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1、精选优质文档-倾情为你奉上中考数学圆的综合-经典压轴题附答案一、圆的综合1如图1，已知扇形MON的半径为，MON=90，点B在弧MN上移动，联结BM，作ODBM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，COM的正切值为y.（1）如图2，当ABOM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当OAC为等腰三角形时，求x的值.【答案】 (1)证明见解析;(2) .();(3) .【解析】分析：（1）先判断出ABM=DOM，进而判断出OACBAM，即可得出结论；（2）先判断出BD=DM，进而得出，进而得出AE=，再判断出，
2、即可得出结论；（3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论详解：（1）ODBM，ABOM，ODM=BAM=90ABM+M=DOM+M，ABM=DOMOAC=BAM，OC=BM，OACBAM， AC=AM（2）如图2，过点D作DEAB，交OM于点EOB=OM，ODBM，BD=DMDEAB，AE=EMOM=，AE=DEAB， （）（3）（i） 当OA=OC时在RtODM中，解得，或（舍）（ii）当AO=AC时，则AOC=ACOACOCOB，COB=AOC，ACOAOC，此种情况不存在（）当CO=CA时，则COA=CAO=CAOM，M=90，90，45，BOA=290BOA90，此种情况
3、不存在即：当OAC为等腰三角形时，x的值为点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键2如图，已知在ABC中，AB=15，AC=20，tanA=，点P在AB边上，P的半径为定长.当点P与点B重合时，P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，P与AC边相交于点M和点N（1）求P的半径； （2）当AP=时，试探究APM与PCN是否相似，并说明理由【答案】（1）半径为3；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BDAC，垂足为点D，P与边AC相切，则BD就是P的半径，利用解直角三角形得出BD
4、与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PHAC于点H，作BDAC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出、的值，得出=，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BDAC，垂足为点D，P与边AC相切，BD就是P的半径，在RtABD中，tanA= ，设BD=x，则AD=2x，x2+(2x)2=152， 解得：x=3，半径为3；（2）相似，理由见解析，如图，过点P作PHAC于点H，作BDAC，垂足为点D，PH垂直平分MN，PM=PN，在RtAHP中
5、，tanA=，设PH=y，AH=2y，y2+（2y）2=（6）2解得：y=6（取正数），PH=6，AH=12，在RtMPH中，MH=3，MN=2MH=6，AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，=，又PM=PN，PMN=PNM，AMP=PNC，AMPPNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.3在O 中，点C是上的一个动点(不与点A，B重合)，ACB=120，点I是ABC的内心，CI的延长线交O于点D，连结AD,BD（1）求证：AD=BD （2）猜想
6、线段AB与DI的数量关系，并说明理由 （3）若O的半径为2，点E，F是的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3） 【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据ACB=120，ACD=BCD，可求出BAD的度数，再根据AD=BD，可证得ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明BID=IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已
7、知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是 弧AB 的三等分点，ABD是等边三角形，可证得DAI1=AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：点I是ABC的内心CI平分ACBACD=BCD弧AD=弧BDAD=BD（2）AB=DI理由：ACB=120，ACD=BCDBCD=120=60弧BD=弧BDDAB=BCD=60AD=BDABD是等边三角形，AB=BD，ABD=CI是ABC的内心BI平分ABCCBI=ABIBID=C+CBI，IBD=ABI+ABDBID=IBDID=BDAB=BDAB=DI（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可
