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1、精选优质文档-倾情为你奉上立体几何小题精选一、单选题12018通州期末如图，各棱长均为的正三棱柱，分别为线段，上的动点，若点，所在直线与平面不相交，点为中点，则点的轨迹的长度是（ ）A. B. C. D. 2如图，在三棱锥中， ， ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 3已知球半径为，设是球面上四个点，其中，则棱锥的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 4已知边长为2的等边三角形， 为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过， ， ， 四点的球的表面积为（ ）A. B. C. D. 5已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 6
2、如图,在棱长为的正方体中,点、是棱、的中点, 是底面上（含边界）一动点,满足,则线段长度的取值范围是( )A. B. C. D. 7某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 8设是异面直线，则以下四个命题：存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；存在分别经过直线和的两个平行平面；经过直线有且只有一个平面垂直于直线；经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（ ）A. B. C. D. 9如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点，过点作平面平面，截棱锥所得图形面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图象是（ ）A B. C. D.
3、 10如图，小于的二面角中，且为钝角，是在内的射影，则下列结论错误的是（ ）A. 为钝角 B. C. D. 11一个三棱锥内接于球，且， ， 则球心到平面的距离是（ ）A. B. C. D. 12某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 13已知球与棱长为4的正方形的所有棱都相切，点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 14某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 15如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何
4、体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 16已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（ ）A. B. C. D. 17设点M是棱长为2的正方体的棱AD的中点，P是平面内一点，若面分别与面ABCD和面所成的锐二面角相等，则长度的最小值是（ ）A. B. C. D. 118.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A. B C D 19已知几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的内切球的半径为（ ）A. B. C. D. 20已知m,n是两条不同的直线，是三个不同平面
5、，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若 ，则21如图，在正方形ABCD中，点E,F分别为边BC,AD的中点，将沿BF所在直线进行翻折，将沿DE所在直线进行翻折，在翻折过程中（ ）A. 点A与点C在某一位置可能重合 B. 点A与点C的最大距离为C. 直线AB与直线CD可能垂直 D. 直线AF与直线CE可能垂直22.已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D 23.如图，已知正方形的边长为，分别是的中点，平面，且，则点到平面的距离为 （ ）A B C D124.下列命题中错误的是（ ）A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果
6、平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面那么平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面25. 已知是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：若，则；若，则；若上有两个点到的距离相等，则；若则 其中正确命题的序号是_（填上所有正确命题的序号）26.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是()A.17 B.18 C.20 D.2827.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体三视图，则该几何体的体积为（ ） 28、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（
7、 ）A. B. C. D.29、 【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）3（B）2（C）2（D）230.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（A）2 （B）2 （C）4 （D）231、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.32. 如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足设，则的取值范围是 33已知是球的球面上三点，且棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）A B C D34在
