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1、凸显迁移能力的教学设计个案“从问题到方程”教学实录与设计说明南京市宁海中学分校卜以楼教学内容苏科版义务教育课程标准实验教科书数学七年级上册“4.1 从问题到方程”。1 内容分析方程是连接代数式与函数的桥梁，是初中代数中重要的内容之一 其本质是将未知数和已知数享有同等的地位，参与数、式的运算，从而打开已知和未知之间的通道，达到解决问题的目的用方程解决问题的教学要点，不是它的类型，也不是列表法、图示法等具体的方法分析，而是寻求已知与未知间的数量关系 （相等关系） 从这个角度看， 就是把实际问题转化为数学问题 （方程问题），即将未知数引进等式，再通过解方程解决问题本节内容，为方程的起点，学生在小学数
2、学学习过程中已经接触过，学生对此内容并不陌生 关键是要让学生清楚为什么要用方程来解决问题？小学算术不可以吗？为什么要换个角度去研究？教学目标1通过鸡兔同笼的解法探究，构建算术方法向方程方法的转化活动，自然衔接中、小学数学知识。2通过对以“秋游”为主题的系列问题探究，初步会用方程表达数量间的相等关系，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型，3通过对鸡兔同笼问题、 “秋游”为主题的系列问题、 “方程与天平”的问题分析，让学生体验在生活中学数学、用数学的价值，感受学数学的乐趣教学重点体验方程是刻画现实世界一种有效的数学模型，用方程表达数量间的相等关系教学难点从实际问题中建立方程模型2 教学实录*
3、 原载于中国数学教育 （初中（中国数学教学专业委员会），20XX 年第 11 期。被人大复印资料初中数学教与学 20XX 年第 3 期全文转载。2.1 趣题再解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 2.1.1 趣题引入鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一， 大约在 1500 年前，我国古代一部较为普及的算书 孙子算经就记载了这个有趣的问题它还曾经飘扬过海传到日本等国请看题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？2.1.2 探
4、索算术解法问题 1 请同学们回忆一下，在小学里是怎么解决这个问题的？生1：把兔子的足砍去一半 , 则有 35270 （只）足, 那么被砍去的足有947024 （只）, 故有 24212（只）兔子。师：噢，你是运用假设把兔子的足砍去一半的方法来解决的。这个方法很好，大数学家孙子就是用这种方法来解决该问题的，我们就把它称之为“砍足法”。 （板书： “砍足”法）生2：我受生1解法的启发，想出如下解法的：假设让兔子全“起立”，那么鸡、兔共有352=70（只）足，而实际多了94-70=24（只）足，故有 24=12（只）兔子师：生2的想法颇具“拟人”的味道，这是一种创新，而且更具有人性化，很有研究价值。
5、我们可将此方法称为“兔立法” （板书： “兔立”法）。生3：老师，我是这样想的，兔有4 只足，鸡有 2 只足，这样对鸡是否有些不公平？不过我又想，兔子没有翅膀，而鸡有2 只翅膀，这样一想，也能算是公平了，和谐了我们如果把鸡的两只翅膀也算足的话，那么就有354=140（只）足，这就说明鸡有14094=46（只）翅膀，故原来有 46223（只）鸡。师 ：生3是假设将鸡 2 只翅膀也算作足，让鸡与兔和谐共生。因此，我们可将此方法称之为“公平法”（板书： “公平”法）。事实上这种解决问题方法，数学家张景中院士给青少年讲数学时，早就运用了，看来生3具有数学家的潜质噢！2.1.3 引入方程解法问题 2 上
6、述解决问题的方法主要运用的是小学数学知识，请同学考虑一下，这几种方法有什么共同点？生4：我认为上述解决问题的方法虽然不尽相同，但是它们都是在假设的基础上进行的。师： 生4的回答很好，从上述的解法中，我们体验到了假设思维的妙趣虽然有些事情并没有发生，但我们可以在想像中假设它发生了，于是出现了合乎解决问题的情境，从而获得问题的答案故上述解法，其实质就是“假设法” 。问题 3 我们能否沿着假设法的思路, 通过用字母表示未知数的的方法来解决该问题? 生5： 假设鸡有 x 只，则兔有 (35-x) 只 根据鸡兔共有 94 只足，就有 2x+4(35-x)=94. 余下的问题就变成求x 的纯数学问题了 .
