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1、精选优质文档-倾情为你奉上立体几何空间点、线、面的位置关系1五种位置关系，用相应的数学符号表示（1）点与线的位置关系：点A在直线l上 ；点B不在直线l上 （2）点与面的位置关系：点A在平面内 ；点B在平面外 （3）直线与直线的位置关系：a与b平行 ；a与b相交于点O （4）直线与平面的位置关系：直线a在平面内 ；直线a与平面相交于点A ；直线a与平面平行 （5）平面与平面的位置关系：平面与平面平行 平面与平面相交于a 平 行 问 题（一）直线与直线平行1.定义：在同一平面内不相交的两条直线平行2.判定两条直线平行的方法：（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行（公理4），记为a/b,b/c a
2、/c（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。记为：（3）两个平面平行的性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（4）线面垂直的性质定理：如两条直线同垂直与一个平面，则这两条直线平行（二）直线与平面平行1.定义：直线a与平面没有公共点，称直线a平行与平面，记为a/2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。定理模式：3、找线线平行常用的方法：中位线定理 平行四边形 比例关系 面面平行-线面平行 中位线定理 例题：已知如图：平行四边形ABCD中
3、，正方形ADEF_H_G_D_A_B_CEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点（）求证：GH平面CDE；（）若，求四棱锥F-ABCD的体积 又例：高考零距离P124例1练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点。求证：AC1平面CDB1； 2. 如图，是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积. 3、如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点。（1）证明：；（2）求以为轴旋转所围成的几何体体积。4、高考零距离P125。1平行四边形 例2、 如图,
4、 在矩形中, , 分别为线段的中点, 平面.求证: 平面；（利用平行四边形） 练习：如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB、PD的中点。求证：AF平面PCE；如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC中点。求证： ABCDEF 如图，已知AB平面ACD，DE/AB，ACD是正三角形，AD = DE = 2AB，且F是CD的中点.求证：AF/平面BCE；、已知正方体ABCD-，是底对角线的交点.求证：面 比例关系例题3、P是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是PB、BC上的点，且,求证：MN/平面PCD(利用比例关系)练习：如图，四边形为正方形，平面
5、，.（）若点在线段上，且满足, 求证：平面；面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（）求证：平面ABE/平面CDF（II）求证：AE/平面DCF；（利用面面平行-线面平行）练习：1、如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，分别为、的中点（1）求证：；（2）求三棱锥的体积 2、如图,在直三棱柱中,，分别是的中点，且. ()求证：； EBACNDFM3、如图所示,正方形与梯形所在的平面互相垂直, . 在上找一点,使得平面,请确定点的位置,并给出证明4、（2012山东文）如图，几何体是四棱锥，为正三角形，.()求证
6、：；()若，M为线段AE的中点，求证：平面. 练习：1、在空间中，下列四个命题：两条直线都和同一平面平行，则这两条直线平行；两条直线没有公共点，则这两条直线平行；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中正确命题的个数（ ）A、3 B、2 C、1 D、02、一条直线上有相异三个点、到平面的距离相等，那么直线与平面的关系是（ ）A、/ B、 C、与相交但不垂直 D、/或3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。定理模式： 例题： 如图，已知四棱锥。 若底
7、面为平行四 边形，为的中点，在上取点，过和点的平面与 平面的交线为，求证：。证明：连AC与BD，设交点为O，连OE。DABCPMN练习：1、如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为2的菱形，是中点，过A、N、D三点的平面交于求证：；2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。（1）证明：EFA1D1；3.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC. （1） 求证：平面AEC平面ABE；(面面垂直性质)
8、（2） 点F在BE上，若DE/平面ACF，求的值。（线面平行的性质 ）（三）.两个平面的位置关系有两种：相交（有一条交线）、平行（没有公共点）1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。定理的模式：2.垂直于同一直线的两个平面互相平行例、如图，在正方体中，、分别是、的中点.求证：平面平面. 练习：如图所示，在正方体ABCD-中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）EG平面BB1D1D；（2）平面BDF平面B1D1H. 3.两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（
9、2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 ABCDA1B1C1D1例题：已知在正方体ABCD-中，E,F分别是上的点，点P在正方体外，平面PEF与正方体相交于AC，求证： 空间线面垂直、面面垂直一、直线与平面垂直：直线与平面内任意一条直线都垂直垂线、垂面、垂足、画法二、线面垂直的判定判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。三、线面垂直的性质定理：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直这个平面内的任何一条直线。四、证线线垂直的方法： 菱形的对角线互相垂直 等腰三角形底边的中线垂直底边 圆的直径所对的圆周角为直角 利用勾股定理
