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1、精选优质文档-倾情为你奉上第三章 可测集合一、内容结构在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域, 定义域的度量有明确的意义长度、面积或体积。在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与G型集、F型集的关系、最常用的可测集类型。主要内容： 勒贝格外测度的
2、定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、G型集、F型集、Borel集之间的联系。基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、G型集、F型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。二、主要的数学思想与方法1、 从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。2、Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度 m ,然后通过条件m* A = mA 定义可测集， Caratheodory 给出的可测集的导入法：m*T = m * (TE ) + m *(TCT) (T)称E可测，
3、把m*E称为E的测度，记为mE。两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。3、 合列极限定义的思想与方法。4、 零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。5、 一般可测集由G集、F集、零测集构成的思想与方法。三、疑难点学习方法（一）直线上有界点集的测度点集的测度更着重于直线上有界点集的测度。用构造的方法来讲解点集的测度，从中我们可以学到一种成套理论的模型。先从最简单的开集测度出发，再学习闭集的测度、一般点集的内测度与外测度及可测集合。点集的测度，抽象之后是长度、面积、体积概念的推广，它与长度、面积、体积性质保持一致性，它的三条基本性质：非负性、单调性、
4、次可加性体现相关属性。点集的测度与空间维数直接相关，这好比一维空间中有限区间的长度不等于零，但有限区间置于平面上其面积等于零，这条性质学习时要很好理解。点集测度构造性定义过程是繁杂的，我们可以从中学习处理问题的思想与方法，但论证问题时应用构造性定义是极不方便的，应用可测集的等价定义: 对于任意集合E是可测的，即对任一点集T,有 m* T = m * (TE ) + m * ( TCE)等价定义形式简洁,论证问题使用方便,注意它在论证问题中的应用。由可测集的基本性质知道，可测集关于差集与可列并的运算是封闭的，可以说，一切可测集所成的类构成一个集合的环。由此可推知，可测集关于交运算也是封闭的。这样
5、，在可测集运算类中进行运算是相当方便的。有的实变函数教材由抽象测度定义直接引入点集测度。抽象测度概括了可测集的最一般特征，同时能把种种具体的测度作为特例。（二） 零测度集零测度集是一类特殊的点集，其任意的子集、可数个之并仍保持零测度集的性质。由零测度集，引入了实变函数中特有的“命题几乎处处成立”的重要概念，它揭示了实变函数中许多重要结论的本质，可测集、可测函数、可测函数列、L积分等，有关的性质与关系，几乎都与零测度集有联系。 在本章的学习中，一定要熟记零测度集的典型类型与特例，为往后各章的学习奠定基础。（三） 测集的结构以开集、闭集为对象，经过至多可数次并或交的运算所得集称为Borel集。通过
6、学习可知，凡Borel集都可测，但反之不成立，亦并非L可测集都是Borel集。但每个可测集E与G型集、F型集仅相差一个零测度集。这揭示了可测集的一种结构，一切可测集可由G型集、F型集及零测度集所生成。四、专题选讲点集测度的定义 1、点集测度的引入测度论与可测函数是L积分的中心内容，是互相联系的两个方面。测度理论是建立L积分的理论基础，可测集是L积分的积分范围，可测函数是L积分的积分函数。点集测度是连续区域中长度、面积、体积概念的推广。直观地说，点集的测度就是定义点集对应的非负实数对点集进行度量，进而把R积分推广到L积分。对于一般的点集E，怎样定义它的度量，即怎样定义点集的测度呢？由下例看到，直