8、知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧ACB=120，弧AD=弧BDAED=ACB=120=60圆的半径为2，DE是直径DE=4，EAD=90AD=sinAEDDE=4=2点E，F是 弧AB 的三等分点，ABD是等边三角形，ADB=60弧AB的度数为120，弧AM、弧BF的度数都为为40ADM=20=FABDAI1=FAB+DAB=80AI1D=180-ADM-DAI1=180-20-80=80DAI1=AI1DAD=I1D=2弧I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结
9、合思想的渗透.4如图，M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，1），点A的坐标为（2，），点B的坐标为（3，0），点C在x轴上，且点D在点A的左侧（1）求菱形ABCD的周长；（2）若M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD，求：t的值；MBD的度数；（3）在（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值【答案】（1）8；（2）7；105；（3）t=6或6+【解析】分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8； （2）如图2
10、，先根据坐标求EF的长，由EEFE=EF=7，列式得：3t2t=7，可得t的值； 先求EBA=60，则FBA=120，再得MBF=45，相加可得：MBD=MBF+FBD=45+60=105； （3）分两种情况讨论：作出距离MN和ME，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD为M的切线，由BC是M的切线，得MBE=30，列式为3t+=2t+6，解出即可； 第二种情况：如图6，同理可得t的值详解：（1）如图1，过A作AEBC于E 点A的坐标为（2，），点B的坐标为（3，0），AE=，BE=32=1，AB=2 四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD=2，菱形ABCD的周长=24=8； （2）如图
11、2，M与x轴的切点为F，BC的中点为E M（3，1），F（3，0） BC=2，且E为BC的中点，E（4，0），EF=7，即EEFE=EF，3t2t=7，t=7；由（1）可知：BE=1，AE=，tanEBA=，EBA=60，如图4，FBA=120 四边形ABCD是菱形，FBD=FBA=60 BC是M的切线，MFBC F是BC的中点，BF=MF=1，BFM是等腰直角三角形，MBF=45，MBD=MBF+FBD=45+60=105； （3）连接BM，过M作MNBD，垂足为N，作MEBC于E，分两种情况：第一种情况：如图5 四边形ABCD是菱形，ABC=120，CBD=60，NBE=60 点M与BD所
12、在的直线的距离为1，MN=1，BD为M的切线 BC是M的切线，MBE=30 ME=1，EB=，3t+=2t+6，t=6； 第二种情况：如图6 四边形ABCD是菱形，ABC=120，DBC=60，NBE=120 点M与BD所在的直线的距离为1，MN=1，BD为M的切线 BC是M的切线，MBE=60 ME=MN=1，RtBEM中，tan60=，EB=，3t=2t+6+，t=6+； 综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6或6+ 点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向
13、、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值5函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6，0）、B（0，2），点C（x，y）在线段AB上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量x、y，若最大值存在，设最大值为m，则有函数关系式y=-x+m，由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是m的最大值，（x+y）的最大值为 ；（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：如图2，以（1）中的AB为斜边在右上方作RtABM.设点M坐标为（x，y），求（x+y）的最大值是多少
14、？【答案】（1）6（2）4+2 【解析】分析：（1）根据一次函数的性质即可得到结论；（2）根据以AB为斜边在右上方作RtABC，可知点C在以AB为直径的D上运动，根据点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=x+m与D相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为（3+，1+），代入直线y=x+m，可得m=4+2，即可得出x+y的最大值为4+2详解：（1）6；（2）由题可得，点C在以AB为直径的D上运动，点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=x+m与D相切，交x轴与E，如
15、图所示，连接OD，CDA（6，0）、B（0，2），D（3，1），OD=，CD=根据CDEF可得，C、D之间水平方向的距离为，铅垂方向的距离为，C（3+，1+），代入直线y=x+m，可得：1+=（3+）+m，解得：m=4+2，x+y的最大值为4+2故答案为：4+2 点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解6如图，内接于，的平分线与交于点，与交于点，延长，与的延长线交于点，连接，是的中点，连接.(1)判断与的位置关系，写出你的结论并证明;(2)求证:;(3)若，求的面积.