7、 师：生5同学的思路非常清晰，它将小学阶段学习的“ 假设法“迁移到我们初中数学中。今天我们就来研究从问题到方程（板书：从问题到方程）。2.2 主题式探究师：秋天是个收获的季节。学校准备组织部分同学去秋游。小明是秋游活动的负责人，你们能帮他解决下列问题吗？请看题。问题 4 学校组织七年级94 名三好学生到玄武湖划船秋游，共用船35 条，若每条大船可精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 以坐 4 人， 每条小船可以坐 2 人， 如果小船有
8、x 条,那么可得方程。生1：因为“坐大船的总人数 +坐小船的总人数 =94 ” ，于是有方程2x+4(35-x)=94。师：俗话说，兵马末动，粮草先行。现决定秋游活动自带水果，你能帮小明当好这个后勤部长吗？请看题。问题 5 用 94 元钱买苹果和橘子共35 斤，已知苹果 4 元每千克， 橘子每斤 2 元每千克如果买了 x 斤橘子，那么可得方程。生2：由于“橘子总价格 +苹果的总价格 =94 ” ，则有方程2x+4(35-x)=94。师： 当秋游回来，学校正举行球赛，有一个有关球赛的问题需要小明解决，你们能帮小明解决吗? 问题 6 某球队参加联赛，胜一场得4 分，负一场得 2 分，该队赛了 35
9、 场, 共得 94 分该队负了多少场(用方程表示 ) ？生3： 胜的场数 4+负的场数 2=94解: 设该队负 x 场，那么胜 (35-x)场，可得方程： 2x+4(35-x)=94. 师： 看完球赛 , 回到教室，小华向小明请教了两道习题，你们能帮小华解决吗? 问题 7 已知师傅每小时做4 个零件，徒弟每小时做2 个零件现师、徒两人在35 小时内完成 94 个零件的加工任务那么徒弟做了多长时间(用方程表示 ) ? 生4：根据“徒弟做的零件总数+师傅做的零件总数 =94” ，可以列出方程。解: 设徒弟做了 t 小时，则有 2t+4(35-t)=94. 2.3 变式体验2.3.1 变式训练问题
10、8 在一次电脑知识竞赛中共有20 道题对于每道题， 答对了得 5 分，答错了或不答的扣 3 分，邓民同学的得分是84 分，则他答对多少道题(用方程表示 ) ? 生1：我可以根据“答对的得分答错或不答的扣分=84” ，列出方程。解: 设答对 x 道题，那么答错 (20-x)道题， 5x-3(20-x)=84 2.3.2 体验平台师：我想同学们也一定愉快地和小明度过了一个美好的秋日，而且还学会了用方程去解决实际问题的方法。下面让我们一起再体验一下用方程去解决问题的快乐。（学生练习课本92 页试一试、练一练）2.3.3 心灵升华师：现实生活中充满了大量的相等关系，方程的思想无处不在， 现在就让我们再
11、去感受一下方程的思想。方程与天平 1 方程与天平 2 如图所示天平， 可以得到的方程为：如图所示天平， 可以得到什么样的方程？x+2 = 10 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 心灵感悟：方程是解决实际问题中相等数量关系的有效模型. 2.4 仿真中考师：看来同学们今天对方程的相关知识学得不错，下面通过二道中考题，让同学们了解一下中考对这部分知识的要求，提前感受一下中考。1(20XX 年江苏徐州卷 ) 某通讯运营商的短信收费如下：发送
12、网内信息每条0.1 元，发送网际信息每条 0.15 元。该通讯运营商的小王某月发送以上两种短信共计150 条，依照该收费标准共 支 出 短 信 费 用19元 。 若 设 小 王 该 月 发 送 网 内 短 信x条 ， 则 可 得 方 程_. 2。 （20XX 年浙江 ?台州卷）四川“ 512”大地震后，灾区急需帐篷。某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共青团员2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6 人，乙种帐篷每顶安置4人 ， 共 安 置9000人 ， 设 该 项 企 业 捐 助 甲 种 帐 篷x 顶 ， 则 可 得 方 程_. 2.5 合作交流师：请同桌间根据老师提供的情境自己出题、交
13、换答题、相互评价参考情境：鸡兔同笼类型问题、购物问题、球赛问题（要求：只列出方程，不要求解答 ）2.6 反思小结师： 通过本节课的学习，同学们对方程的相关知识，又有什么新理解呢？生1： 用方程解决问题的方法好像是一种假设法。生2： 从“问题到方程”的关键：建立含有未知数的方程 . 生3： 从“问题到方程”的实质：方程是解决实际问题中相等数量关系的有效模型. 生4： 从“问题到方程”的思想：实际问题方程模型生5： 从“问题到方程”的方法：实际问题数学问题确立等量关系设未知数列方程2.7 课后延伸“新鸡兔同笼问题”：已知每公斤五角硬币价值132 元，每公斤一元硬币价值165 元，现有总重量为两公斤
14、的硬币，总数共计 462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少枚？3 教学设计说明精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 本节课的教学设计紧紧围绕“方法迁移” 、 “知识迁移” 来展开。通过引导学生经历从小学算术（算法）到中学数学（方程）的探索历程，来体现“方法迁移”；通过对同一模型（ 2x+4(35-x)=94）的不同背景的呈现，来体现“知识迁移” 。这样设计主要是让学生经历将实际问题数学化，体验用方程的模型来解决实际问题的过程， 让学生
15、初步感受用方程解决实际问题比小学算术方法既简单又深刻，让学生体验方程是解决实际问题的有效杠杆，它具有省时省力之效。31 关于教学目标的落实首先，教学中通过“砍足法” 、 “兔立法”、 “公平法”等解法迁移，激发了学生对数学的美好情感一开始就将知识与情感有机地整合到课堂教学之中其次，通过将不同问题的“解法归一” ，让学生深度思考，思维迁移，使学生充分认识“方程是刻画现实生活中相等关系的有效模型”，体验在生活中学数学、用数学的价值再一次保证“方法与过程”、 “情感与价值观”等目标有效的实施具体的讲，在以“秋游”为主题的系列问题探究中，着重落实“知识与技能”目标，在以鸡兔同笼的解法探究中，着重落实了
16、“过程与方法”目标，在对以“方程与天平”的问题分析中，着重落实了“情感态度与价值观”的目标当然，三维目标的落实是不可分割的一个有机统一体，它贯穿在教学设计的全过程中。32 关于教学过程的设计教学过程是课堂教学设计的核心教学任务、教学目标、教学对象的分析，教学媒体的选择，课堂教学结构的选择组合等， 都将在教学过程中得到体现 课堂教学要求我们关注学生的主动参与，让学生在观察、分析、讨论、探究中，在情感的体验中，进行有效迁移在这样的理念下，教学的过程是呈现主题或网状思考状态，教学诸因素不是沿着“教”这条单线前行，而在“学”与“教”的交错中，按照教学目标、教学任务动态前行本节课的教学过程设计有如下特点
17、。情境导入遵循从最近发展区出发。每节课的开始， 是师生建立情感的第一座桥梁，也是经营整个课堂气氛的一个重要环节导入环节应当做好两个方面的工作：一是在上课开始， 运用新颖的刺激和引人入胜的活动，引导学生把注意力迁移到新的学习课题，引起学生对课题的关注， 使学生心理活动集中于要掌握的内容；二是利用学生熟知的素材，把它作为“引子”过度，找到新知识与学生原有知识经验的“切合点”，把新知识“同化”或“顺应”迁移到已形成的知识结构中，从而达到学习新知识的目的。本节课的情境创设，没有使用课本中提供的“天平情境”，而采用古代“鸡兔同笼”作为问题情境，主要基于以下几个方面的考虑：一是从学生最近发展区出发，通过对
18、“鸡兔同笼”的趣题征解活动，来重新激发学生学习数学的兴趣，再次唤起学生的求知欲；二是通过“砍足法”、 “兔立法” 、 “公平法”的解法归一，得到解决问题的本质是一种思想，即假设思想，通过这样的过程，培养学生的迁移能力；三是通过将假设法迁移到用方程方法解决问题，为学生提供非常自然、得体、流畅的思维场景（通过老师的提问：我们能否沿着假设法的思路, 通过用字母表示未知数来解决问题呢?） ，为迁移能力的发展作最有效的铺垫。主题式探究坚持凸显问题的本质。主题式探究是围绕某一中心问题展开“形散神不散”的探究迁移活动在主题式探究中，问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