7、接应用区间长度的定义方法来解决一般点集的测度是行不通的。例1 设E是0，1 中有理点集，用分点0 = x0 x1 x2 x n-1 xn = 1将区间0，1 分成一些小区间，如果把与E有公共点的区间长度的和，当 max (x i x i-1 )0（1in ）时的极限作为E的测度，由有理数的稠密性，得E的测度等于1。另一方面，对0，1 上的无理点集0，1 E=S，按上述同样的方法，其测度也等于1。由于E与S不相交，其并为0，1 ，由上得矛盾式子：1= 1+1。点集测度不能直接应用区间长度进行定义，而通过区间与点列的联系区间列覆盖点集中的点，先由区间的长度定义开集、闭集的测度，进而再定义有界点集的
8、测度、一般点集的测度。2、点集测度的定义定义1(有界开集的测度) 设G为有界非空开集，且G, 由开集的构造定理, 设G有结构表示： G = 其中， 互不相交，它们是G的构成区间。则开集G的L测度定义为它的一切构成区间长度的和，并记为mG, 有 mG = ， 且mG 。定义2 (有界闭集的测度) 设F为有界非空闭集，任取一个包含F的开区间（a,b）, 令G = （a,b）- F, 则G为有界开集，定义闭集F的测度为： m F= b a mG 注1 有界闭集测度的定义, 通过“任取一个包含F的开区间”而转换为已有开集的测度。注2 从几何上明显看出有界闭集F的测度与区间（a,b）选择无关。定义3 (
9、有界点集E的L外测度) 设E为有界集，所有包含E的开集的测度集合的下确界，称为E的L外测度,并记为m*E，有 m*E = 注1 外测度定义的等式,是一个实数子集对应的下确界，而这个实数子集是由覆盖E的开集簇的测度而确定。注2 由于G：G为开集，GE是非空的，例如包含E的开区间便属于这个类。同时开集的测度已有定义，故数集mG：G为开集，GE 的下确界有意义，并且 0 。定义4 (有界点集E的L内测度) 所有含于E中闭集的测度构成集合的上确界称为E的内测度，并记为mE，有mE = 注1 类似定义3的讨论，mE有定义，且0mE0, E可数，设 E = r, r, r, 令 I = （ r- ，r +
10、 ） 有| I| = ，且 E 而 mE inf 所以 mE = 0 .例6 Cantor集合为零测度集。证明：设C是Cantor集，P是0，1 上C的余集，即是构造时每次去掉的开区间，有C = 0，1CP的测度： m P = 所以，m C = m 0,1 - m P = 1 1 = 0 .由例5、例6得出，集合的测度与集合的可数性是不同的两类问题，零测度不能区分集合的可数性与不可数性。(二) 可测集合的主要性质1、 可测集合的基本性质定理1 （外测度性质）集E ，有（1） 非负性： m*E0, m*( ) = 0 ;（2） 单调性： 若E10,以及每个自然数i, 存在Ei的L覆盖 Ii,k
11、, 使得Ei , 0，存在开集GE与闭集FE，使 m (G F ) 0,存在开集G E与闭集F E，使EG mG mE - 但 m*E = mE ， 故 mG mF 又 FG ，得 m G m F = m ( G F ) 0,存在开集GE与闭集F E，使m (G F )，又 FG ，得 m ( G F ) = m G m F .由于 m F mF m * F mG , 得 m*E - m E 由的任意性，得 m*E m E,又有 m*E m E所以 m*E = mE ，即E可测。定理证毕。3、 可测集的运算性质定理6（并集的可测性、可数可加性）若集E i ( i= 1,2,)可测 ，且EiEj