8、平行四边形中， ，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D35如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.cm3 B.cm3C.cm3 D.cm336如图，已知正方体的棱长为4，点，分别是线段，上的动点，点是上底面内一动点，且满足点到点的距离等于点到平面的距离，则当点运动时，的最小值是（ ）A B C D37如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（ ）A B平面平面 C的最大值为 D的
9、最小值为38已知二面角为，A为垂足，则异面直线与所成角的余弦值为A B C D39如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若A1AB=A1AD=60，且A1A=3，则A1C的长为（ ）A B C D40如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA12，ABBC1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A. B. C. D.41如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角为()A. B. C. D. 42如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1
10、.若二面角CABC1的大小为60，则点C到平面C1AB的距离为()A. B. C. D1二、填空题43在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_44菱形边长为， ，将沿对角线翻折使得二面角的大小为，已知、四点在同一球面上，则球的表面积等于_45已知矩形, , ,将沿矩形对角线所在的直线进行翻折,在翻折过程中,则_.,都存在某个位置,使得,都不存在某个位置,使得,都存在某个位置,使得,都不存在某个位置,使得46已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱, , 分别交于三点, , ,若为直角三角形，则该直角
11、三角形斜边长的最小值为_47祖暅是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容易.”这里的“幂”指水平截面的面积.“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。于是可把半径相等的半球(底面在下)和圆柱(圆柱高等于半径)放在同一水平面上，圆柱里再放一个半径和高都与圆柱相等的圆锥(锥尖朝下)，考察圆柱里被圆锥截剩的立体，这样在同一高度用平行平面截得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相等，因此半球的体积等于圆柱中剩余立体的体积.设由椭圆所围成的平面图形绕轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图，称为“椭球体
12、”)，请类比以上所介绍的应用祖暅原理求球体体积的做法求这个椭球体的体积.其体积等于_.48四棱锥中，平面ABCD，BC/AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角的平面角大小为，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为的两部分，则=_49如图，三棱锥的顶点，都在同一球面上，过球心且，是边长为等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为_50在三棱锥中，底面为边长为2的正三角形，顶点在底面上的射影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为_51已知矩形中， ， ， ， 分别在线段， 上，且， 如图所示，沿将四边形翻折成，则在翻折过程
13、中，二面角的正切值的最大值为 _52在四面体中， ，二面角的余弦值是，则该四面体的外接球的表面积是_53已知半径为1的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是_54已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，如图所示，给出下列结论：四面体体积的最大值为；四面体外接球的表面积恒为定值；若分别为棱的中点，则恒有且； 当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为；当二面角的大小为时，棱的长为其中正确的结论有_(请写出所有正确结论的序号)55 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部
14、分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_（容器壁的厚度忽略不计） 56 现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为 ，将此椭圆绕y轴旋转一周后
15、，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于_57.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_.58.正方体中, 是棱的中点, 是侧面内的动点,且平面,若正方体的棱长是2,则的轨迹被正方形截得的线段长是_.59.四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一个球面上，则该球的体积为_60如图，矩形中，为边的中点，
16、将沿直线翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下面四个选项中正确的是 (填写所有的正确选项)（1）是定值 （2）点在某个球面上运动（3）存在某个位置，使 （4）存在某个位置，使平面61长方体中，已知，棱在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是 62椭圆绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为 参考答案1B由题意，点，所在直线与平面不相交，则平面，过作交于 过作 连结 使得，则平面平面 ， 则平面，因为为线段上的动点，所以这样的有无数条，其中中点的轨迹的长度等于底面正的高故选B2A【解析】如图，在中，由余弦定理得取CD的中点E，连BE,AE，则，且，故，所以，从而可得平面ACD设的
17、外接圆的半径为，圆心为，则在上，由，可得，解得由题意得球心O在过点且与平面垂直的直线上，令，设，则由可得 ，解得设三棱锥的外接球的半径为，则，所以外接球的表面积选A点睛：对于几何体的外接球的体积、表面积问题，解答的关键是求出球半径，解题时首先要确定球心的位置根据几何体的特征可得球心在过几何体底面多边形外接圆的圆心且与底面垂直的直线上，然后根据球心到几何体各个定点的距离相等建立方程，解方程可得球半径，进而其他问题可得解3A【解析】根据题意知，直角三角形的面积为16其所在球的小圆的圆心在斜边 的中点上，若四面体的体积的最大值，由于底面积 不变，高最大时体积最大，所以， 与面垂直时体积最大.设球小圆
18、的圆心为 ，如图设球心为，半径为 ，则在直角中， 即 则棱锥的体积最大值为为 故选A【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键，考查等价转化思想思想4C【解析】边长为2的等边三角形， 为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，构成以D为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,1， ，所以，球面积，故选C.5B由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE底面BCDE.如图所示，矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点，OGAF.设OM=x
19、,由题得在直角OME中，又MF=OG=1,AF=,，解（1）（2）得故选B.点睛：本题的难点在于作图找到关于R的方程，本题条件复杂，要通过两个三角形得到关于R的两个方程、（2），再解方程得到R的值.6D【解析】因为平面 ， 平面 ，所以 ，又因为 所以可得平面 ，当点在线段 上时，总有，所以的最大值为 ， 的最小值为 ，可得线段长度的取值范围是，故选D.【方法点晴】本题主要考查正方体的性质、线面垂直的判定定理的应用，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用
20、方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.7C【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，它的组成是一个圆柱截去四分之一，再补上以直角边长为的等腰三角形为底面，圆柱上底面圆心为顶点的三棱锥，故体积为，故选C.8C【解析】对于，可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断正确；对于，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断正确；对于，当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断锗误；对于，假设过直线有两个平面与直
21、线平行，则面相交于直线，过直线做一平面与面相交于两条直线都与直线平行，可得与平行，所以假设不成立，所以正确，故选C.【方法点晴】本题主要考查异面直线的定义、面面平行的判定、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.9D过点作交AB于点N，点作交PC于点F,过点作交CD于点E，连接EF.则面平面，.由平面，可得平面，平面与平面之间的距离为，且为直角梯形.由，得，所以.故选D
22、.10D【解析】如图,过点B作垂足为C,过点A作垂足为D.在直角BCO中,在直角三角形中，因为是锐角二面角，所以同理,因为 故选D.点睛：本题的关键是证明利用什么方法来判断选项，由于选项判断的是角的大小关系，所以一般要构造直角三角形，再利用三角函数分析解析.11D【解析】 由题意可得三棱锥的三对对棱分别相等，所以可将三棱锥补成一个长方体，如图所示，该长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体共顶点的三条面对角线的长分别为，设球的半径为，则有，在中，由余弦定理得，再由正弦定理得为外接圆的半径），则，因此球心到平面的距离，故选D. 点睛：本题主要考查了球的组合体问题，本题的解答中采用割补法，考虑到三
23、棱锥 的三对对棱相等，所以可得三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，求出求出球的半径，进而求解距离，其中正确认识组合体的特征和恰当补形时解答的关键.12D【解析】几何体如下图所示，是一个正方体中挖去两个相同的几何体（它是个圆锥），故体积为，故选D.13C【解析】因为球与正方体的每条棱都相切，故其直径为面对角线长，所以半径为，如图，球心为正方体的中心，球心与的外接圆上的点的距离为，其长为体对角线的一半，故，故，也就是，选C.点睛：这是组合体问题，关键是确定出球心的位置以及球心与三角形外接圆上的点的距离.14A【解析】 根据三视图恢复原几何体为三棱锥P-ABC如图，其中， ， 平
24、面 ，计算可得， ，放在外接球中，把直角三角形恢复为正方形，恰好在一个球小圆中，AC为球小圆的直径，分别过和做圆的垂面，得出矩形和矩形，两矩形对角线交点分别为，连接并取其中点为，则为球心，从图中可以看出点共面且都在的外接圆上，在中， ， ，利用正弦定理可以求出的外接圆半径 ， ， ， 平面，则，则球的半径 ，外接球的表面积为，选A.【点睛】如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆
25、的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.本题使用“套球”的方法，恢复底面为正方形，放在一个球小圆里，这样画图方便一些，最主要是原三视图中的左试图为直角三角形，告诉我们平面平面，和我们做的平面是同一个平面，另外作平面和平面的作用是找球心，因为这两个矩形平面对角线的交点所连线段的中点就是球心，再根据正、余弦进行计算就可解决.15A【解析】根据三视图可知，几何体是个球与一个直三棱锥的组合体，球的半径为2，三棱锥底面是等腰直角三角形，面积为，高为2，所以三棱锥的体积，故组合体的体积,故选A.16B【解析】由三视图可知，该几何
26、体是如下图所示的，设为的中点，通过计算得, ，所以，而在等腰三角形中，故平面，所以.设内切球的半径为，则，即，故.17A【解析】如图，过点 作 的平行线交 于点 、交 于点 ，连接 ，则 是平面 与平面 的交线， 是平面 与平面 的交线 ，交 于点 ，过点作 垂直 于点 ，则有与平面 垂直，所以， ，即角 是平面 与平面 的所成二面角的平面角，且 交 于点，过点 作 于点，同上有： ，且有 ，又因为 ，故 而 ，故 ，而四边形 一定是平行四边形，故它还是菱形，即点 一定是 的中点，点 长度的最小值是点 到直线 的距离，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 长度的最小值
27、 故选A【点睛】本题考查空间中两点间最小距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，对学生化归与转化思想、数形结合思想有较高要求18【答案】B【解析】由题意知该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积为，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积为，该组合体体积为：，故选B.19、【解析】：由三视图知：几何体为棱锥，如图可，四棱锥的全面积为，设四棱锥的内切球的半径为，可知20. 【解析】A不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行；B 不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交；C 平行于同一条直线的两个平面平行或相交；D正确.21D【解
28、析】A不正确，点A,C恒不重合；B不成立，点A和点C的最大距离是正方形ABCD的对角线；C不正确，不可能垂直；D.当平面平面时，平面平面，直线和直线垂直，故选D.22. 【解析】如图所示，补成四棱柱,则所求角为 因此，故选C。23. 【解析】以C为原点CD为x轴CB为y轴CG为z轴建立空间坐标系，所以平面的一个法向量为24. 解析：对于D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，甚至可能平行于平面，其余选项均是正确的 故选D25. 易失分提示： 解本题可能出现的问题就是对空间点、线、面位置关系的判定定理和性质定理掌握不清导致误判如：命题中，可能对线面平行关系认识不清，误以为直线在平面内也算
29、平行，认为命题正确；命题中，对点到平面的距离相等，考虑不到点可能在平面两侧，认为命题正确 答案 解析： 中有的可能；，使得，故正确；中包含两个点在平面两侧的情况；容易得，故正确26、27、解 构造正方体（长方体）求解【答案】 D【指点迷津】由三视图求几何体的体积是高考常考内容，关键有三视图得到原几何体。由三视图可在棱长为4的正方体中截得该几何体三棱锥。28、【答案】 B【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中截得三棱锥P-ABC，其中点A为中点，所以。故选B。29、【答案】B【解析】原几何体是四棱锥P-ABCD，如图，最长的棱长为补成的正方体的体对角线，由三视图可知正方体的棱长为2，所以
30、该四棱锥的最长棱的长度为。故选B。30. 【指点迷津】构造长方体，体对角线为已知长度的棱，长方体三个面为投影面。根据题意，用长方体的棱长表示a+b，用不等式求其最值31. 【答案】32. 解析：过作于，则由三垂线定理知，在平面图形中三点共线，下面只需要研究平面图形中点与，分别重合情形即可.33. 【答案】D34. 【答案】C【解析】因为是平行四边形，所以，因为是直二面角，所以平面，即，那么，即取中点，连接，都是直角三角形，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以，所以三棱锥的外接球的球心为点，半径，所以表面积是来源:学科网ZXXK35. 答案】A.【解析】作出该球轴截面的图像如下图所示，依
31、题意，设，故，解得，故该球的半径，.来源:Zxxk.Com36. 【答案】D 试题分析：因为点是上底面内一动点，且点到点的距离等于点到平面的距离，所以，点在连接中点的连线上为使当点运动时，最小，须所在平面平行于平面,选37. 【答案】C试题分析：，平面，平面因此，A正确；由于平面，平面，故平面平面故B正确，当时，为钝角，C错；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理解，故D正确，故答案为C38. 试题分析：如图作于，连结，过作，作于，连结，则设在中，在中，在中，异面直线与所成角的余弦值为，故选B39.试题分析：法一：因为，所以，即， 故。法二：先求线和面所称的角为，在中，所以。故
32、A正确。40. 【答案】C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，设点P的坐标为(0，2)，0,1，点Q的坐标为(1，0)，0,1，PQ，当且仅当，时，线段PQ的长度取得最小值.41【答案】A【解析】记点B到平面AB1C1的距离为d，BB1与平面AB1C1所成角为，连接BC1，利用等体积法，VA-BB1C1VB-AB1C1，即23d22，得d，则sin ，所以.42、【解析】取AB中点D，连接CD，C1D，则CDC1是二面角CABC1的平面角因为AB1，所以CD，所以在RtDCC1中，CC1CDtan 60，C1D.设点