16、【答案】（1）OGCD（2）证明见解析（3）6【解析】试题分析：（1）根据G是CD的中点，利用垂径定理证明即可；（2）先证明ACE与BCF全等，再利用全等三角形的性质即可证明；（3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解试题解析：（1）解：猜想OGCD证明如下：如图1，连接OC、ODOC=OD，G是CD的中点，由等腰三角形的性质，有OGCD（2）证明：AB是O的直径，ACB=90，而CAE=CBF（同弧所对的圆周角相等）在RtACE和RtBCF中，ACE=BCF=90，AC=BC，CAE=CBF，RtACERtBCF（ASA），AE=BF（3）解：如图2，过点O作BD的垂线，垂足
17、为H，则H为BD的中点，OH=AD，即AD=2OH，又CAD=BADCD=BD，OH=OG在RtBDE和RtADB中，DBE=DAC=BAD，RtBDERtADB，即BD2=ADDE，又BD=FD，BF=2BD，设AC=x，则BC=x，AB=AD是BAC的平分线，FAD=BAD在RtABD和RtAFD中，ADB=ADF=90，AD=AD，FAD=BAD，RtABDRtAFD（ASA），AF=AB=，BD=FD，CF=AFAC=在RtBCF中，由勾股定理，得：，由、，得，x2=12，解得：或（舍去），O的半径长为，SO=（）2=6点睛：本题是圆的综合题解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似
18、三角形的判定与性质7已知：如图，AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交O于点F，A=60，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2 =0的两根（k为常数）（1）求证：PABD=PBAE；（2）求证：O的直径长为常数k；（3）求tanFPA的值【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tanFPA=2 .【解析】试题分析：（1）由PB切O于点B，根据弦切角定理，可得PBD=A，又由PF平分APB，可证得PBDPAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PABD=PBAE；（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程
19、x2kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：O的直径长为常数k；（3）由A=60，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tanFPB的值，则可得tanFPA的值试题解析：（1）证明：如图，PB切O于点B，PBD=A，PF平分APB，APE=BPD，PBDPAE，PB：PA=BD：AE，PABD=PBAE；（2）证明：如图，BED=A+EPA，BDE=PBD+BPD又PBD=A，EPA=BPD，BED=BDEBE=BD线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），AE+B
20、D=k，AE+BD=AE+BE=AB=k，即O直径为常数k（3）PB切O于B点，AB为直径PBA=90A=60PB=PAsin60=PA，又PABD=PBAE，BD=AE，线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数）AEBD=2，即AE2=2，解得：AE=2，BD=，AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，在RtPBA中，PB=ABtan60=（2+）=3+2在RtPBE中，tanBPF=2，FPA=BPF，tanFPA=2【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的
21、应用8如图，O是ABC的外接圆，AB是直径，过点O作ODCB，垂足为点D，延长DO交O于点E，过点E作PEAB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF，（1）求证：ODOP；（2）求证：FE是O的切线【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】试题分析：（2）证明POEADO可得DO=EO；（3）连接AE，BE，证出APEAFE即可得出结论试题解析：（1）EPO=BDO=90 EOP=BODOE=OBOPEODBOD=OP （2）连接EA，EB1=EBC AB是直径 AEB=C=90 2+3=903=DEB BDE=90EBC+DEB=902=EBC=1C=90 BDE=9
22、0CFOEODP=AFPOD=OPODP=OPDOPD=APFAFP=APFAF=AP 又AE=AEAPEAFE AFE=APE=90FED=90FE是O的切线考点：切线的判定9如图，为的直径，、为上异于、的两点，连接，过点作，交的延长线于点，垂足为点，直径与的延长线相交于点.（1）连接、，求证：.（2）若.求证：是的切线.当，时，求的长.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； .【解析】【分析】（1）根据圆周角定理证得ADB=90，即ADBD，由CEDB证得ADCF，根据平行线的性质即可证得结论；（2）连接OC先根据等边对等角及三角形外角的性质得出3=21，由已知4=21，得到4=3，则O