12、 =(ij )，则可测, 且m () = .证明: 要证可测，只需对任意的T，证明 m*T m* T() + m* TC () (反向不等式显然成立) 对任意的自然数n (任意的有限项)，有 m*T = m* T() + m* TC () m*(T) + m* TC () 令 n , 得 m*T m*(T) ) + m* TC () m* (T) + m* TC () = m* T() + m* TC () 所以， 是可测集。特别地，在上面的不等式中，取T = ，得 m*( ) ,故有 ：m () = 推论：若( i=1,2,3) 可测，则 可测。证明：由= ()( () ) 则把 表示为可数
13、个互不相交的可测集的并，从而 可测。定理7 (交集的可测性) 若( i=1,2,3) 可测，则可测。证明：由 = C (C ) = C ( )及定理6、4，定理7成立。定理8 （差集的可测性）若E、F可测，则 E F 可测。事实上，由E F = E (CF) 及上述有关定理，结论成立。定理9 （可测单调升集列的测度与极限运算） 若 ( i = 1,2,) 可测，且, 则 m () = ( ) 意义：集列的极限运算与集合的测度运算可交换次序。证明：= = 其中，= ( i = 1,2,) , = 由于= ( ij) , 于是， m () = m = = () = () = mE =m 定理10
14、（可测单调降集列的测度与极限运算）若(i= 1,2,) 可测，且E1E2 Ei , 其中至少有一集的测度有限，则m ( ) = .证明：设存在N， mN 时，m 0 ,又余集cA = E A ,有 E = ACA，ACA=所以 m E = m （ACA）= mA + m（CA） 0.与已知条件 m E = 0 相矛盾。所以 m A = 0 . (2) 有限个或可数个零测度集之并仍是零测度集。 意义：零测度集对并运算封闭。 证明方法1 设 (1,2,)为零测度集列， 令 S1 = E1 S2 = E2 E1 S3 = E3 （E1 E2） S4 = E4 - （ E1E2 E3） Sn = En
15、 - (E1E1E2 E3 En-1 ) . 则是互不相交的零测度集，且 m() = m () = = = (0) = 0 证明方法2 由可测集的性质，得： 0 m E = 0即 m E = 0 . 注： 零测度集对于取子集运算、并运算的封闭性，在L积分理论中有重要的作用，要熟记结论。（3）若m A = 0 ,对任意的可测集B，有 m ( AB ) = m B 意义与作用：可测函数列在可测集上收敛性的讨论，L积分等问题可以不考虑零测度集。 证明：m Bm (A B ) m A + m B = m B 有 m ( AB ) = m B （4）若m E = 0 , 则内核E = . 证明：（反证）
16、若不然，存在 x0E, 从而存在开邻域 U(x0) E ,有 m E m U(x0) 0, 与 m E = 0 矛盾.所以, 结论成立. 意义: 零测度集不含内点。3、 零测度集的类型 (1)空集是零测度集。即m ( ) = 0 .(2)单点集是零测度集。即 mx0 = 0 .证明：由测度的平移不变性，有m x 与x无关，从而 m x = 0 。否则，m 0,1 m | n N = m = 与m 0,1 = 1矛盾。命题得证。(3)任何有限集皆是零测集。即 ma1,a2,an = 0 .(4)可数点集是零测集。证明：设A可数，得 A = a1,a2,an又m an = 0 , (n=1,2,)
17、 (单点集的测度) 得a i与 a j （i j）互不相交, 且 m A = m (a i) = m a i = limm a i= 0.由上讨论得：自然数集是零测度集。 0，1上的有理数集是可数集，测度为零。 R上的有理数集是可数集，测度为零。 (5) Cantor集C不可数，但Cantor集是零测度集。 证明：设C的余集为G，有 mG = m (, ) + m (, ) + m (, ) + = 1 + ()+()+ = 1 所以，m C = m 0,1 m G = 0 . 同理，在0,1中作点集 ：E = x0,1 | 在十进位小数表示式 x = 0.a1a2中所有a i都不出现十个数字
