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1、精选优质文档-倾情为你奉上数学建模课程作业题-12第四章 微分方程模型-行星运行1水星到太阳的最远距离为0.689821011m，此时水星绕太阳运行的线速度为3.886104m/s，试求:(1)水星到太阳的最近的距离；(2)水星绕太阳运行的周期；(3)画出水星绕太阳运行的轨道曲线；(4)求从远日点开始的第50天(地球天)结束时水星的位置.（1）建立的模型及求解：水星运行的数学模型行星运动轨迹方程 其中， 利用MATLAB进行计算求解（附录一），得到水星到太阳的最近的距离为（2）建立的模型及求解：水星绕太阳运行的周期模型为:其中，。 利用MATLAB进行计算求解（附录二），得到水星绕太阳运行的周
2、期为T = 1.58107s，约为183.4天。（3）利用matlab（附录三）画水星绕太阳运行的轨道曲线：（4）建立的模型及求解：水星的位置模型为如果要求出是水星的位置，即求出相应的和，则意味着先要解方程求出后，在求出，进而得到线速度。最后利用MATLAB计算求解（附录四），解得从远日点开始的第50天(地球天)结束时水星的位置如图所示：2 (地中海鲨鱼问题) 20世纪20年代中期，意大利生物学家DAncona偶然注意到第一次世界大战期间在原南斯拉夫的里耶卡港，人们捕获的鱼类中，鲨鱼等软骨鱼的百分比大量增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降. 显然，战争使捕鱼量下降，食用鱼应该增
3、加，鲨鱼等软骨鱼也随之增加，但为何其比例大幅度增加呢？请对软骨鱼及食用鱼的增长情况建立一个数学模型来解释这一现象.年代19141915191619171918百分比（%）11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比（%）27.316.015.914.810.7建立的模型及求解：建立微分方程组如下：取初值。其中：x(t)是食用鱼数量,y(t)是软骨鱼数量,r1是食用鱼的独立生存能力,r2是软骨鱼死亡率, 是软骨鱼捕食食用鱼能力,食用鱼为软骨鱼的供食能力,e是人捕获食用鱼能力。设战前人的捕获能力e=0.3，战时为0.1，则上述方程为战前模型：战时模型：
4、设在t时刻，食用鱼的数量为x(t),软骨鱼的数量为y(t)，根据四级四阶的RungeKutta法可以得到如下计算公式：得到最终的迭代格式3 (鱼场捕捞问题) 渔场中的鱼资源若不进行捕捞则按自限规律增长. 若在渔场中由固定船队进行连续作业，单位时间的产量与渔场中鱼的数量成正比，比例系数为k，试建立描述该渔场鱼数量的数学模型，并讨论如何控制k使得渔场的鱼资源保持稳定.模型的建立及求解：在无捕捞的情况下，鱼的增长服从Logistic回归模型，即（1）其中：x(t)是t时刻渔场鱼的数量，r是固有增长率，N是所能容纳最多的鱼数，f(x)是无捕捞情况下单位时间内鱼的增长量。对（1）式两端进行积分可得在有捕
5、捞情况下，渔场鱼量满足（2）（3）其中：F(x)是有捕捞情况下单位时间内鱼的增长量， K是捕捞强度，h(x)是单位时间鱼产量。对（3）式两端进行积分可得要控制渔场鱼资源保持稳定，只需要F(x)=0,即（4）对（4）式求解，得显然，为了维持渔场的稳定，渔场鱼量为0是不可取的，只有渔场的鱼量满足时，渔场比较稳定。4 (产品推销问题) 经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题. 试建立一个数学模型来描述它，并由此分析出一些有用的结果来指导生产. 模型的建立及求解：该产品的销售与它在市场上的销售量成正比，还与市场上的剩余需求量成正比，即：，则可建立数学模型如下：其中：M是市场需求有一个上界，K
6、是比列系数， x(t)是t时刻已售出的新产品数量，x是销售量。此方程为Logstic模型，其解为（1）对（1）关于t求一阶导数得（2）对（1）关于t求二阶导数得（3）当0时，x(t)单调递增的；令：=0即：=0此时：当时，销售速度单调递增；当时，销售速度单调递减。综上，在销售量小于最大需求量M的一半时，销售速度是增大的，当销售量达到最大需求量M的一半时，此时最畅销。在销售量超过最大需求量M的一半时，销售速度是递减的。所以初期小批量生产，经过一段时间的需求增长后大批量生产，达到M/2时，稳定生产。这样可以取得较高的经济效益。5 (蛛网模型) 自由贸易的集市上存在这样一种现象：一个时期由于猪肉的上
7、市量大于需求、销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其他农副产业，过段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致价格上涨. 原来的饲养户看到有利可挣，又重操旧业，这样下一个时期又会重现供大于求、价格下降的局面. 在没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去，试建立数学模型解释这一现象. 模型的建立及求解：在k段时间内，价格与猪的数量有关，即：该函数是一个减函数。假设：；在k+1段时间内，猪的数量是与第k段时间猪肉的价格相关的。即：该函数是一个增函数。假设：；由此我们可以得知：由此可知：这是一个等比数列形式。我们可以得到它的通项：最终化简得到迭代格式：专心-专注-专业附录一：% zs_1
