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1、精选优质文档-倾情为你奉上集合与函数概念知识点1：集合的含义1元素定义：我们把研究对象称为元素；集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合2集合表示方法：集合通常用大括号 或大写的拉丁字母A,B,C表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c表示。3集合相等：构成两个集合的元素完全一样。典例分析题型1：判断是否形成集合例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流；（3）非负奇数； （4）方程x2+1=0的解；（5）某校2011级新生； （6）血压很高的人； （7）著名的数学家； （8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 能组成集合的是_。例2：考察下列
2、对象能形成一个集合的是_。 身材高大的人 所有的一元二次方程 直角坐标平面上纵横坐标相等的点 细长的矩形的全体 比2大的几个数 的近似值的全体 所有的小正数 所有的数学难题知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系1集合的元素特征： 确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2 无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。2元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种)若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；若a不是集
3、合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。注意：常见数集 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q；实数集，记作R；典例分析题型1：集合中元素的互异性的考察例1：由实数-a, a, ,2, -5为元素组成的集合中,最多有_个元素，分别为_。例2：设a,b,c分别为非零实数，则所有的值构成的集合中元素分别为_。例3：含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则_。例4：集合中的不能取得值有_个。例5：由组成1个集合A，A中含有3个元素，则实数的取值可以是（ ） A、1 B、-2 C、6 D、2 例6：以实数a，2-a.,4为元素组成一个集合
4、A，A中含有2个元素，则的a值为 .题型2：集合与元素之间关系的考察例1：用“”或“”符号填空： （1）8 N； （2）0 N； （3）-3 Z； （4） Q； （5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。例2：给出下面四个关系:R, 0.7Q, 00, 0N,其中正确的个数是:( ) A4个 B3个 C2个 D1个例3：下面有四个命题: 若 若的最小值是2 集合N中最小元素是1 的解集可表示为2,2 其中正确命题的是_。例4：给出下列关系：（1） （2） （3） （4） 其中正确的个数为（） A1个 B2个 C3个 D4个题型3：根据元素互异性确定参数的值:
5、例1：已知A= ，若1A，则实数a的值为_.例2：设集合A=，集合B=，已知，则a的值为_。例3：已知集合P的元素为, 若2P且-1P，求实数m的值。例4：若t,求t的值.例5：已知集合M是由0，三个元素组成的集合，且，试求实数m的值。例6：已知集合A，B=，若A=B，求的值。知识点3：集合的表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；(*(oo) 注：（1）书写时，元素与元素之间用逗号分开； （2）集合中的元素可以为数，点，代数式等； （3）列举法可表示有限集，也可以表示无限集。
6、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。 方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式： 如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，x|直角三角形，；(*(oo)注：描述法表示集合应注意集合的代表元素， 点集与数集的区别：如点集：(x,y)|y= x2+3x+2 数集: y|y= x2+3x+2自然语言表示法：例：不是直角三角形的三角形典例分析题型1：选择合适的方法表示集合例1：用列举法表示下列集合：（1）小于5的正奇数组成的集合；（2）能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集