18、中的某一个。则E不可数，但E是零测度集。(6)R中的每个子集，无论它在R中是否可测，都是R中的零测度集。4、 零测度集在实变函数中的主要作用(1)由G和F及零测集，可得出一切的L可测集。(2)由零测度集引入了几乎处处成立的重要概念。(3)由几乎处处成立的概念，对函数列n的收敛、一致收敛、依测度收敛之间的关系展开了讨论。(4)由零测度集找到了可测函数与连续函数的联系（鲁津定理）。(5)由零测度集彻底地解决了R可积性问题：不连续点是零测集。(6)若mE=0 , 则E上的任何函数都可测。(7)若mE=0 , 则E上的任何函数都L可积，且积分为零。(8)零测度集在积分的极限定理中有重要的应用。 (四)
19、可测集的构造 L积分的函数定义在可测集合上。可测集在具体的应用中虽有不同情况，但可测集的本质特征体现在结构上 ，即是每一个可测集都可以由G型集或F型集和全部L零测度集而得出。1、 复习有关定义设集合G可以表示为一列开集G i的交集： G = G i , 则称G是G型集；设集合G可以表示为一列闭集F i的并集： F = F i , 则称F是F型集。凡可以从开集出发，通过取余集、取有限或可数个集合的不超过可数次的并或交运算 得到的集合，称为Borel (波雷尔)可测集。2、Borel集与可测集的关系凡Borel集都是可测集，但并非每个可测集都是Borel集与的。例如，非Borel集的可测集合： 在
20、R中的0，1上，C(x) 是0，1上Cantor 函数，作函数S(x) = (x + C(x) , x0，1显然，S(x)是0，1上严格上升的连续函数，且S（0）= 0, S(1)=1, 记其反函数为S（x）,它是连续且一一对应的函数。现在取0，1中的Cantor集C，并令在构造过程中的每步移去的中央三分开区间为I n ,k ， (n = 1,2,.; k = 1,2,2) ,其长度为| I n ,k | ，则S (I n ,k ) 是长度为| I n ,k | /2 的开区间，又S（x）在I n ,k 上是常数，从而点集S（ ）测度为。若令S（C）= H ，可知m (H) = . 令w是H中
21、的不可测集，并记S（w）= S ，因 SC, 所以S是可测集，但S不是Borel集，否则，W也是可测集，从而可测了。下列讨论的问题是：L可测集合类中除了Borel集外，还包含一些怎样的集合？3、 可测集的构造定理1 设E是任意可测集，则一定存在G 型集G，使GE，且m (G-E)=0. 证明：（1）先证：对任意的0, 存在开集G，使GE，且m (G-E) 先设 mE, 则由测度的定义，有一列开区间I i, i =1,2,., 使GE G令 G=，则G为开集，GE，且m E m G= m E+因此，m G m E (已知m E) ，从而m (G E) .其次，设m E = , 这时E是无界集，它
22、可以表示为可数个互不相交的有界可测集的并： E = （m En）对每个En,应用上述结果，可找到开集G nEn ，使 m (G n En ) ,令G=，则G为开集，GE，且G E = ,m(G-E) .(2) 依次取n =, (n=1,2,), 由(1)的证明，存在开集G n , 使 m(G nE) , 令G = ，则G为G型集，GE，且 m(GE)m (G n E) ( n = 1,2,) 故 m (GE) = 0 。证毕。定理2 设E是任意可测集，则一定存在F 型集F，使 FE，G且m(E-F)=0.证明：E可测，则CE可测。FE由定理1，存在G型集GCE，使 m (GCE)=0令F=CG
23、，则F为F型集，FE，且m(E-F)= m (GCE) = 0 。证毕。由定理1、2，得：(1)任何可测集可以用一个G型集与一个零测度集来表示；或用一个F型集与一个零测度集来表示。由任意性，说明凡可测集都有这样的表示。即E是可测集，G是G型集，F是F型；N是零测度集，有E=GN 或 E=FN .(2)由所有的G型集或F型集与全部零测度集，可以获得一切的L可测集。(3)由于G型集与F型集都是Borel集，得任意可测集是一个Borel集与一个零测度集的并集。(五） 关于测度的几点评注1、测度概念的建立19世纪下半叶，数学家们已经认识到，古典分析中仅有的连续函数积分理论已经不能很好地解决数学分析中的
