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1、精选优质文档-倾情为你奉上2018-2019学年广东省深圳市宝安中学高一下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1已知倾斜角为的直线经过，两点，则（ ）A B C D2过点且倾斜角为的直线方程为A. B. C. D. 3下列四个命题中正确的是（ ）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直A. 和 B. 和 C. 和 D. 和4如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体
2、，则该几何体的正视图为（ ）5如图，平面平面， 与两平面所成的角分别为和，过分别作两平面交线的垂线，垂足为，若，则 6已知两条直线和两个不同平面，满足， , , ,则A. B. C. D. 7已知向量， ，若，则的值为A. B. C. D. 8某几何体的正视图和侧视图如图，它的俯视图的直观图是矩形如图，其中则该几何体的体积为 A. B. C. D. 9已知向量满足， ，则 （ ）A. B. C. D. 210点O在所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）则点O依次为的（ ）A内心、外心、重心、垂心 B重心、外心、内心、垂心C重心、垂心、内心、外心 D外心、内心、垂心、重心11
3、已知是正三角形ABC内部一点，且,则的面积与的面积之比为 （ ）A. B. C. 2 D. 512直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其外接球的体积为（ ）A. B. C. D.二、填空题13直线的倾斜角等于_ 14如图，在直三棱柱中， ，则异面直线与所成角的余弦值是_15设、是单位向量，其夹角为若的最小值为，其中则_16在棱长为1 的正方体中，以A为球心半径为的球面与正方体表面的交线长为_。三、解答题17已知直线的方程为（1）若直线与平行且过点，求直线的方程；（2）若直线与垂直，且与两坐标轴围成三角形面积为3, 求直线的方程。 18已知向量，.（1）求与的夹角的余弦值
4、；（2）若向量与平行，求的值.19已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为2的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点（1）证明：DN/平面PMB；（2）证明：平面 PMB平面PAD；（3）求二面角P-BC-D的余弦。20如图，在组合体中， 是一个长方体， 是一个四棱锥 ， ，点且（1）证明： ；（2）求面与面所成锐二面角的正切值；（3）若，当为何值时， 平面21已知向量，向量与向量的夹角为，且求向量 设向量，向量，其中，若试求的取值范围.22如图，在正三棱柱中， M为AB的中点，N为的中点， 与的交点为,（1）求证： ；（2）求直线CM与平面所成角的正弦值。2018-2
5、019学年广东省深圳市宝安中学高一下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1已知倾斜角为的直线经过，两点，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：根据直线斜率坐标公式，可知，解得，故选A【考点】直线的斜率做报表公式2过点且倾斜角为的直线方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】倾斜角为的直线斜率为.利用点斜式可得.整理得.故选B.3下列四个命题中正确的是（ ）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也
6、不垂直A. 和 B. 和 C. 和 D. 和【答案】B【解析】若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，这是面面垂直的判定定理，故正确若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，这里缺少了相交的条件，故不正确，垂直于同一平面的两个平面也可以相交，故不正确，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；正确总上可知和正确，故选B.4如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（ ）【答案】B【解析】试题分析：棱看不到，故为虚线；棱AM可以看到，故为实线；显然正视图为答案
7、B。【考点】三视图。5如图，平面平面， 与两平面所成的角分别为和，过分别作两平面交线的垂线，垂足为，若，则 【答案】C【解析】连接，如下图所示：AB与两平面、所成的角分别为和即，又故选C.6已知两条直线和两个不同平面，满足， , , ,则A. B. C. D. 【答案】D【解析】两条直线m,n和两个不同平面,满足,=l,m，n，则m，n的位置关系是，平行，相交或异面，直线n与l的位置关系是垂直，如图：故选：D.7已知向量， ，若，则的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】向量， .由可知， 解得.故选C.8某几何体的正视图和侧视图如图，它的俯视图的直观图是矩形如图，其中则该几何体的体积
8、为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，由俯视图的直观图为矩形,且，故底面直观图的面积为12，故底面面积，高h=4，故棱锥的体积.故选：D.点睛：在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度为原来的二分之一。斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍。9已知向量满足， ，则 （ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】由得： ，又由得，得，则，故选C.10点O在所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）则点O依次为的（ ）A内心、外心、重心、垂心 B重心、外心、内心、垂心C重心、垂心、内心、外心
9、D外心、内心、垂心、重心【答案】C【解析】【考点】分析：根据三角形五心的定义，结合向量数量积的几何意义，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，判断出O点在ABC中的特殊位置，即可得到答案解答：解：由三角形“五心”的定义，我们可得：（1）时，O为ABC的重心；（2）时，O为ABC的垂心；（3）时，O为ABC的内心；（4）时，O为ABC的外心；故选C点评：本题考查的知识点是三角形的五心，三角形的“五心”是三角形中位置“特殊”的点，其性质常作用三角形性质的外延用于几何问题的证明，因此利用向量描述三角形五心的性质要求大家熟练掌握11已知是正三角形ABC内部一点，且,则的面积与的面积之比为 （ ）A. B
10、. C. 2 D. 5【答案】A【解析】，则变为，如图， 分别是对应边的中点，由平行四边形法则知， ，故，由于三角形是等边三角形，故，又， 是中点，故到的距离是正三角形高的一半，所以，的面积与的面积之比为，故选A.12直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其外接球的体积为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由于确定，所以当时，三棱锥体积取最大值，此时由于所以因此而，从而，即，因此中点到A,B,D三点距离相等，又所以中点到A,B,C三点距离相等，从而中点到A,B,C,D四点距离相等，即为外接球的直径，所以外接球的体积为选B.【考点】三棱锥外接球二、填空题
11、13直线的倾斜角等于_ 【答案】【解析】直线的斜率为-1.设倾斜角为，则有.所以.直线的倾斜角等于.14如图，在直三棱柱中， ，则异面直线与所成角的余弦值是_【答案】【解析】在直三棱柱中，是异面直线B与AC所成角，.异面直线B与AC所成角的余弦值是.15设、是单位向量，其夹角为若的最小值为，其中则_【答案】或【解析】试题分析：因为，所以，得或，故答案为或.【考点】1、向量的模及平面向量数量积公式；2、二次函数配方法求最值.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、二次函数配方法求最值，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用在以下几个方面:(1)求向量的夹角，
12、（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则；(4)求向量的模（平方后需求）.16在棱长为1 的正方体中，以A为球心半径为的球面与正方体表面的交线长为_。【答案】【解析】如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面、面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面、面和面上在面上，交线为弧且在过球心的大圆上，因为， ，则，同理，所以，故弧的长为，而这样的弧共有三条在面上，交线为弧且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为， ，所以弧的长为，这样的弧也有三条，于是，所得的曲线长为，故答案为.三、解答题17已
13、知直线的方程为（1）若直线与平行且过点，求直线的方程；（2）若直线与垂直，且与两坐标轴围成三角形面积为3, 求直线的方程。【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由平行得斜率，由点斜式即可写出直线方程；（2）由垂直得斜率，进而设直线的的方程为，分别, .求出直角三角形的两边表示面积求解即可.试题解析：（）与平行，直线的斜率为，设直线的的方程为， 代入，得 直线的方程为（）与垂直， 的斜率为，设直线的的方程为，令得，令得，解得 的的方程为 18已知向量，.（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量与平行，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）直接利用向量的数量积求解与的夹角的
14、余弦值；（2）表示出向量与的坐标，利用向量平行，列出方程，即可求解的值.试题解析：（1），.（2），与平行，解得.【考点】向量的坐标运算；向量平行（共线）的应用.19已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为2的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点（1）证明：DN/平面PMB；（2）证明：平面 PMB平面PAD；（3）求二面角P-BC-D的余弦。【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析【解析】试题分析：（1）要证明DN/平面PMB，只要证明DN/ MQ；（2）要证明平面PMB平面PAD，只要证明MB平面PAD.（1）证明：取中点，连结、，因为分别是棱中点，所以
15、 / / ，且，所以四边形是平行四边形，于是/ .（2），又因为底面是,边长为的菱形，且为中点，所以.又，所以.20如图，在组合体中， 是一个长方体， 是一个四棱锥 ， ，点且（1）证明： ；（2）求面与面所成锐二面角的正切值；（3）若，当为何值时， 平面【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由勾股定理可得，由线面垂直得到，由线面垂直判定定理可得线面垂直；（2）过P点作直线,则为面与面的交线，在平面内作于E，取AB的中点F连接PF，则所以就是所求二面角的平面角，求出即可；（3）通过角的关系，故而可得结果.试题解析：(1)证明：因为， ，所以为等腰直角三角形，所以
16、 因为是一个长方体，所以，而,所以,所以，因为垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得 (2)过P点作直线,则为面与面的交线，在平面内作于E，取AB的中点F连接PF，则所以就是所求二面角的平面角因为， ，所以，即面与面所成锐二面角的正切值为3. (3)当时， 平面当时，四边形是一个正方形，所以，而，所以，所以，而， 与在同一个平面内，所以，而面，所以面，所以平面.点睛：本题主要考查了线面垂直的证明，二面角平面角的求法以及线面平行的证明等问题，均较为基础；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难
17、点的技巧所在，常见的线面平行的方式有：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等.21已知向量，向量与向量的夹角为，且求向量 设向量，向量，其中，若试求的取值范围.【答案】（1）或;（2）.【解析】试题分析：（1）先设出，由已知的运用向量的坐标运算得，再运用向量的数量积公式列出关于的方程；（2）在（1）的基础上表示出，进而表示出，其为关于的表达式，利用的范围求出的取值范围.（1）设由题意可知，联立解得所以或（6分）由，由（1）得（7分）所以（9分）所以又，所以.考点1、向量的数量积；2、向量在三角函数中的应用.22如图，在正三棱柱中， M为AB的中点，N为的中点， 与的交点
18、为,（1）求证： ；（2）求直线CM与平面所成角的正弦值。【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，可证得，进而证得；（2）延长CA， 交于Q，连接BQ，延长CM交BQ于P，连接OP，可证得为直线CM与平面所成角的平面角，进而求解即可.试题解析：（1）连接 （2）延长CA， 交于Q，连接BQ，延长CM交BQ于P，连接OP., .为直线CM与平面所成角的平面角，. 所以，直线CM与平面所成角的正弦值为. （3）思路二：取中点为H，连接则与平面所成角等于直线CM与平面所成角，可等体积法求得H到平面的距离，然后求线面角的正弦值)点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.专心-专注-专业