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1、精选优质文档-倾情为你奉上选修4-5 不等式选讲考点 不等式选讲1.（2017?新课标,23）已知函数f（x）=x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x1|（10分） (1)当a=1时，求不等式f（x）g（x）的解集； (2)若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围 1.（1）解：当a=1时，f（x）=x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数，g（x）=|x+1|+|x1|= ，当x（1，+）时，令x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+）上单调递增，f（x）在（1，+）上单调递减，此时f（x）g（x）的解集为（1， ；当x1，1时，g（x）=2，f（x）
2、f（1）=2当x（，1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（1）=f（1）=2综上所述，f（x）g（x）的解集为1， ；（2）依题意得：x2+ax+42在1，1恒成立，即x2ax20在1，1恒成立，则只需 ，解得1a1，故a的取值范围是1，1 2.（2017?新课标,23）已知a0，b0，a3+b3=2，证明：（）（a+b）（a5+b5）4；（）a+b2 2.证明：（）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）（ + ）2=（a3+b3）24，当且仅当 = ，即a=b=1时取等号，（）a3+b3=2，（a+b）（a2ab+b2）=2，（a+b）（a+b）23ab=2，（a+b）33ab
3、（a+b）=2， =ab，由均值不等式可得： =ab（ ）2 ， （a+b）32 ， （a+b）32，a+b2，当且仅当a=b=1时等号成立 3.（2017?新课标,23）已知函数f（x）=|x+1|x2|（）求不等式f（x）1的解集；（）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围 3.（）f（x）=|x+1|x2|= ，f（x）1，当1x2时，2x11，解得1x2；当x2时，31恒成立，故x2；综上，不等式f（x）1的解集为x|x1（）原式等价于存在xR使得f（x）x2+xm成立，即mf（x）x2+xmax ， 设g（x）=f（x）x2+x由（1）知，g（x）= ，当x1时，g（x
4、）=x2+x3，其开口向下，对称轴方程为x= 1，g（x）g（1）=113=5；当1x2时，g（x）=x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为x= （1，2），g（x）g（ ）= + 1= ；当x2时，g（x）=x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= 2，g（x）g（2）=4+2=3=1；综上，g（x）max= ，m的取值范围为（， 4.（2017?江苏,21D）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd8 4. 证明：a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cos，b=2sin，c=4cos，d=4sinac+bd=8（coscos+sinsin）=8c
5、os（）8当且仅当cos（）=1时取等号因此ac+bd8 5.(2016全国，24)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)在图中画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集.5.解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示.(2)当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5，故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为.6.(2016全国，24)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围.6.解(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1
6、x3.因此f(x)6的解集为x|1x3.(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.当a1时，等价于1aa3，无解.当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，).7.(2016全国，24)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.7.(1)解f(x)当x时,由f(x)2得2x1,所以,-1x-；当-x时，f(x)2；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1，所以，-x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1.(2)证明由(1)知，当a,
7、bM时,-1a1,-1b1,从而(ab)2-(1ab)2a2b2-a2b2-1(a2-1)(1-b2)0，即(ab)2(1ab)2，因此|ab|0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.10.解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a1,0),C(a,a+1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，).
8、11.(2015新课标全国，24)设a、b、c、d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件.11.证明(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，abcd得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件.12.(2014广东，9)不等式|x1|x2|5的解集为_.12.x|x
9、3或x2原不等式等价于或或解得x2或x3.故原不等式的解集为x|x3或x2.13.(2014湖南，13)若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则a_.13.3依题意，知a0.|ax2|3?3ax23?1ax0时，不等式的解集为，从而有此方程组无解.当a0).(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|x|xa|x(xa)|a2.所以f(x)2.(2)解f(3)|3|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5得a3.综上，a的取值范围是16.(2014天津，19)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M0,1,2，q1，集合Ax|xx
10、1x2qxnqn1，xiM，i1,2，n.(1)当q2，n3时，用列举法表示集合A；(2)设s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1,2，n.证明：若anbn，则st.16.(1)解当q2,n3时,M0,1,Ax|xx1x22x322,xiM,i1,2,3.可得,A0,1,2,3,4,5,6,7.(2)证明由s,tA,sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1，2，n及anbn,可得s-t(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q-1)(q-1)q+(q-1)qn2qn1qn1-10.所以，st.专心-专注-专业