24、许多问题。为了克服古典Riemann积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义。Riemann积分的定义及函数是否Riemann可积,与积分区域度量的定义密切相关。集合测度概念的形成，是为了拓展长度、面积、体积、概念所进行的一系列探索的结果。引入了测度的概念，使得更多的点集能具有类似于面积性质的新的度量。不同的积分概念是紧密地联系于不同测度概念的，测度理论及其方法在近代分析、概率论以及其它一些学科领域中已成为必不可少的工具。1898年，Borel（波雷尔）对Jordan(约当)的容量理论作了实质性 改进，建立了R中点集的Borel（波雷尔）测度理论。不久，由Borel的学生Lebesgue(
25、勒贝格)在1902年提出了直到目前仍广泛应用的Lebesgue(勒贝格)测度理论，系统地建立了测度论，并成功地建立了Lebesgue(勒贝格)积分理论。1910年，Lebesgue研究了R 中的测度。1915年，Frechet提出在一般-环上建立测度，抽象测度由此诞生。1918年，Caratheodory(卡拉皆屋铎利)深入地研究了外测度的性质，从此，测度理论有了迅速发展。Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度 m ,然后通过条件m* A = mA 定义可测集，这沿循了面积计算的外切多边形与内接多边形的思想，是直观上最容易被接受的方法，但循此方法建立的理论并不是最简洁的，而且缺少推广
26、的价值。因而被Caratheodory(卡拉皆屋铎利) 的导入法所取代。Caratheodory 给出的可测条件为：院m*T = m * (TE ) + m *(TCT) (T)称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。这一定义初看起来是不自然的，但事实证明它是迄今为止最简捷的可测集的导入法，在学习讨论可测集相关性质等问题时，常用此进行定理的证明。在L积分理论问题中，很少需要去准确算出某个集合的测度，更重要的问题往往是判定某个集合是否为零测度集合。2、 抽象测度的定义抽象测度对于进一步学习现代分析是不可缺少的，它概括了测度的最一般的特征，同时能包括种种具体测度而当作特例。下面介绍抽象测度的初步
27、知识。定义1 设X是基本集，|R是由X的子集所作成的非空类，如果下列条件满足：（1） 由A|R, B|R , 有（AB） |R；（2） 由A|R, B|R , 有（AB） |R；则|R称为集合的环或简称为环；若有（3） 由A1，A2，|R , 有An |R；则称 |R 为集合的环，简称为环。若|R中含有基本集X，则 |R 称为代数。定义2 设X为基本集，|R为X的子集的类，称定义于|R上取实函数值或无穷大的广义实函数为集函数；若对每个E|R，E0，称是非负的；若E,(ER) 称是有限的。若对|R中互不相交的集列En，其并En|R ,恒有 (En )= En , 称是可加的或完全可加的。定义3
28、当|R为环时，若|R上定义的集函数满足：（1） 是非负的；（2） 是可加的；（3） =0 .则称为环上的测度。定理 设为环上的测度，则成立下列性质：（1） 单调性。设E1、E2|R, E1 E2，则 E1E2；（2） 次可加性。设En |R , n = 1,2,则 (En) En ,若E |R , E En, 则E En ；（3） 对于|R中的单调升集列En , 有(En) = limEn;对于|R中的单调降集列En , 若E11-.证毕。 (六)实变函数中的开集与闭集3 开集与闭集是度量空间Rn 中引入的两类特殊集合。本文以 开集、闭集为主线，对实变函数有关知识点之间的联系、转换进行讨论，从开集与闭集的角度理解、掌握L积分的主要思想、方法及知识。一、度量空间的特殊点集-开集与闭集1、开集与闭集的定义定义1 设ERn ，若E的每一点都是E的内点，则称E为开集。注1 开集定义的内涵、基础是邻域、距离的概念，由邻域精确地刻画了“内点”。注意在不同的空间看待同一个点，同样的半径，邻域范围不同。如原点O的邻域u (O, ) : R 上,开区间内（，）R上, 开圆内x + y R3上, 开球内x + y z 注 2 由开集的内涵