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1、函数的单调性教学设计石嘴山市第十四中学王 玲一、 大纲分析函数单调性是研究函数概念基础上学习的第一性质，依据普通高中数学课程标准和数学教学大纲，教学重点确立为：判断或证明函数单调性的方法步骤。 又因为教学对象是高一新生， 准确进行逻辑推理比较困难， 所以把函数单调性的定义， 判断或证明函数单调性确立为教学难点。二、教材分析1、教材的地位与作用本课是人民教育出版社高中数学第一册第二章第三节的内容。函数的单调性是函数重要性质之一，应用非常广泛，在教材中起着承上启下的作用一方面，是初中相关内容的深化、提高，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识；另一方面，通过对函数单调性的学习，可以利用函数单调
2、性的定义判断某些函数的单调性及单调区间；比较两个数的大小；解方程或不等式；求函数的值域、最值等。三、教学建议分析研究著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”问题，充分调动学生积极性，营造亲切活跃的课堂氛围； 渗透建模思想，培养学生应用数学的意识，通过实例使学生感受单调性的内涵，缩短心理距离，降低理解难度。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 四、教学目标（1）知识目标：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、
3、证明函数单调性的方法（2）能力目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想和方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力（3）情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程五、教学重点、难点重点：函数单调性的定义；判断、证明函数的单调性. 难点：归纳并抽象函数单调性的定义. 六、学法、教法分析对学生来说，函数的单调性早已有所了解， 然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质。学生对此有一定的感性认识， 对概念的理解有一定好处， 但另
4、一方面学生也会觉得是已经学过的知识，常感到乏味。因此，在设计教案时，引导学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，发展数学思维能力。探究时先以基本初等函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 为载体，针对2xy、2xy， （0 x） 、2xy、2xy（0 x）的图象，依据循序渐进原则，设计几个问题，学生直接回答的同时教师利用多媒体的优势，展示图象及动画， 使学生理解增减函数定义。加强了对概念的分析， 希望能够使学生认识到看似简单
5、的定义中有不少值得去推敲、 去琢磨的东西， 其中甚至包含着辩证法的原理。七、教学过程(一) 课前探究德国有一名著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究，他经过测试，得到了以下数据：以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数 , 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图：问题 1：当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打时间间隔t刚记忆完毕20 分钟后60 分钟后89 小时后1 天后2 天后6 天后一个月后记忆量y(百分比 ) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 精品资料 - -
6、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 算如果对待刚学过的知识？问题 2： “艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？（二）新课导入知识探究一：问题 1：分别作出函数2xy，2xy， （0 x） ，的图像，这两个函数图像分别是什么？二者有何共同特征？问题 2：如果一个函数图象，从左自右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？问题 3：如图，函数)(xf在定义域I内某个区间D上的图像，对于该区间
7、上任意两个自变量1x和2x，当1x2x时，)(1xf与)(2xf的大小关系如何？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （三）教学过程问题 4：我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数)(xf在区间D上是增函数” ? 定义：一般的，设函数)(xf的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1x，2x，当1x2x时,都有)(1xf)(2xf,那么就说函数)(xf在区间D上是增函数；（3）知识探究二：问题
8、1：考察下列两个函数2xy，2xy， （0 x） ，这两个函数图像分别是什么？二者有何共同特征？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 问题 2： 我们把具有上述特点的函数定义为减函数，那么怎样定义“函数)(xf在区间D上是减函数”定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1x，2x，当1x)(2xf,那么就说函数)(xf在区间D上是减函数. 定义：如果函数)(xfy在区间D上是增函数或减函数， 则称函数)(xf在这区间具
9、有（严格的）单调性，区间D叫做)(xf的单调区间思考：如图，是函数2xy的图像，我们能说该函数在 R 上的单调的吗？为什么？从中你又悟出了什么？（单调性是曲线的局部性质）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （4）例题讲解例 1：如图是定义在闭区间 5,5上的函数)(xfy的单调区间，以及在每一区间上，函数)(xfy是增函数还是减函数？(根据图像说明一个函数的单调区间，单调区间的写法) 例 2：如何从解析说明式的角度说明函数2xy在)
10、0 ，上是增函数？ (利用定义确定或证明函数的单调性 ) 解：任意取210 xx，有0)(21212221xxxxxx，即2221xx，所以2)(xxf在），0为增函数思考：画出反比例函数xy1的图像 .这个函数的定义域I是什么？它在定义域I上的单调性是怎样的，证明你的结论。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 问题 2：能否将证明过程归结成几个步骤？(指导学生学会归纳总结，形成一种技能) 利用定义确定或证明函数)(xf在给定的区间D
11、上的单调性的一般步骤：分析：实质就是比较大小证明步骤：1. 取值：任取1x，2xD，且1x)(2xf；3. 变形：通常是因式分解和配方；4. 定号：判断差)(1xf)(2xf的正负 ; 5. 结论：指出函数)(xf在给定的区间D上的单调性 . （四）小结：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“ 给定区间” 、“ 属于 ” 、“ 任意” 、“ 都有” 这几个关键词语； 在写单调区间时不经轻易用并集的符号连结； 最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤。（五）作业1.课本 P60页练习第 1，2，3，4 题。2.证明函数2xy在)0,上是减函数 。八、教学后论总的来说，
12、本堂课是以学生为主体的。 给学生以较多的活动机会，可总结为四给：（一）给学生以看的机会； （二）给学生以想的机会；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （三）给学生以说的机会； （四）给学生以练的机会。这样，既调动了学生的积极性，又培养学生的观察, 归纳,抽象的能力 , 同时渗透数形结合 , 从特殊到一般的数学思想。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -