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1、1.1.9函数的单调性与最大（小）值（1）第一课时单调性【教学目标】1. 知识与能力目标（1）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义。（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 。（3）理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别。2. 过程与方法目标（1）逐步借助图像、表格、自然语言和数学符号语言，建立增（减）函数的概念。（2）学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养，借助函数图象的直观性得出函数的最值，（3）培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力。3. 情感态度与价值观目标（1）通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯
2、. （2）通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣；学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习的信心。【教学重点难点】重点 ：函数的单调性和最值及其几何意义难点 ：增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性【教学过程 】导入新课如图 1-3-1-8 所示 ,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：图 1-3-1-8 随 x 的增大， y 的值有什么变化？引导学生回答，点拨提示，引出课题. 设计意图 :创设情景，引起学生兴趣. 推进新课新知探究提出问题问题 :分别作出函数y=x+2,y=-x+
3、2,y=x2,y=x1的图象， 并且观察自变量变化时，函数值的变化规律 . 如图 1-3-1-9 所示 : 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 图 1-3-1-9 问题 :能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 设计意图 :从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知. 问题 :如图 1-3-1-10 是函数 y=x+x2(x0)的图象 ,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图 1-3-1-10
4、 设计意图 :使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性. 问题 :如何从解析式的角度说明f(x)=x2在 0,+) 上为增函数？设计意图 :把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫. 问题 :你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 设计意图 :让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. 活动： 先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 引导方法与过
5、程： 问题： 引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的 (增函数、 减函数 )，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质. 问题：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识. 学生的困难是难以确定分界点的确切位置. 问题： 通过讨论， 使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究. 问题：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1、x2. 问题：师生共同探究：利用不等
6、式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义. 归纳总结： 1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x) 在区间 D 上是增（减）函数，那么在区间 D 上的图象是上升的（下降的）. 2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数. 讨论结果： (1)函数 y=x+2 ，在整个定义域内y 随 x 的增大而增大；函数y=-x+2 ，在整个定义域内 y 随 x 的增大而减小 .(2)函数 y=x2，在 0,+) 上 y 随 x 的增大而增大，在(-,0)上精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -
7、- - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - y 随 x 的增大而减小 .(3)函数 y=x1，在(0,+ )上 y 随 x 的增大而减小，在(-,0) 上 y 随 x 的增大而减小 . 如果函数f(x) 在某个区间上随自变量x 的增大， y 也越来越大，我们说函数f(x) 在该区间上为增函数；如果函数f(x) 在某个区间上随自变量x 的增大， y 越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数. 不能 . (1)在给定区间内取两个数，例如2 和 3，因为 2232，所以 f(x)=x2在 0,+) 上为增函数 . (2)仿(1)，取多组数值
8、验证均满足，所以f(x)=x2在 0,+) 上为增函数 . (3)任取 x1、 x2 0,+ ), 且 x1x2,因为 x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)0,即 x12x22.所以 f(x)=x2在 0,+)上为增函数 . 略应用示例例 1 课本 P29页例 1. 思路分析： 利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答. 点评： 本题主要考查函数单调性的几何意义. 图象法求函数单调区间的步骤: 画函数的图象；观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间. 图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法. 答案： 略. 变式训练课本 P32练习 4. 例 2 课本 P3
9、2页例 2. 思路分析： 按题意，只要证明函数p=Vk在区间（ 0，+）上是减函数即可，用定义证明. 点评： 本题主要考查函数的单调性. 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：（定义法）任取 x1、x2D，且 x1x2；作差 f(x1)f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；下结论（即指出函数f(x) 在给定的区间D 上的单调性） . 易错 分析： 错取两个特殊值x1、x2来证明 . 答案： 略. 变式训练判断下列说法是否正确：已知 f(x)=x1,因为 f(-1)f(2), 所以函数 f(x) 是增函数 . 若函数 f(x
10、) 满足 f(2)f(3), 则函数 f(x) 在区间 2,3上为增函数. 若函数 f(x) 在区间 (1,2和 (2,3)上均为增函数，则函数f(x) 在区间 (1,3)上为增函数 . 因为函数f(x)=x1在区间 (-,0)和(0,+ )上都是减函数，所以f(x)=x1在(-,0)(0,+ )上是减函数 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 活动： 教师强调以下三点后,让学生判断 . 1.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了
11、定义域和相应区间就谈不上单调性. 2.有的函数在整个定义域内单调(如一次函数 )，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数 )，有的函数根本没有单调区间(如常函数 ). 3.函数在定义域内的两个区间A、B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB 上是增（或减）函数. 答案： 这四个判断都是错误的. 思考： 如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即可.也就是说，只要找到两个特殊的自变量，不符合定义就行. 知能训练课本 P32练习 2. 拓展提升试分析函数y=x+x1的单调性 . 活动： 先用计算机画出图象
12、，找出单调区间，再用定义法证明. 答案： 略. 课堂小结学生交流在本节课学习中的体会、收获， 交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结 . (1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性. (2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论. (3)数学思想方法：数形结合. (4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的. 【作业 】:课本 P39习题 1.3A 组 2、3、4 【反思 】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -