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1、精选优质文档-倾情为你奉上第2讲：角度的存在性问题知识精讲【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点；（1）求抛物线的表达式；（2）求证：；（3）若点是抛物线上的一点，且，求直线的表达式【参考答案】（1）；（2）证明略；（3）或思路点拨1设求抛物线的交点式比较简便2第（2）题求两个锐角的正切值相等，可以得到两个锐角相等3第（3）题先把3个角的关系，转化为PCB2，再按点P与CB的位置关系分两种情况讨论满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(4, 0)两点，所以ya(x1)(x4)代入点C(0, 2)，得所以抛物线的表达式为（2）如图2，tanCAO2如图3
2、，tanBCO2，所以CAOBCO图2 图3（3）如图2，图3，由于CAOBCO，根据等角的余角相等，得12因为PCBACBBCO，所以PCBBCOACB12PCB存在两种情况：如图4，当点P在CB的右侧时，由PCB2，得CP/x轴此时直线CP的解析式为y2如图5，当点P在CB的左侧时，设CP与x轴交于点D由PCB2，得DCDB设D(x, 0)，根据DC2DB2，列方程x222(4x)2解得所以D由C(0, 2)、D，得直线CP的解析式为图4 图5 图6考点伸展如果第（3）题的条件不变，求点P的坐标第一种情形，如图4，当CP/x轴时，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，所以P(5, 2)第二种情
3、形，如图6，设P作PEy轴于E，那么所以解得x0，或所以P【例2】已知在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为，其对称轴交轴于点，点在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧；（1）当时（如图），求抛物线的表达式；（2）在第（1）小题的条件下，当时，求点的坐标；（3）点在对称轴上，且，求的面积 【参考答案】（1）；（2）；（3）10或22思路点拨1抛物线的解析式中隐含了对称轴（点B）和点A的坐标，根据ABBD求出点D的坐标，再代入解析式求待定系数a2看着ABD，结合BABD，不由得让人联想起“三线合一”3以ABD为外角，构造等腰三角形BAG，BGBA，这样就满足ABD2AGB4根据对称性，AGB的顶
4、点G存在两种情况满分解答（1）由yax28ax3，可得A(0, 3)，抛物线的对称轴为直线x4所以B(4, 0)，AB5当BDAB5时，D(4, 5)将点D(4, 5)代入yax28ax3，得所以（2）如图2，作PEBD于E设点P的坐标为当DP/AB时，所以 图2解方程，整理，得x214x400所以x10，或x4（与点D重合，舍去）所以P（3）如图3，在DB的延长线上截取BGBA5，那么AGBBAG又因为ABDAGBBAG，所以此时AGBABD此时SABG10如图4，作AHBD于H，点G关于直线AH的对称点为G，那么GHGH8所以BGBHGH11此时SABG22图3 图4 图5考点伸展第（3）
5、题也可以从ABD的平分线开始思考：如图5，作ABD的平分线与y轴交于点C因为12，1C，所以2C所以ACAB5过点A作BC的平行线交抛物线的对称轴于点G，那么四边形CAGB是平行四边形所以1G，BGAC5所以AGBABD此时SABG10求点G的过程同上【例3】在平面直角坐标系中，抛物线与轴角于点，与x轴的正半轴交于点，点D在线段OB上，且，联结AD、将线段AD绕着点D顺时针旋转得到线段DE过点E作直线轴，垂足为H，交抛物线于点F（1） 求这条抛物线的解析式；（2） 联结DF，求的值；（3） 点G在直线上，且，求点G的坐标参考答案：（1）； （2）； （3）满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于点
6、B(5, 0)，设，代入点A(0, 3)，得3m3所以m1所以（2）如图2，由AODDHE，得DHAO3，EHDO1所以E(4, 1)由，得F(4, 3)由D(1, 0)、F(4, 3)、E(4, 1)，可得DFE45，DF，EF2如图3，作EMDF于M，那么EMFM在RtDEM中，EM，DMDFFM2，所以DE所以cosEDF图2 图3（3）符合条件的点G有两个：如图4，当点G在DE上方时，由EDGEFD45，DEG是公共角，可得EDGEFG所以ED2EFEG所以102EG所以EG5此时G(4, 6)如图5，当G在DE下方时，GDG是直角三角形此时DH2HGHG所以96HG所以HG此时G(4
7、,)图4 图5 【例4】已知顶点为的抛物线经过点，与轴交于、两点（点在点的左侧）；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结 、，求的面积；（3）点在轴正半轴上，如果，求点的坐标参考答案：（1）； （2）3； （3） 满分解答（1）设抛物线的顶点式为ya(x2)21，代入点B(0, 3)，得a1所以这条抛物线的解析式为y(x2)21x24x3（2）由yx24x3(x1)(x3)，得C(1, 0)，D(3, 0)如图2，由A(2,1)、B(0, 3)、D(3, 0)，可得BDO45，ADO45，BD，AD所以SABD3（3）如图3，以AB为斜边构造等腰直角三角形GAB，以G为圆心、GB为半径画圆，与
