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1、精选优质文档-倾情为你奉上两个函数中的存在性和任意性问题的辨析安徽省太和县太和中学 岳 峻 邮箱： 手机：高考中经常出现两个变量的任意性或存在性问题，是高考的热点之一此类问题中，特别是全称量词“任意”和特称量词“存在”插足函数，使得函数问题扑朔迷离，意深难懂，同时题目也因此显得富有变化和新意，往往让学生们混淆不清、不知所措事实上，揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，需要深刻理解问题的本质，善于运用数形结合、转化与化归的思想，利用函数与导数的相关知识，可以把相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数最值大小的比较，从而转化为我们熟悉的问题本文通过研究具体函数及其图象，谈谈函数中有
2、关任意性和存在性问题的转化策略，将任意性与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系，并得到双变量的存在性和任意性问题的辨析方法，希望对同学们有所启发类型1.任意，使得，只需其等价转化的基本思想是：给定任意一个的值，函数的对应函数值都大于的对应函数值.（如图1）图2图1类型2.存在，使得，只需.其等价转化的基本思想是：存在一个的值，函数的对应函数值大于的对应函数值.（如图2）【例1】（2014年陕西理科21改编）设函数是的导函数.（1）若对于任意，总有求实数的取值范围；（2）若存在，使得求实数的取值范围.【解析】（1）设当时，在上单调递增，所以，在上恒成立，即在上恒成立；当时，对于有在上单调递减，
3、此时存在，使得，即在上不恒成立；综上可知，实数的取值范围. （2）由（1）可知，当时，存在，使得；当时，必存在，使得；综上可知，实数的取值范围类型3.若，使得等价于函数在上的值域与在上的值域的交集不空，即其等价转化的基本思想是：函数的某一个函数值等于函数的某一个函数值，即两个函数有相等的函数值. （如图3）图3图4类型4.对,使得等价于函数在上的值域是在上的值域的子集，即其等价转化的基本思想是：函数的任意一个函数值都等于函数的某一个函数值，即函数的函数值都在函数的值域之中. （如图4）【例2】（2014年天津文科19改编）已知函数（1）若，使得，求实数的取值范围.（2）当时，证明：对于任意的，
4、都存在，使得.【解析】（1）因为，所以.令得或.因为当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，.所以，在上单调递减，在上的值域为又当时，单调递增，在上的值域为若，使得，则：故实数的取值范围（2）因为，所以.分析可知，在单调递减，且所以在上的值域为；又在单调递减，且在上单调递增，所以在上的值域为；因为对于任意的，都存在，使得.类型5.对使得，且是在闭区间上的连续函数等价于其等价转化的基本思想是：函数的任意一个函数值均大于函数的任意一个函数值. （如图5）图5图6类型6. 存在使得，等价于其等价转化的基本思想是：函数的某一个函数值大于函数的某些函数值，都是只要求有这样的函数值，并不要求所有的
5、函数值. （如图6）【例3】已知（1）若对任意的都有成立，求实数的取值范围；（2）存在使得，求实数的取值范围.【解析】（1）对任意的都有成立，等价于时，当时，所以在上单调递增，所以只需证，即在上恒成立即可.令当时，的最大值为所以即故实数的取值范围是（2）存在使得，等价于时，当时，所以在上单调递增，所以又在单调递减，单调递增.当时，在单调递增，符合题意；当时，在单调递减，单调递增， 此时，解得当时，在单调递减，此时，即，与矛盾，不符合题意；综上可知，实数的取值范围是类型7. 对,使,等价于函数在上的最小值大于在上的最小值即（这里假设存在）其等价转化的基本思想是：函数的任意一个函数值大于函数的某一个函数值，但并不要求大于函数的所有函数值. （如图7）图7图8类型8. 对,使,即.其等价转化的基本思想是：函数的任意一个函数值小于函数的某一个函数值，但并不要求小于函数的所有函数值. （如图8）【例4】(2010年山东)已知函数(1)当时，讨论的单调性;(2)设，当时，若对任意存在，使，求实数的取值范围.【解析】（1）略；（2）依题意在上的最小值不小于在上的最小值,即，于是问题转化为最值问题.当时，所以则当时，当时，所以当时，又，当时，可求得则，解得：这与矛盾. 当时，可求得则，解得：这与矛盾.当时，可求得，由得.综合得实数的取值范围是专心-专注-专业