23、CDB，再由CEDB，得到OCCF，根据切线的判定即可证明CF为O的切线；由CFAD，证出BAD=F，得出tanBAD=tanF=，求出AD=BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=，即可求出CF【详解】解：（1）是的直径，且为上一点，.（2）如图，连接.，.，.，.，.又为的半径，为的切线.由（1）知，.，.，解得.【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果10已知ACDC，ACDC，直线MN经过点A，作DBMN，垂足为B，连结CB感知如图
24、，点A、B在CD同侧，且点B在AC右侧，在射线AM上截取AEBD，连结CE，可证BCDECA，从而得出ECBC，ECB90，进而得出ABC 度；探究如图，当点A、B在CD异侧时，感知得出的ABC的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出ABC的大小应用在直线MN绕点A旋转的过程中，当BCD30，BD时，直接写出BC的长【答案】【感知】：45；【探究】：不改变，理由详见解析；【拓展】：BC的长为+1或1【解析】【分析】感知证明BCDECA（SAS） 即可解决问题；探究结论不变，证明BCDECA（SAS） 即可解决问题；应用分两种情形分别求解即可解决问题【详解】解：【感知】，如图中，在射线
25、AM上截取AEBD，连结CEACDC，DBMN，ACDDBA90CDB+CAB180，CAB+CAE180DCAE，CDAC，AEBD，BCDECA（SAS），BCEC，BCDECA，ACE+ECD90，ECD+DCB90，即ECB90，ABC45故答案为45【探究】不改变理由如下：如图，如图中，在射线AN上截取AEBD，连接CE，设MN与CD交于点OACDC，DBMN，ACDDBA90，AOCDOB，DEAC，CDAC，BCDECA（SAS），BCEC，BCDECA，ACE+ECD90，ECD+DCB90，即ECB90，ABC45【拓展】如图1中，连接ADACD+ABD180，A，C，D，B
26、四点共圆，DABDCB30，ABBD，EBAE+AB+，ECB是等腰直角三角形，如图中，同法可得BC1综上所述，BC的长为+1或1【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题11如图，已知ABC，AB=，B=45，点D在边BC上，联结AD， 以点A为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AFAD（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （2）如果E是的中点，求的值；（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，
27、求BD的长 【答案】(1) (0x3); (2) ; (3) BD的长是1或.【解析】【分析】（1）过点A作AHBC，垂足为点H构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的长度联结DF，点D、F之间的距离y即为DF的长度，在RtADF中，利用锐角三角形函数的定义求得DF的长度，易得函数关系式（2）由勾股定理求得：AC=设DF与AE相交于点Q，通过解RtDCQ和RtAHC推知故设DQ=k，CQ=2k，AQ=DQ=k，所以再次利用勾股定理推知DC的长度，结合图形求得线段BD的长度，易得答案（3）如果四边形ADCF是梯形，则需要分类讨论：当AFDC、当ADFC根据相似三角形的判定与性质，结合
28、图形解答【详解】（1）过点作AHBC，垂足为点H B=45，AB=，BD为x， 在Rt中， 联结DF，点D、F之间的距离y即为DF的长度点F在圆A上，且AFAD， 在Rt中， ;（2）E是的中点，平分BC=3， 设DF与AE相交于点Q，在Rt中，在Rt中， ， 设， （3）如果四边形ADCF是梯形则当AFDC时，即点D与点H重合 当ADFC时， ，即,整理得 ，解得 （负数舍去） 综上所述，如果四边形ADCF是梯形，BD的长是1或【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能
29、力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来12如图，已知AB是O的直径，BC是弦，弦BD平分ABC交AC于F，弦DEAB于H，交AC于G求证：AGGD；当ABC满足什么条件时，DFG是等边三角形？若AB10，sinABD，求BC的长【答案】（1）证明见解析；（2）当ABC60时，DFG是等边三角形理由见解析；（3）BC的长为【解析】【分析】（1）首先连接AD，由DEAB，AB是的直径，根据垂径定理，即可得到，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得ADEABD，又由弦BD平分ABC，可得DBCABD，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD；（2）当ABC=60时，DFG是等边三
30、角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得DGF=DFG=60，即可证得结论；（3）利用三角函数先求出tanABD，cosABD，再求出DF、BF，然后即可求出BC.【详解】（1）证明：连接AD，DEAB，AB是O的直径，ADEABD，弦BD平分ABC，DBCABD，DBCDAC，ADEDAC，AGGD；（2）解：当ABC60时，DFG是等边三角形理由：弦BD平分ABC，DBCABD30，AB是O的直径，ACB90，CAB90ABC30，DFGFAB+DBA60，DEAB，DGFAGH90CAB60，DGF是等边三角形；（3）解：AB是O的直径，ADBACB90，D