7、合；（3）从51到100的所有整数的集合；（4）小于10的所有自然数组成的集合；（5）方程的所有实数根组成的集合；（6）1到20以内的所有质数组成的集合。例2：用描述法表示下列集合：（1）由适合的所有解组成的集合;（2）到定点距离等于定长的点的集合;（3）方程的所有实数根组成的集合例3：试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程的所有实数根组成的集合；（2）由小于的所有素数组成的集合；（3）一次函数与的图象的交点组成的集合；（4）不等式的解集题型2：根据要求求集合中的元素例1：(1)已知集合M=xNZ，则集合M=_。（2）已知集合C=，N，则集合C=_。例2：已知集合A，B，则集合B用列举法表
8、示为_。例3：方程的解集为用列举法表示为_。例4：用列举法表示不等式组的整数解集合为_。当堂测试1、方程组 的解用列举法表示为_。2、 集合A=，用列举法表示为_。3、 集合B=，用列举法表示为_。4、 集合C=，用列举法表示为_。5、 集合Ax|Z，xN，则它的元素是 。知识点4：子集概念以及集合间的基本关系1子集概念：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，称集合A是集合B的子集。 B A表示： 记作： 读作：A包含于B，或B包含A 当集合A不包含于集合B时，记作AB(或BA) 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： 2集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B
9、是集合A的子集，则集合A与集合B 中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。 如：A=x|x=2m+1，mZ，B=x|x=2n-1，nZ，此时有A=B。3真子集定义：若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集。 记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A）(*(oo)注意：（1）空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：（2）几个重要的结论： 空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。 空集是任何非空集合的真子集； 任何一个集合是它本身的子集； 对于集合A，B，C，如果，且，那么。典例分析题型1：根据子集定义确定两个集合之间的关系例1：判断下列集合之间的
10、关系 (1) N_Z; (2) N_Q; (3) R_Z; (4) R_Q; (5) A=x|(x-1)2=0_B=y|y2-3y+2=0; (6) A=1,3_B=x|x2-3x+2=0; (7) A=-1,1_B=x|x2-1=0; （8）A=x|x是两条边相等的三角形_B=x|x是等腰三角形。例2：判断下列集合的关系.判断下列两个集合之间的关系 （1）A=，B=； （2）A=，B=； （3）A=，B=； （4）A=，B= 例3：用适当的符号填空：（1） ； 0 ； ； （2）2_N； _N； A; （3）已知集合Ax|x3x20，B1,2，Cx|x8,xN，则 A B； A C； 2 C
11、； 2 C例4：已知集合M=，N=，P=，确定试M,N,P之间的关系。题型2：根据集合间的关系求参数的值例1：设集合A=2，8，a，B=2,a2-3a+4且BA，求a的值。例2：已知A=，B=，如果AB，求m的值。例3：设集合A=，B=，若求实数的值。例4：已知集合且，求实数m的取值范围。例5：已知集合，且满足，求实数的取值范围。例6：已知集合A=，B=，若，求出实数的取值范围。 例7：已知集合A=，B=，（1） 若BA，求实数m的取值范围。（2） 当x,没有元素x使x与，同时成立，求实数m的取值范围。知识点5：集合中子集个数1若集合A中有n个元素，那么集合A的子集个数为 *集合A的非空子集个
12、数为-1； 集合A的真子集个数为-1； 集合A的非空真子集的个数为-2；2若集合A=B，且m3，Bx|x3，Bx|x6，则AB 。 例3：（1）设A=x|-1x2,B=x|1x-2，B=x|x0,A=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10，且，试 求p、q；例7：已知A=2，3，a2+4a+2，B=0，7，a2+4a-2，2-a，且AB =3，7，求B题型3：并集和交集的应用（二）例1：设则a的取值范围为_例2：已知集合Ax|-1x2,B=x|2axa+3,且满足AB，则实数a的取值范围是 。例3：设集合S=，T=，则的取值范围是_。例4：已知集合A=，集合B=，且，试求实数的取值范围。知识
13、点7：集合的基本运算（二）1全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么 就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。2补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集 合A相对于全集U的补集, 记作：，读作：A在U中的补集，即 Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集） 典例分析题型1：根据全集和补集定义求【题型1】求补集例1：设全集， 求，例2：设全集，求：（1）和 （2）和 （3）和 （结论：）例3：设全集Ux|-1x3，A=x|-1x3，B=x|x2-2x-3=0， 求，并且判断和集合B的关系。例4