8、2_1_1r0 = 0.68982*1011;v0 = 3.886*104;theta = pi;M = 1.989*1030;G = 6.672*10-11;C1 = r0*v0;p = C12/(M*G);e = 1-p/r0;r = p/(1-e*cos(theta);disp(r);附录二：% zs_12_1_2r0 = 0.68982*1011;v0 = 3.886*104;theta = pi;M = 1.989*1030;G = 6.672*10-11;C1 = r0*v0;p = C12/(M*G);e = 1-p/r0;T = 2*pi*p2/(C1*(1-e2)3/2);d
9、isp(T);附录三：% zs_12_1_3r0 = 0.68982*1011;v0 = 3.886*104;theta = 0:0.01:2*pi;M = 1.989*1030;G = 6.672*10-11;C1 = r0*v0;p = C12/(M*G);e = 1-p/r0;r = p./(1-e*cos(theta);x = r.*cos(theta);y = r.*sin(theta);plot(x,y)hold onplot(0,0,r.,MarkerSize,50);hold onplot(0.6982e11,0,b.,MarkerSize,20);hold onplot(-4
10、.6078e+010,0,b.,MarkerSize,20);text(1,0,太阳);text(0.6982e11,0,远日点);text(-4.6078e+010,0,近日点);title(水星绕太阳运行的轨道曲线);附录四：% zs_12_1_4c1 = 2.7132e15;M = 1.989e30;G = 6.672e-11; Q = inline(2.7132e152/(r3)-1.989e30*6.672e-11/(r2); R = inline(q); S = inline(2.7132e15/(r2); q = 0;r = 0.6982e11;theta = 0;t = 0;k
11、 = 1; h = 0.001e7; while theta=2*pi K1 = Q(r);L1=R(q); N1 = S(r); K2 = Q(r+h/2*L1); L2 = R(q+h/2*K1); N2 = S(r+h/2*L1); K3 = Q(r+h/2*L2); L3 = R(q+h/2*K2); N3 = S(r+h/2*L2); K4 = Q(r+h*L3); L4 = R(q+h*K3); N4=S(r+h*L3); t = t+h; q = q+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4); r = r+h/6*(L1+2*L2+2*L3+L4); theta = theta
12、+h/6*(N1+2*N2+2*N3+N4); rr = r; ee = theta; xx(k) = rr*cos(ee);% 水星任意位置的横坐标 yy(k) = rr*sin(ee);% 水星任意位置的纵坐标 k = k+1; endplot(xx,yy) % 画出水星的轨道曲线 hold onplot(0,0,r.,MarkerSize,50);hold onplot(0.6982e11,0,b.,MarkerSize,20); hold onplot(-4.6078e+010,0,b.,MarkerSize,20);text(0,0,太阳);text(0.6982e11,0,远日点)
13、;text(-4.6078e+010,0,近日点);title(水星绕太阳运行的轨道曲线); clc xx = 0;yy = 0;q = 0;r = 0.6982e11;theta = 0;t = 0;k = 1;h = 0.001e7;while t=50*24*3600%求水星自远日点开始第50天的位置 K1 = Q(r);L1=R(q);N1=S(r); K2 = Q(r+h/2*L1);L2=R(q+h/2*K1); N2 = S(r+h/2*L1); K3 = Q(r+h/2*L2); L3 = R(q+h/2*K2); N3 = S(r+h/2*L2); K4 = Q(r+h*L3
14、); L4 = R(q+h*K3); N4 = S(r+h*L3); t = t+h; q = q+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4); r = r+h/6*(L1+2*L2+2*L3+L4); theta = theta+h/6*(N1+2*N2+2*N3+N4); rr(k) = r; ee(k) = theta; xx(k) = rr(k)*cos(ee(k); yy(k) = rr(k)*sin(ee(k); k = k+1; endr = rr(k-1);disp(r);disp(theta); % 水星自远日点开始第50天的位置 （半径及角度）text(xx(k-1),yy(k-1),自远日点运行50天后的位置);hold on plot(xx(k-1),yy(k-1),g.,MarkerSize,20);