10、 间接法，用线面垂直的性质定理（）菱形的对角线互相垂直：例题。已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面。 求证：EF平面GMCABCDABCD练习：如图ABCD-是底面为正方形的长方体，求证：（1）BD平面 （2）ACBP等腰三角形底边的中线垂直底边ACBDP例1、 如图，在三棱锥中，求证：；练习：1、在三棱锥A-BCD中，AB=AC,BD=DC,求证： PACBHO圆的直径所对的圆周角为直角例题3、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若,且AH与PC交于H，求证：AH平面P
11、BC. 利用勾股定理例4、在长方体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，E是侧棱的中点。求证：平面； 证明：为长方体，BCDPA练习：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，,求证：（1）平面ABCD （2）求四棱锥P-ABCD的体积.间接法，用线面垂直的性质定理（）例题：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，证明：;练习1：如图，在直三棱柱中，AC=3， BC=4，AB=5，点D是AB的中点。（）求证：； 练习2： 如图，四边形为矩形，平面，为上的点，且平面. 求证：；ABCDEF证明：因为，高考零距离P125 例题 P126 2 P127 3五、面面垂直(1）两个平面
12、垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。(2）两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。例1如图，AB是O的直径，PA垂直O所在的平面，C是圆上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC. 例题：高考零距离P127 1、2练习1：如图，棱柱的侧面是菱形， 2、如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）EF平面ABC；（2）平面平面. sK3、如图， ABCD是正方形，SA平面ABCD，BKSC于K，连结DK，求证（1）平面SBC平面KBDCDA（3）两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直
13、）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。例1：如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD, O为AD中点.，求证:PO平面ABCD；例2：如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面（1）若为的中点，求证：平面；（2）求证：；练习：1、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若,且AH与PC交于H，求证：平面PAC平面PBC.(3) AH 平面PBC pHOBAC2、在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是A
14、P、AD的中点.求证：平面BEF平面PAD 3、如图，正方形ABCD所在平面与以AB为直径的半圆O所在平面ABEF互相垂直，P为半圆周上异于A，B两点的任一点，求证：直线AP平面PBC。平面PBC平面APC4、如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为的正方形，平面ABED底面ABC，且，若G、F分别是EC、BD的中点，（）求证：GF/底面ABC；FGBDEAC（）求几何体ADEBC的体积V。 5、如图，为空间四点在中，等边三角形以为轴运动（）当平面平面时，求；五、体积问题1. 如图，是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积. 练习
15、1：三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，分别是的中点（1）求证：平面（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积 2、如图,长方体中，,是的中点. (I)求证：平面平面； (II)求三棱锥的体积. A1B1C1D1ABCDE DCABPED3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， 且（单位：），为的中点。（）如图，若主视方向与平行，请作出该几何体的左视图并求出左视图面积；（）证明：；CA B C1A1 B1D4、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知是这个几何体的棱上的中点。（）求出该几何体的体积； （）（）求证：直线；
16、 ()求证:平面.35、已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，（）求这个组合体的体积；（）若组合体的底部几何体记为，其中为正方形.（i）求证：；（ii）求证：为棱上一点，求的最小值.六:等体积法求高（距离）：如：三棱锥 V= V S =SBE例题（2010广东文数）如图，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=（1）证明：EBFD （2）求点B到平面FED的距离. BACA1B1C1FE练习1：已知ABCABC是正三棱柱，棱长均为，E、F分别是AC、AC的中点，（1）求证
17、：平面ABF平面BEC （2）求点A到平面BEC间的距离A例题CDEPFB2、如图，在四棱锥中，平面；四边形是菱形，边长为2，经过作与平行的平面交与点，的两对角线交点为（）求证：；（）若，求点到平面的距离3、如图4，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知， （1）求证：平面；ABCPD （2）求三棱锥的体积4如图，己知中，且 （1）求证：不论为何值，总有 （2）若求三棱锥的体积 5、(2012广东文数）如图5所示，在四棱锥中，平面，是中点，是上的点，且，为中边上的高。（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积；（3）证明：平面6、（2012佛山一模）如图，三棱锥中，底面， ，为的中点，为的中点，点在上，且.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积. 7、如图所示四棱锥中, 底面,四边形中,为的中点,为中点.（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）求证:平面； （3）在棱PC上是否存在点M（异于点C），使得BM平面PAD，若存在，求的值，若不存在，说明理由。； 8、（惠州市2013） 如图,在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,.(1)求证：平面；(2) 求四棱锥的体积. 专心-专注-专业