31、ACDBCABD，AB10，sinABD，在RtABD中，ADABsinABD6，BD8，tanABD，cosABD，在RtADF中，DFADtanDAFADtanABD6，BFBDDF8，在RtBCF中，BCBFcosDBCBFcosABDBC的长为：【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法13如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的点，连接AC，BC，点E是AC的中点，点F是射线OE上一点（1）如图1，连接FA，FC，若AFC2BAC，求证：FAAB；
32、（2）如图2，过点C作CDAB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA，FG，FG与AC相交于点P，且AFFG试猜想AFG和B的数量关系，并证明；连接OG，若OEBD，GOE90，O的半径为2，求EP的长【答案】（1）见解析；（2）结论：GFA2ABC理由见解析；PE【解析】【分析】（1）证明OFABAC，由EAO+EOA90，推出OFA+AOE90，推出FAO90即可解决问题（2）结论：GFA2ABC连接FC由FCFGFA，以F为圆心FC为半径作F因为，推出GFA2ACG，再证明ACGABC图21中，连接AG，作FHAG于H想办法证明GFA120，求出EF，OF，OG即可解决问
33、题【详解】（1）证明：连接OCOAOC，ECEA，OFAC，FCFA，OFAOFC，CFA2BAC，OFABAC，OEA90，EAO+EOA90，OFA+AOE90，FAO90，AFAB（2）解：结论：GFA2ABC理由：连接FCOF垂直平分线段AC，FGFA，FGFA，FCFGFA，以F为圆心FC为半径作F，GFA2ACG，AB是O的直径，ACB90，CDAB，ABC+BCA90，BCD+ACD90，ABCACG，GFA2ABC如图21中，连接AG，作FHAG于HBDOE，CDBAEO90，BAOE，CDBAEO（AAS），CDAE，ECEA，AC2CDBAC30，ABC60，GFA120，
34、OAOB2，OE1，AE，BA4，BDOD1，GOEAEO90，OGAC，,，FGFA，FHAG，AHHG，AFH60，AF，在RtAEF中，EF，OFOE+EF ，PEOG，PE 【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.14已知：如图，四边形ABCD为菱形，ABD的外接圆O与CD相切于点D，交AC于点E（1）判断O与BC的位置关系，并说明理由；（2）若CE=2，求O的半径r【答案】（1）相切，理由见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据切线的性质，可得ODC
35、的度数，根据菱形的性质，可得CD与BC的关系，根据SSS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得OBC的度数，根据切线的判定，可得答案；（2）根据等腰三角形的性质，可得ACD=CAD，根据三角形外角的性质，COD=OAD+AOD，根据直角三角形的性质，可得OC与OD的关系，根据等量代换，可得答案（1）O与BC相切，理由如下连接OD、OB，如图所示：O与CD相切于点D，ODCD，ODC=90四边形ABCD为菱形，AC垂直平分BD，AD=CD=CBABD的外接圆O的圆心O在AC上，OD=OB，OC=OC，CB=CD，OBCODCOBC=ODC=90，又OB为半径，O与BC相切；（2）AD=CD
36、，ACD=CADAO=OD，OAD=ODACOD=OAD+AOD，COD=2CADCOD=2ACD又COD+ACD=90，ACD=30OD= OC，即r=（r+2）r=2【点睛】运用了切线的判定与性质，利用了切线的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质15如图，AB是O的直径，ACB的平分线交AB于点D，交O于点E，过点C作O的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE（1）求证：PC=PD；（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长【答案】(1)见解析 (2) EC= AE=【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OC、OE利用等角的余角相等，证明PCD=PDC即可；（2）如图2
37、中作EHBC于H，EFCA于F首先证明RtAEFRtBEH，推出AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得5+x=12x，推出x=，延长即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC、OEAB 直径，ACB=90，CE平分ACB，ECA=ECB=45，=，OEAB，DOE=90PC是切线，OCPC，PCO=90OC=OE，OCE=OECPCD+OCE=90，ODE+OEC=90，PDC=ODE，PCD=PDC，PC=PD（2）如图2中作EHBC于H，EFCA于FCE平分ACB，EHBC于H，EFCA于F，EH=EF，EFA=EHB=90=，AE=BE，RtAEFRtBEH，AF=BH，设AF=BH=xF=FCH=CHE=90，四边形CFEH是矩形EH=EF，四边形CFEH是正方形，CF=CH，5+x=12x，x=，CF=FE=，EC=CF=，AE=点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题专心-专注-专业