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1、精选优质文档-倾情为你奉上2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选
2、择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则=（ ）A. B. C. D. 2.设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）A. B. C. D. 3.已知，则（ ）A. B. C. D. 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（ ）A. 165 cmB. 175
3、 cmC. 185 cmD. 190cm5.函数f(x)=在，的图像大致为（ ）A. B. C. D. 6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. B. C. D. 7.已知非零向量a，b满足=2，且（ab）b，则a与b的夹角为（ ）A. B. C. D. 8.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A. A=B. A=C. A=D. A=9.记为等差数列的前n项和已知，则（ ）A. B. C. D. 10.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，
4、B两点.若，则C的方程为（ ）A. B. C. D. 11.关于函数有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间（,）单调递增f(x)在有4个零点 f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，CEF=90，则球O的体积为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线在点处的切线方程为_14.记Sn为等比数列an的前n项和若，则S5=_15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场
5、胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是_16.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sinC18.如图，直四棱柱ABCDA1B1C1
6、D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值19.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|20.已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得
7、出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中，假设，(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性（二）选考题：共10
8、分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C和l直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值23.选修4-5：不等式选讲已知a，b，c为正数，且满足abc=1证明：（1）；（2）精致解析2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时，选出每小题答案后
9、，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，是最基本的集合题目，
10、可利用数轴精确写出答案。【详解】由题意得，则故选C【点睛】不能区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分。2.设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的基本概念，为基础难度。可根据概念入手，表示复数的模长。 【详解】设则根据模的定义得：即故选C【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，考察学生对复数概念和基本原则的掌握，同学们应当在以后的学习过程中，认真掌握和理解复数的相关概念和运算。 3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数的单调性进行比较，引入中间变量，难度中等。
11、【详解】根据对数函数的单调性根据指数函数的单调性可得：因此得到故选B【点睛】本题考查指数和对数函数的单调性，同时采用引进中间值法，比较值的大小。4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（ ）A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B【解析】【分析】考察数学思想的实际应用，应理解黄金分割比例的含义，实际问题转
12、化成数学方程求值【详解】可以设人体脖子下端至腿根的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为4207+515+105+26=17822，接近175cm故选B【点睛】本题运用数学思想去解决实际问题的能力，近些年每年都会有类似的问题，希望同学们平时加强对这方面的锻炼和认识。 5.函数f(x)=在，的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的基本性质，包括奇偶性和单调性。针对类似题目可以利用函数性质解题，也可以直接选取特殊值进行选择。【详解】函数性质：由定义域关于原点对称，且，所以是奇函数，
13、其图象关于原点对称又故选D特殊值法：，f-=-1+20,所以，选择D.【点睛】本题考查复杂函数的性质与图像， 根据定义判断奇偶性和单调性，从而判断函数的性质和图像。6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，利用直接法即可计算【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A【点睛】本
14、题主要利用古典文化考察排列组合问题7.已知非零向量a，b满足=2，且（ab）b，则a与b的夹角为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题.【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为可以试着用向量运算的集合意义，画个三角形，直接判断出角度。8.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A. A=B. A=C. A=D. A=【答案】A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图
15、，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择【详解】执行第1次，是，因为第一次应该计算=，=2，循环，执行第2次，是，因为第二次应该计算=，=3，循环，执行第3次，否，输出，故循环体为，故选A【点睛】主要考查程序框图的原理及特点9.记为等差数列的前n项和已知，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】考查等差数列通项公式和前n项和公式，可采用直接解，也可采用排除法求解.【详解】常规法：由题知，解得，.排除法：对B，排除B，对C，排除C对D，排除D，故选A【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式.10.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线
16、与C交于A，B两点.若，则C的方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】此类题目，都是从题中找出相应的等式关系，解方程而得到相应的结果。此题可根据椭圆的定义，求出三角形三边长度，根据三角关系，列出等式，求解。【详解】如图，由已知可设，则由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得；在中，由余弦定理得，解得；所求椭圆方程为，故选B【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养11.关于函数有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间（,）单调递增f(x)在有4个零点 f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是（
17、）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数奇偶性和单调性，简单画图，从而得出正确答案【详解】定义法：根据函数的定义逐一进行判断，可得正确，故选C图像法：根据函数的奇偶性和特点分析，简单画出函数部分的图象，由图象可得正确，故选C【点睛】第11,12题一般都是复杂函数的性质判断题，可根据定义，简单画出图像进行判断，事半功倍。12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，CEF=90，则球O的体积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】此题考查立体几何的运算。三棱锥都有个特点，棱垂直所对应
18、的底边，结合CEF=90，仔细观察可得PB平面PAC，所以，PB垂直PC和PA，故该三棱锥为立方体的一部分，进而求解。【详解】为边长为2的等边三角形为正三棱锥，（可以过PG垂直AC，连接BG，可以证明AC垂直平面PBG,得到PBAC）又，分别为、中点，又，平面，平面，为正方体一部分，即 ，故选D【点睛】本题考查学生空间想象能力，类似于外接球的半径问题，一般三棱锥都会是长方体的一部分，可以证明求解。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线在点处的切线方程为_【答案】.【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，再根据点斜式方程求出切线方程。【详解】由求导公式， 切线过点（0,0）曲
19、线在点处的切线方程为，即【点睛】准确理解导数的几何意义，进行求解。14.记Sn为等比数列an的前n项和若，则S5=_【答案】.【解析】【分析】本题为等比数列求和基础题，考查对公式的记忆。【详解】设等比数列的公比为（显然q0,1），由已知得 解得 【点睛】考查学生对公式的记忆和基本的计算能力。15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是_【答案】0.18.【解析】【分析】本题难度中等，考查概率的
20、计算方法，出错率高。一定要注意，甲队不能前四场全胜，且第五场一定得胜利，然后分类进行讨论。【详解】当前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是当前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是因此，甲队以获胜的概率是【点睛】本题易出错在想不到，甲队失利的一场，只能在前四场里，而第五场必须胜利；对概率的计算理解不深刻。16.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_【答案】2.【解析】【分析】可转换成图形中的几何关系，巧妙地运用数形结合思想，得出答案。易得从而由可求离心率.【详解】如图，由得又得OA是的中位线，由，
21、得则OA是BF1的垂直平分线，且，又又，得渐近线OB的斜率为，双曲线的离心率为【点睛】本题考查学生的数形结合思想。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sin C【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】本题属于解三角形的基本题型，考查学生对正弦、余弦定理的掌握，大多考生都能作对。需要注意的一点，当解三角形得出一边或者角有两个值时，一定要进行检验取舍。【详解】（1）即：由正弦定理可得： （2
22、），由正弦定理得：又，整理可得： 解得：或又因为，将sin C=带入,解得sin B=-22，不符合题意，故.【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题， 一定要注意角的范围，以及大角对大边，来进行检验结果。18.如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值【答案】详见解析【解析】【详解】（1）连接，分别为，中点 为的中位线且又为中点，且 且 四边形为平行四边形，又平面，平面平面（2）设，由直四棱柱性质可知：平面四边形为菱形 连接DF
23、，可得DF平面AMA1则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：，D（0，-1,0）坐标为设平面的法向量，又，令，则， 二面角的正弦值为：【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.也可采用几何法进行判断，难度大，时间紧，不推荐程度一般的同学采用几何法，牢固掌握向量法，是解决这类问题的简便算法。程度水平高的不妨试试找找两个平面的垂线，进行求解。19.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF
24、|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【答案】见解析【解析】【分析】本题考查解析几何的计算技巧，难度较大，计算量大，需认真细致计算。【详解】（1）设直线方程为：y=32x+m，由抛物线焦半径公式可知： 联立两个方程式得：有两个交点所以 ，解得：直线的方程为：转化为基本形式：（2）可设，则直线方程为：联立两个方程式得：则 ， ， 则【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.20.已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点【答案】见解析【
25、解析】【分析】（1）判断函数极值点，根据导数和零点存在定理进行判断；（2）根据零点定理进行判断。除了考查函数导数的知识外，主要考查学生分类讨论的能力。考生应当注意平时的学习中，多思考，逻辑严密，考虑全面。此题的易错点，主要在于忽略定义域、分类讨论不细致导致出错。【详解】（1）由题意知：定义域为：且令，在上单调递减，-sin x在上单调递减在上单调递减又，存在一个数x0，使得当时，；当时，；则为在区间上唯一的极大值点即：在区间上存在唯一的极大值点.（2）由（1）知：，当时，由（1）可知在上单调递增 在上单调递减又为在上的唯一零点当时，在上单调递增，在上单调递减又 在上单调递增，此时，不存在零点又
26、，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，此时不存在零点当时，单调递减，单调递减在上单调递减又，即，又在上单调递减在上存在唯一零点当时，即在上不存在零点综上所述：有且仅有个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排
27、下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中，假设，(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性【答案】见解析【解析】【分析】此
28、题是一个综合题，既考察了分布列的相关知识，也融入了数列的知识，难度中等，计算量大，一定要细心认真。【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，；则的分布列如下：（2），（i）即整理可得： 是以为首项，为公比的等比数列（ii）由（i）知：，作和可得：表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对
29、学生分析和解决问题能力要求较高.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C和l直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值【答案】详见解析【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；然后根据极坐标与直角坐标对应可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详
30、解】（1）由得：，又整理可得的直角坐标方程为：又，的直角坐标方程为：（2）设上点的坐标为：则上的点到直线的距离当时，取最小值则【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常将问题转化为三角函数的最值求解问题.23.选修4-5：不等式选讲已知a，b，c为正数，且满足abc=1证明：（1）；（2）【答案】见解析【解析】【分析】（1）合理利用已知条件，进行转换，凑成不等式形式，进行求解；（2）结合平方和立方基本不等式转换求解。【详解】（1） 当且仅当时取等号，即：（2），当且仅当时取等号又，（当且仅当时等号同时成立）又 【点睛】本题主要考查不等式的变换和应用能力，难度中等，主要是凑成基本不等式的形式。此类题型大都根据已知条件和基本不等式，来凑需要证明或求值的表达式，需要注意的是不等式的等号成立的条件。专心-专注-专业