8、x轴交于点P（圆与x轴右侧的一个交点），根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知APB45如图4，由BMGGNA，得BMGN，MGNA设G(m, n)，那么mn1，3nm2解得m3，n2所以G(3, 2)设P(x, 0)根据GB2GP2，列方程3212(x3)222解得，或（这是圆与x轴左侧的交点的横坐标，此时APB135）所以点P的坐标为图2 图3 图4【裴文通老师和顾晓琴老师提供的解法】因为BDO4513，APB4523，ADO4524，所以12，34所以PBDAPD所以于是DP2DADB6所以DP，OP所以P图5【例5】已知在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，且与轴相交于点；（1
9、）求这个二次函数的解析式并写出其图像顶点的坐标；（2）求的正弦值；（3）设点在线段的延长线上，且，求点的坐标参考答案：（1），顶点； （2）； （3），满分解答 （1）将A(3, 0)、B(m, m1)两点分别代入yx2mxn，得解得m2，n3所以yx22x3(x1)24所以C(0, 3)，顶点D(1, 4)（2）如图2，作DEy轴于E由A(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)，可得ACODCE45，AC，DC所以ACD90所以AD2AC2DC218220所以AD所以tanCAD，sinCAD（3）直线CD的解析式为yx3，于是可设P(x, x3)作PHx轴于H，当PAOCAD时，由ta
10、nPAOtanCAD，得当P在x轴上方时，解得此时P（如图2所示）当P在x轴下方时，解得x6此时P(6,3)（如图3所示）图2 图3【例6】如图，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线与x轴相交于点A(-1,0)和点B，与y轴相交于点C(0,3)，抛物线的顶点为点D，联结AC、BC、DB、DC（1）求这条抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）求证：ACODBC；（3）如果点E在x轴上，且在点B的右侧，BCE=ACO，求点E的坐标参考答案：（1），； （2）略； （3）满分解答（1）由抛物线yx2bxc与x轴相交于点A(1, 0)，设y(x1)(xm)代入点C(0, 3)，得m3所以y(x1)(x3)
11、(x22x3)x22x3(x1)24所以点B的坐标为(3, 0)，顶点D的坐标为(1, 4)（2）如图2，由B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)，可知B、C两点间的水平距离、竖直距离都是3，C、D两点间的水平距离、竖直距离都是1因此BC、DC与y轴的夹角都是45所以BCD90，tanDBC由A(1, 0)、C(0, 3)，得OA1，OC3，所以tanACO所以ACODBC所以ACODBC（3）设CE与BD交于点G由BCEACODBC，得GBGC于是可得CG是RtDBC斜边上的中线，点G是BD的中点所以G(2, 2)作GHy轴与H，那么，即解得EO6所以E(6, 0)图2 图3 图4达
12、标检测【1】如图，抛物线（）经过点，与轴的负半轴交于点，与轴交于点，且，抛物线的顶点为（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结、，求四边形的面积；（3）如果点在轴的正半轴上，且，求点的坐标【参考答案】解：（1）抛物线与轴交于点， ， 又点在轴的负半轴上， 抛物线经过点和点，解得 这条抛物线的表达式为（2）由，得顶点的坐标是联结点的坐标是，点的坐标是，又，（3）过点作，垂足为点， 在Rt中，； 在Rt中， ，得， 点的坐标为【2】 如图，抛物线与轴交于点与点，与轴交于点，抛物线的顶点为点（1）求抛物线的表达式并写出顶点的坐标；（2）在轴上方的抛物线上有一点，若，试求点的坐标；（3）设在直线下方的抛
13、物线上有一点，若，试写出点坐标 参考答案：（1），； （2）； （3）满分解答 （1）将点B(5, 0)代入yx2bx5，得解得b6所以yx26x5(x3)24，顶点P的坐标为(3,4)（2）如图2，作DNx轴于N设抛物线的对称轴与x轴交于点M由tanABDtanABP，得设点D的坐标为(x, x26x5)，那么解得x1所以点D的坐标为(1, 12)图2 图3（3）由B(5, 0)、C(0, 5)，可知BC，直线BC与x轴负半轴的夹角为45设BC边上的高为h，那么SBCQ15解得如图3，设y轴上点C下方的点G到直线BC的距离GH，那么CG6，G(0,1)过点G作BC的平行线与抛物线的交点就是要
14、求的点Q，这条直线为yx1解方程组 得或 所以Q(2,3)或(3,4)课后作业【练习1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，它的对称轴与轴相交于点；（1）求点的坐标；（2）如果直线与此抛物线的对称轴交于点、与抛物线在对称轴右侧交于点，且，求此抛物线的表达式 【 参考答案】（1）；（2）满分解答（1）将点A(2,1)代入yax2bx1，得14a2b1所以b2a抛物线的对称轴x1所以点B的坐标为(1, 0)（2）如图2，由yx1，得C(1, 2)所以BC2由A(2,1)、B(1, 0)，得，245因为直线yx1与坐标轴的夹角为45，由此可知145所以12根据等角的邻补角相等，可知DCBCBA当BDCACB时，DCBCBA所以，即所以因此D、C两点间的水平距离、竖直距离都是2所以D(3, 4)将点D(3, 4)代入yax22ax1，得49a6a1解得所以抛物线的表达式是专心-专注-专业