33、C到平面C1AB的距离为h，由VCC1ABVC1ABC，得1h1，解得h.故选A43【解析】由题意可得， ，又平面， 平面 平面， 平面平面平面，又平面平面过作于，则平面，故，在中， ，设，则有中， ，又在中， ，在中， ，又 ，则， ，故答案为.44【解析】如图，点分别为外接圆的圆心，点为球心，因为菱形边长为， ，所以， ， ，故答案为.45【解析】建立如图所示的空间直角坐标系, 假设将沿矩形对角线所在的直线进行翻折时存在某个位置,(是点A翻折后的位置)，使得又平面设,则由得到得到.当a=0时,点位于yoz坐标平面内,此时, .综上可知：当时，将沿矩形对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，
34、使得故答案为：.46 【解析】建立空间直角坐标系,设 当且仅当时取等号.47【解析】椭圆的长半轴为，短半轴为，现构造一个个底面半径为，高为的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得半椭球的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，所以椭球的体积为，故答案为.48【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b0）由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），=（2，0，1），=（2，b，0）. =（2，0，0）设平面APD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为=（x2，y2
35、，z2）则即，令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，2）二面角QPDA的平面角大小为，cos=即解得b=SADQ=S梯形ABCDSADQ=S1S2，S1=，S2=S1：S2=（34）：4故答案为（34）：4点睛：本题的关键是找到点Q的轨迹在四边形ABCD内的部分，它就是一条线段DQ，确定点Q在y轴上的位置,由于本题的背景比较适宜用坐标系和空间向量来解答. 49【解析】设，为中点，平面平面，平面平面，平面，是三棱锥的高，在中， 当且仅当时取等号，三棱锥体积的最大值为点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题
36、常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）根据结合体的结构特征，利用球的性质，列出方程，求得求得半径.50【解析】定点在底面上的射影为三角形的中心，而且底面是正三角形， 三棱锥是正三棱锥， ，令底面三角形重心（即中心）为底面为边长为的正三角形， 是边上的高， ， 直线与底面所成角的正切值为， ， （勾股定理），于是三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为正方体的对角线为
37、外接球的半径为外接球的表面积为，故答案为.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；若面（），则（为外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.51【解析】当平面为时，二面角最大，此时正切值最大，作于，则面，过作于，连接，则是二面角的平面角，在平面图形内， 于，可得，即，连接，作于，则， ，故答案为.52【解析】取中点，连接， 平面为二面角，在中， ，取等边的中心，作平面，过作平面为外接球球心， ，二面角的余弦值是， 点为四面体的外接球球心
38、，其半径为，表面积为，故答案为.53【解析】设正四面体的棱长为，则，所以，解之得，所以。由向量运算的三角形法则可得，所以，而，则。由题设可知，即，所以，应填答案。点睛：本题旨在考查空间向量及空间线面的位置关系等有关知识的综合运用，检测等价化归与转化的数学思想及数形结合的思想和意识及运算求解能力和分析问题解决问题的能力。54【解析】对于四面体体积最大为两个面互相垂直，四面体体积的最大值为，故不正确；三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，正确；若为分别棱的中点，连接，则，根据等腰三角形三线合一得到，连接，容易判断，得到，所以，所以正确；二面角为直二面角时，以为原点所在直线分别为轴，则由
39、向量的数量积可以得到直线所成角的余弦值为，所以正确；当二面角的大小为时，棱的长为，在直角三角形中，作，则，同理直角三角形中，则，在平面内，过作，且，连接，易得四边形为矩形，则，又，即有为二面角的平面角，且为，即，由平面，得到，即有，则，故错误，故答案为.55【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球。设其半径为R, ，所以该球形容器的表面积的最小值为 。【点睛】将表面积最小的球形容器，看成其中两个正四棱柱的外接球，求其半径，进而求体积。56【解析】椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，
40、圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱V圆锥）=2（225）=【点睛】将椭球体体积转化为圆柱体积与同底的圆锥的体积的差。57【解析】如下图所示，设正三角形边长为，则，三棱锥体积通过求导可知 当时，.58.如下图所示，设平面与直线交与点，连接，则为的中点，分别取的中点，连接，因为,则平面,同理可得平面,所以平面平面,由于平面，所以平面,所以点的轨迹被正方形截得的线段是其长度是59.解析： 如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线SE上找到一个点使得，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上在中，故设球的半径为，则中，即点E即为球心，故这个球的体积6061.四边形和的面积分别为4和6，长方体在平面内的射影可由这两个四边形在平面内的射影组合而成. 显然，. 若记平面与平面所成角为，则平面与平面所成角为. 它们在平面内的射影分别为和，所以，（其中，），因此，当且仅当时取到. 因此，.考点：三角函数的化简和求值.62. 试题分析：专心-专注-专业