14、：已知A=0，2，4，CUA=-1，1，CUB=-1，0，2，求B=_。例5：已知全集U=R,集合A=x|0x-15,求CUA,CU(CUA)。例6：已知全集为R，集合P=x|xa2+4a+1,aR,Q=y|y-b2+2b+3,bR 求PQ和P。题型2：集合运算的应用例1：若U=1，3，a2+2a+1，A=1，3，CUA=5，则a= ；例2：设全集U=2，3，m2+2m-3，A=|m+1|，2，CUA=5，则m的值为_；例3：已知全集U=1，2，3，4，A=x|x2-5x+m=0，xU，求CUA、m；例4：设全集U为R，若，若， 求。知识点8：函数的概念以及区间1函数概念设A、B是非空的数集，
15、如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作=注意：其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域 与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域.2区间和无穷大 设a、b是两个实数，且ab，则：x|axba,b 叫闭区间； x|axb(a,b) 叫开区间； x|axb， x|axb，都叫半开半闭区间. 符号：“”读“无穷大”；“”读“负无穷大”；“+”读“正无穷大”. 则，.3决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析题型1：函数定
16、义的考察例1：集合A=，B=，下列不表示从A到B的函数是（ ） A、 B、 C、 D、例2：下列对应关系是否是从A到B的函数：求平方；，求算术平方根；，求平方；A=-2,2,B=-3,3,求立方。是函数的是_。例3：下列式子中不能表示函数的是（ ） A、 B、 C、 D、题型2：区间的表示例1：用区间表示下列集合（1） =_。 （2）=_。（3）=_。 （4）=_。题型3：求函数的定义域和值域例1：求函数的定义域（1）； （2）. （3) (4) (5) (6)(7) (8)例2：求下列函数的定义域与值域：类型1：初级函数（1）； （2） (3). 类型2：分离常数法(4) （5） 类型3：换
17、元法（6） （7） （8） （9）类型4：判别式法（10） （11）题型4：求抽象函数的定义域和值域例1：如果函数的定义域是0,1,则函数的定义域为_。例2：若函数的定义域为-1,1，则函数的定义域为_。例3：若函数的定义域为-4,5，则函数的定义域为_。例4：若函数的定义域为(-1,5，则函数的定义域为_。例5：设函数的定义域为0,1,求（1） 函数的定义域（2） 函数的定义域例6：设函数的值域为-2,4)，求函数的值域题型5：判断是否为相同的函数例1：下列各组函数是同一函数的是_。 例2：下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A、 B、C、 D、例3：下列各组中的两个函数是否为同一函数，下
18、列结论正确的是（ ） （1） （2） （3） （4） （5） A、（1）（2） B、（2）（3） C、（4） D、（3）（5）知识点9：函数的表示法1函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图像法2求函数解析式的方法： 待定系数法 换元法 代入法 配凑法 方程组法典例分析题型1：待定系数法求函数解析式例1：已知二次函数满足，图像过原点，求函数的解析式例2：已知二次函数，其图像的顶点是（-1,2），且经过原点，求函数的解析式例3：已知二次函数与轴的两个交点为（-2,0），（3,0），且，求的解析式例4：是一次函数，且满足，求的表达式例5：已知为一次函数，如果，求的解析式例6：设二次函数满足，且=0
19、的两实根平方和为10，图像过点（0,3），求的解析式。题型2：代入法求解析式例1：已知，求例2：已知，求题型3：换元法和配凑法求解析式例1：已知，求的解析式例2：若，求的表达式例3：若，求的表达式例4：已知函数. 求：（1）的表达式； （2） 的值例5：已知函数，且，则_。题型4：方程组法求函数解析式例1：已知函数满足条件，则=_。例2：已知，求的表达式例3：已知函数满足条件，求的表达式例4：若，求的表达式知识点10：分段函数1分段函数定义：在函数的定义域内，对于自变量在不停的取值范围内，函数有不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数。2分段函数的三要素： 分段函数的对应关系：在定义域的不同
20、部分上，有不同的解析式 分段函数的定义域：分段函数的定义域是各段定义域的并集 分段函数的值域：值域是各段值域的并集典例分析：题型1：求函数值例1：已知函数= ，则的值为_。例2：已知函数= ，若，则实数的值为_。例3：已知函数= ，则=_。题型2：画分段函数的图像例1：画出函数 的图像 321-4-3-2-10123-1-2-3321-3-2-1 0123-1-2-3 例2：已知函数的图像如下图所示，则这一函数的解析式为_。321-4-3-2-10123-1-2-3 321-4-3-2-10123-1-2-3例3：请画出函数的图像知识点11：映射1映射的概念：一般的，设A,B都是非空集合，如果