19、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 是核心，没有问题就没有探究，更没有有效的思维迁移。本节课的主题式探究活动，通过对“鸡兔同笼” 问题探究形成的基础，巧妙地选择学生即将进行的“秋游”主题活动（上这节课时正值学校准备组织秋游活动），使学生倍感亲切，增强了学生的探究欲望具体的探究活动，一是通过对同一模型2x+4(35-x)=94 来展开迁移活动，让学生体验“同一个方程模型可表述不同的问题背景” 。首先，将问题背景迁移到秋游活动中“用船情况”；然后，将问题背景迁移到秋游活动中协助 “后勤部长”工作；接着，将问题
20、背景迁移到秋游结束后球讯球赛中；最后，将问题背景迁移到小明帮助小华提出的问题。让学生感受生活中无处没有 “从问题到方程”，进一步增强学生学习此知识的必要性的认识设计这些不同背景的迁移， 一是让学生充分认识到方程的实用性，二是让学生感受方程的本质美二是在变式训练中，设计了异于方程2+4(35-)=94 的“知识抢答”问题（其模型为：5x-3(20-x)=84） ，主要是让学生形成“不同的方程可以表述的不同背景”的经验。并在此后安排练习，让学生有更多的体验。心灵升华意在将知识内化为积极的情感。学习的目的不仅仅是让学生学习具体的知识，而是让学生从知识中获取迁移方法， 使学生会学，使学生获得积极的情感
21、体验，对知识形成正向迁移的能力本节课通过“趣题征解” 、 “自主探究”、 “变式探究”、 “体验平台”等教学环节，让学生体验用方程去解决问题的快乐。然后在此基础上指出，方程的思想无处不在，无处不有这时学生的思维力度已上升到了一个新的火候，已具备了知识的横向迁移能力此刻要求学生来感悟 “方程与天平”的联系，那么学生对天平的认识，必然是不仅仅停留在小学那种简单的在“形”中“看”，而是在“数”中“思”，即由形象思维迁移到理性思维，有力地落实了数学课程标准提出“螺旋上升”的要求巩固练习考虑强化练习的内推力。学生对知识和技能的掌握不是一蹴而就的即使是学生已经理解了的东西，不巩固也会遗忘，不练习也难以达到
22、熟练的程度因此，强化巩固是课堂教学不可缺少的环节本节课的练习安排了两个方面一是课本中的练习题，主要是让学生进一步在“做”中“学”，“练”中“思”；二是让学生将视角迁移到中考试题的解答上，让学生感受中考，增加学习的自信心和自信心小结反思基于提升学生思维。好的课堂教学，不仅应当引人入胜，而且还应有发人深思、余味无穷的小结反思课堂小结不仅仅是对教学内容进行梳理，归纳总结，理清知识脉络，还要促进知识的拓展、延伸和迁移，以便实现提升学生思维的目的正是基于上述的思考， 本设计要求学生通过对学习过程的小结与反思，得到用方程解决问题的关键、实质、思想和方法并让学生探究“新鸡兔同笼问题”，再次激发学习热情，鼓励
23、探索创新33 关于预设和生成的设计教学设计应该是一个教学构想，这就要求教师改变以往为“教”而“写”教案教学设计要将主要精力服务于主体学习的“学案”的预设上，使课堂教学从教师的预设逐渐迁移到互动生成精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 本节教案的设计，在“趣题征解” 、 “自主探究”、 “体验平台”、 “变式训练”、 “心灵升华”、“合作交流”、 “反思小结”、 “课后延伸”等教学环节，都留有较大的迁移空间，具有较大的活动弹性 对问题的探讨可以从宏观层面， 又可以从微观层面； 对解决某一问题的方法可以探求一题多解，又可以不要求一题多解； 对于教学环节也不一定要每环必究 这就为教师的自主发挥留下较多空间精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -