 OF，证明 VADO ,VFOE ,VBOE是全等三角形。E圆周角定理B DOCC1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一即：
9、 AOB 和 ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 O 中，C 、D 都是所对的圆周角CD半。BOA推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦C是直径。即：在 O 中， AB 是直径BAO或C90C90 AB 是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中， OCOAOB ABC 是直角三角形或C90CBAO【例 9】已知：如图， AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于 E， A
10、CD=30， AE=2cm求 DB 【答案】 4 3cm.【例 10】已知：如图， O 的直径 AE=10cm， B= EAC求 AC的长【答案】提示：连结 CE不难得出 AC52cm.与圆有关的计算1 圆周长： c = 2pR2 弧长： l = np R ；1803 圆面积： S = p R2 ；4 扇形面积： S扇形 1 lR = np R2 ；2360【例 11】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为 120， AB 的长为 30cm，贴纸部分 BD的长为 20cm，则贴纸部分的面积为 ()2B4002 100 cm cmA32D8002C 800 cm3 cm【答案】D【
11、例 12】已知：如图，以线段 AB 为直径作半圆 O1，以线段 AO1 为直径作半圆 O2，半径 O1C交半圆 O2 于 D 点试比较与的长【答案】 的长等于的长提示：连结 O2 D圆幂定理1. 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 O 中，弦 AB 、 CD 相交于点 P ， PA PB PC PD推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比C例中项。即：在 O 中，直径 ABCD ，BAO E CE 2AE BED2. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中A项。即：在 O 中， PA 是切线
12、， PB 是割线DE PA2PC PBPOCB3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在 O 中， PB 、 PE 是割线 PC PB PD PE【例 13】如图， P 是O外一点， PC切O于点 C， PAB是O的割线，交O 于 A、B 两点，如果 PA： PB1：4，PC12cm，O的半径为 10cm，则圆心 O到 AB的距离是 _【答案】9正多边形与圆1. 正三角形在 O 中 ABC 是正三角形，有关计算在 Rt BOD 中进行： OD : BD : OB 1:3 : 2 ；2. 正四边形同理，四边形的有关计算在 Rt OAE
13、 中进行， OE : AE : OA 1:1:2 ：3. 正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB 中进行， AB : OB : OA1:3 : 2 .【例 13】已知正多边形的边长为 a 与外接圆半径 R之间满足 1a）2 ，则这个多边形是（RA. 正三边形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形【答案】C提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有Ra2R因为 a6R ， a42R ，所以 a6a a4则 a6 a5a4 ，是正五边形，应选 C。课后练习题【例 1】若 P 为半径长是 6cm 的 O 内一点， OP2cm，则过 P 点的最短的弦长为 ()A 12cmB 2 2cmC 4
14、2cmD 8 2cm【答案】D【例 2】若 O 的半径长是 4cm，圆外一点 A 与 O 上各点的最远距离是12cm，则自 A 点所引 O 的切线长为()A16cmB 4 3cmC 4 2cmD 4 6cm【答案】B【例 3】O 中， AOB100，若 C 是上一点，则 ACB等于 ()A80B100C120D 130【答案】A【例 4】三角形的外心是 ()A三条中线的交点B三个内角的角平分线的交点C三条边的垂直平分线的交点D三条高的交点【答案】C【例 5】如图， A 是半径为 2 的 O 外的一点， OA 4， AB 是 O 的切线，点 B 是切点，弦BC OA，则 的长为 ()7 题图A
15、2 B 8 33CD 2 3【答案】A3【例 6】如图，图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到 B 点，甲虫沿，路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是 ()8 题图A甲先到 B 点B乙先到 B 点C甲、乙同时到 B 点D无法确定【答案】C【例 7】如图，同心圆半径分别为 2 和 1， AOB120，则阴影部分的面积为 ()B 4 9 题图AC2D 4【答案】C3【例 8】如图，在 O 中， AB 为 O 的直径，弦 CD AB， AOC60，则 B_【答案】30【例 9】如图，将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为
16、_【答案】 2 3cm.【例 10】已知：如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于 C 点， AB 12cm求两个圆之间的圆环面积【答案】36 cm2提示：连接 OC,OA.【例 11】如图，在桌面上有半径为 2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？【答案】设三个圆的圆心为 O1、 2 、 3，连结1O2、 23、 3 1，可得边长为4 cm的正1 2O3，O OOO OO OO O则正 O123 外接圆的半径为 43cm，所以大圆的半径为 43436O O3+2=33【例 12】如图，在 ABC中， C=90，以 BC上一点 O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M ，交 BC于点 N（1）求证： BABM=BCBN；（2）如果 CM 是 O 的切线， N 为 OC的中点，当 AC=3时，求 AB 的值【答案】（1）证明：连接 MN 则 BMN=90= ACB， ACB NMB， BCAB ， BMAB BM=BCBNBN（ 2）解：连接 OM，则 OMC=90，N 为 OC中点， MN=ON=OM， MON=60 ，1OM=OB， B=MON=30 ACB=90， AB=2AC=23=6