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1、精选优质文档-倾情为你奉上4 函数的连续性 1函数连续的概念 一个连续量随着另一个连续量连续地变化连续函数 定义3.7 设在包含的一个开区间有定义如果 ，则称函数在是连续的称为的连续点 否则，称是的间断点 从定义可见，在连续，当且仅当满足下列三个条件： (i) 在附近有定义，特别是在有定义； (ii) 极限存在；(iii) 上述极限值恰好为函数值对照 函数在有极限 和 函数在连续： ，当时，有 ，当时，有 两者的差别就只有“一点” 等价定义：令，称为自变量（在点）的增量， ，称为函数（在点）的增量 当时，有 ，于是 在是连续 ，当时，有 ，当时，有 在左连续且右连续函数在连续定义为 也可以写作
2、 这表示，在函数连续的情况下，求极限可以直接把自变量的极限代入，或者说，极限运算与函数对应法则可以交换次序 定义3. 8 设定义在内，若它在内的每一点都是连续的，则称在区间是连续的 设定义在，若它在的每一点都连续，且在点右连续，在点左连续，则称在区间是连续的。 半开区间的连续性类似定义。函数的连续性是用极限定义的，而极限前面已研究过。例l 试证在是连续的 证明 对任意的，是有意义的，故只需证明事实上， |2| 2|2因此，任意给定，取，只要，便有|，这就证明了在连续，从而证明了在连续 2间断点分类根据在点连续必须满足的三个条件，间断点不外乎下列三种类型：1、可去间断点极限存在2、第一类间断点在
3、点的左、右极限都存在但不相等3、第二类间断点在点的左、右极限至少有一个不存在(1) 可去间断点极限存在 （此时不论在点是否有定义）例如，函数在0点有可去间断点 因为1存在，尽管函数在0点无定义又如，函数 在0有可去间断点 因为0，尽管函数在0点有定义， 但函数值1不等于极限值0对于可去间断点，可以补充定义或修改定义使函数在该点连续例如，对上面的函数补充定义1，得 则在0点连续，而对，修改它在0点的定义为0，得 则在0点连续 (2) 第一类间断点在点的左、右极限都存在但不相等有时也把这种间断点称为跳跃间断点。例如取整函数， ， (3)第二类间断点在点的左、右极限至少有一个不存在。无穷型间断：例如
4、函数，0是它的第二类间断点， 因为 振荡型间断：例如函数，在0点左、右极限都不存在 再考虑狄利克雷函数 它在内任一点不连续上面两例都是当时，函数值不断地在两点之间跳动，所以左、右极限均不存在，因此是函数的第二类间断点，可去间端点非本质的，补充或修改定义可使其连续第一类和第二类间断本质的，不能通过修改函数在该点的值 使其成为连续的第二类间断点可能是无穷型的，也可能是振荡型的3连续函数的运算与初等函数的连续性定理3.13 若和都在点连续，则、()也在点连续证 由极限的四则运算法则立得。 定理3.13 （复合函数的连续性定理）若函数在点连续，在连续，且，则复合函数在点连续证明 由在点连续，知对任给，
5、存在，当时，有 又由在点连续和，知对上述，存在，当时，有 .因此，当时，有 这就证明在点连续。 下面我们证明本章的一个重要定理.定理3.15 初等函数在其定义域内是连续的。证明思路：由初等函数的定义，若基本初等函数在定义域连续，且经过有限次四则运算、复合运算后仍连续，则初等函数在定义域内连续。实数连续性定理连续函数定义区间套定理闭区间上连续函数介值定理连续函数的四则运算复合函数连续性反函数的连续性初等函数连续性 图表1基本初等函数连续性的证明思路和顺序见图表2。其中反三角函数和对数函数的连续性，利用了反函数的连续性。为证明反函数的连续性，我们用实数连续性定理先证明了一个闭区间上连续函数的重要定