21、按某一种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：AB为从集合A到集合B的一个映射。2映射的分类： 单射 满射 双射（一 一映射）3判断映射个数 若集合A,B的元素分别为m,n,那么，从集合A到集合B的映射的个数为。典例分析题型1：映射定义的考察例1：若A=R，B=R，下列从A到B的对应法则中，是从A到B的映射的是（ ） A、 B、 C、 D、例2：下列对应不是A到B的映射的是（ ）A、A=，B=， B、A=，B=1，C、A=2,3，B=4,9， D、A=R，B=R，例3：下列对应是从集合A到集合B的映射的是（ ）A、A=，B=，对应法则
22、是：求绝对值为的有理数B、A=R，B=R，对应法则是：求倒数C、A=三角形，B=R，对应法则是：求三角形的面积D、A=圆，B=三角形，对应法则是：求圆的内接三角形例4：设集合A=，B=0,1，试问：从A到B的映射共有_个。例5：已知集合A=1,2,3,4，集合B3,4，若令，那么从M到N的映射有_个。例6：设集合A=B=，是A到B的映射，并满足，（1）求B中元素（3，-4）在A中的原象（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象（3）求B中元素（）在A中有且只有一个原象时所满足的关系式。知识点12：函数的单调性1增函数与减函数的定义增函数：一般地，设函数的定义域为： 如果对于定义域内某个区间上的任
23、意两个自变量的值，当时， 都有 ，那么就说函数在区间上是增函数 减函数：一般地，设函数的定义域为： 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时， 都有 ，那么就说函数在区间上是减函数2单调性与单调区间 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间具有单调性 函数的单调区间的书写方式 一个函数有两个或两个以上的单调区间时，不能用“”而应该用“和”或“，”。 单调区间两端的开闭没有严格规定 典例分析题型1：判断函数的增减性例1：设区间，证明：当时，函数在区间上是减函数。 例2：已知函数对任意，总有，且当时，（1） 求证：在上是减函数（2） 求在-3,3上的最大值与最小值例3：
24、函数对任意的，都有，并且当时， （1）求证：在上是增函数 （2）若，解不等式例4：已知函数的定义域是（0，），当时，且 （1）求 （2）证明：在定义域上是增函数 （3）解不等式例5：已知函数 （1）判断在区间（0,1和上的单调性 （2）求时的值域例6：如果函数在上是增函数，对于任意的，下列结论中正确的有_。 题型2：确定单调区间例1：求函数 的单调区间。例2：作出函数的图像，并根据函数的图像找出函数的单调区间。例3：写出下列函数的单调区间（1） （2）例4：判断函数 的单调性题型3：根据增减性求参数的取值范围例1：若函数在实数集上是增函数，则的取值范围为_。例2：若函数在区间-2,3上是增函数
25、，则的递增区间是_。例3：定义在（-1,1）上的函数是减函数，且满足，则实数的取值范围_。题型4：函数的最值问题例1：已知函数，若有最小值-2，则的最大值为_。例2:已知函数，求函数的最小值和最大值例3：求函数 ，的最大值例4：已知函数对任意，总有，且当（1） 求证：在上是减函数（2） 求在-3,3上的最大值与最小值知识补充：复合函数的增减性1复合函数定义：如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，且时，称函数为在上的复合函数，其中叫中间变量，叫做内函数，叫做外函数2复合函数单调性的判断可以根据下表：增增增增减减减增减减减减典例分析题型1：确定复合函数的单调区间例1：已知，求函数的单调区间例
26、2：设函数的单调递增区间是（2,6），求函数的单调区间。例3：如果函数在上是减函数，那么的单调减区间为_，单点增区间为_。函数的奇偶性知识点14：函数的奇偶性1偶函数定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个的值，都有，那么函数就叫做偶函数*偶函数的图像特征：函数图像关于轴对称，定义域也关于轴对称2奇函数定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个的值，都有，那么函数就叫做奇函数*奇函数的图像特征：函数图像关于原点成中心对称，定义域关于原点对称。 3函数奇偶性的运算性质： ,在它们的公共定义域上，有下列结论:偶偶奇奇偶奇偶奇偶不能确定不能确定奇偶不能确定不能确定奇偶奇奇偶偶偶偶奇典例分析题型1:判断奇偶函数例1：判断下列函数的奇偶性（4） 例2：判断下列函数的奇偶性（1）（2）（3） （4）（5）题型2：抽象函数的奇偶性例1：已知函数对任意不等于0的实数都有，求证：函数为偶函数例2：已知函数恒有（1） 求证：函数为奇函数（2） 如果时，并且，试求在区间-2,6上的最值。例3：函数，若对于任意实数，都有求证：为偶函数题型3：根据奇偶性求参数和解析式例1：已知定义域为的函数是奇函数，则。例2：设函数是奇函数，则。例3：函数为偶函数，则实数。例4：已知是定义在上的奇函数，当时，则的解析式为_。例5：已知函数是奇函数，且，求的解析式 专心-专注-专业