6、理介值定理，在这个基础上证明反函数的连续性。 连续函数定义 四则运算 反函数的连续性 复合函数连续性 图表2定义3.10 设一组实数的闭区间序列，nl，2，满足： （i），n1，2，； (ii) ， 则称构成一个区间套 是一个区间套，意指每一个区间都包含下一个区间(一个套一个)，且区间长度的极限为0 定理3.16 (区间套定理) 设是一个区间套，则必存在唯一的实数r，使得r包含在所有的区间里，即 证明 用单调有界序列有极限存在的定理来证明事实上，已知是单调上升有上界，是单调下降有下界，即任意有 ，因此，均有极限存在，记 由于 ，知 . 下证。对任意，由于，令取极限，得.同理，在不等式中令取极限
7、，得.这就证明了对任意，有，即.最后证明唯一性若有满足，则 故.即这样的是唯一的定理3.16证完定理的证明表明，区间套“套出”的这一个点，它同时是，的极限 .这一点以后用区间套定理时会经常用到注：区间套中闭区间不能改为开区间，否则定理未必成立。例如，取，则.定理3.17 （连续函数介值定理）若在连续，不妨设，则对任意，存在，使得c证明 用区间套定理只要证：若在连续，且，则存在，使得否则，只要令即可记，则，二等分，分点为，若，则定理证完。否则，若，则取，若，则取；则，二等分，分点为，如此继续下去，或者经有限步后，某使得，则定理证完；或者得一区间套，对任意，根据区间套定理，知存在唯一的实数，这时有
8、由，而在连续，知， 故，定理3.17证完证法2 用戴得金实数连续性定理。 令，则在连续，且0，0，只要证存在,使0。当0或0时，取a或b即可，现设0。先将延拓为整个实轴上的连续函数再令 满足 则是实数R的一个分划。事实上且，即不空；由的构造显然不漏；任意，我们来证明，用反证法，如果不然，设，由知，满足，这时且，因此，这与的构造矛盾，故必有，即不乱，可见的确是R的一个分划。由实数基本定理，存在，对任意，有。 注意到，知。下面证明 0，令 ， ， 则 0且。由的连续性得 0又由，知且0，显然此时有，因为，故，由的连续性得 0故0，从而0，定理3.16证完。定理表明，若函数连续，则当自变量从连续地变
9、到时，因变量从连续地变到，其中经过与之间的一切中介值，因此把这个定理称为介值定理，这显然符合我们对连续函数的直观认识。 定理3.17(反函数连续性) 若在连续且严格单调上升，记，则的反函数在严格单调上升且连续证明 设在严格单调上升，则反函数存在，且严格单调上升由在严格单调上升，则 ， 又在连续及介值定理知，对任意，存在，使因此的定义域是。 现在来证明在连续，要使 记，且不妨设(，)，则上式可写为 注意到是严格单调上升的，故只要 或 令(,)，则当时， 且 |0且1先设1由于在 单调上升，由单调有界原理，知 和 都存在又1，由海涅定理 1 1这就证明了在0点连续对任意0，由 0知，这就证明了在l
10、的条件下，在连续。再设01，这时 这就证明了在00时，=，因为和在定义域内连续，由复合函数的连续性知，在连续。当0时，只有是正有理数时函数才有意义，易证 0因此，在0连续当0时，只有是有理数，且是奇数时函数才有意义，由幂函数的奇偶性知函数在连续特别，当是正有理数时，函数在0左连续故在定义域内是连续的 综上所述，一切基本初等函数在定义域内是连续的再根据连续函数的四则运算与复合函数连续性，便知一切初等函数在其定义域内是连续的，至此定理3.15全部证完根据初等函数的连续性，若函数在定义域内有间断点，则该函数必不是初等函数例如 在0有定义，但在该点不连续，因此它不是初等函数同理知狄利克雷函数和取整函数都不是初等函数此外，利用连续性，还可容易地求初等函数的极限例如，若是有理分式，0，则 又如，对任意，有 例 求 一、连续性举例例1 设对内一切有，且在连续，证明在为常数。例2 设在上只有第一类间断点，且有求证在上连续。二、介值定理举例例3 设在连续，证明对任意正整数，使。例4 设在连续，若 ，（），且，使 满足，求证：使，且 专心-专注-专业