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1、精选优质文档-倾情为你奉上高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体体积公式：VSh，其中S为底面积，h为高圆锥侧面积公式：Srl，其中r为底面半径，l为母线长一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1. 已知集合A0，1，2，集合B1，0，2，3，则AB_2. 函数f(x)的定义域为_3. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是_4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为_5. 已知一个圆锥的底面积为，侧面积为2，则该圆锥的体积为_6. 抛物线y28x的焦点到双曲线1渐近线的距离为_7. 设Sn是等
2、比数列an的前n项的和，若，则_8. 已知函数f(x)2x，则满足f(x25x)f(6)0的实数x的取值范围是_9. 若2cos 2sin，则sin 2_10. 已知ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE3EF，则的值为_11. 已知等差数列an的公差为d(d0)，前n项和为Sn，且数列也为公差为d的等差数列，则d_12. 已知x0，y0，xy，则xy的最小值为_13. 已知圆O：x2y21，圆M：(xa)2(y2)22.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PAPB，则实数a的取值范围为_14. 设函数f(x)ax3
3、bx2cx(a，b，cR，a0)若不等式xf(x)af(x)2对一切xR恒成立，则的取值范围为_二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos Bbcos C3acos B.(1) 求cos B的值； (2) 若|2，ABC的面积为2，求边b.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.(1) 求证：BC平面VCD； (2) 求证：ADMN.17. (本小题满分14分) 某房地产商建有
4、三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计 (1) 求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；(2) 当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a(单位：元/千米，a为常数)记BDE，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值18. (本小题满分16分) 已知椭圆C：1(ab0)的长轴长为4，两准线间距离为4.设A为椭圆C的左顶点，直
5、线l过点D(1，0)，且与椭圆C相交于E，F两点(1) 求椭圆C的方程；(2) 若AEF的面积为，求直线l的方程；(3) 已知直线AE，AF分别交直线x3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k0)，k.求证：kk为定值19. (本小题满分16分) 设数列an是各项均为正数的等比数列，a12，a2a464，数列bn满足：对任意的正整数n，都有a1b1a1b2anbn(n1)2n12. (1) 分别求数列an与bn的通项公式； (2) 若不等式对一切正整数n都成立，求实数的取值范围； (3) 已知kN*，对于数列bn，若在bk与bk1之间插入ak个2，得到一个新数列cn设
6、数列cn的前m项的和为Tm，试问：是否存在正整数m.使得Tm2 019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由20. (本小题满分16分) 已知函数f(x)aln xbx(a，bR)(1) 若a1，b1，求函数yf(x)的图象在x1处的切线方程；(2) 若a1，求函数yf(x)的单调区间；(3) 若b1，已知函数yf(x)在其定义域内有两个不同的零点x1，x2，且x1x2.不等式a0)恒成立，求实数m的取值范围.2019届高三年级第一次模拟考试(二)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)求函数y3cos的图象在x处的切线方程22. (本小题满分10分
7、) 已知定点A(2，0)，点B是圆x2y28x120上一动点，求AB中点M的轨迹方程. 23. (本小题满分10分) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC，AB2，AC4，AA13，D是BC的中点(1) 求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值；(2) 求二面角B1DC1A1的余弦值24. (本小题满分10分)已知x，y为整数，且xy0，n为正整数，cos ，sin ，记An(x2y2)ncos n，Bn(x2y2)nsin n.(1) 试用x，y分别表示A1，B1；(2) 用数学归纳法证明：对一切正整数n，An均为整数2019届高三年级第一次模拟考试(二)(镇江)数学参考答案1.
8、0，22. x|x23. 4. 85. 6. 7. 8. (2，3)9. 10. 11. 12. 313. 2，214. 15. (1) 由正弦定理，(1分)且ccos Bbcos C3acos B，得sin Ccos Bsin Bcos C3sin Acos B，(3分)则3sin Acos Bsin(BC)sin (A)sin A，(5分)又A(0，)，则sin A0，(6分)则cos B.(7分)(2) 因为B(0，)，则sin B0，sin B.(9分)因为|c2，(10分)又Sacsin Ba22，解得a3.(12分)由余弦定理得，b2a2c22accos B942329，则b3.(
9、14分)故边b的值为3.16. (1) 在四棱锥VABCD中，因为VD平面ABCD，BC平面ABCD，所以VDBC.(3分)因为底面ABCD是矩形，所以BCCD.(4分)又CD平面VCD，VD平面VCD，CDVDD，则BC平面VCD.(7分)(2) 因为底面ABCD是矩形，所以ADBC，(8分)又AD平面VBC，BC平面VBC，则AD平面VBC，(11分)又平面ADNM平面VBCMN，AD平面ADNM，则ADMN.(14分)17. (1) 因为三楼宇间的距离都为2千米，所以ABACBC2，(1分)因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120，所以BDC120，(2分)在BDC中，因为BC2BD2DC2
10、2BDDCcosBDC，(3分)所以22BD2CD22BDCDcos 120oBD2CD2BDCD2BDCDBDCD3BDCD，则BDCD，(4分)当且仅当BDCD时等号成立，此时DBCDCB30，BDCD.区域最大面积SSABCSBCD22sin 60BDCDsin 120(平方千米)(7分)(或者：因为直角三角形ABD，ACD全等，区域最大面积SSABDSACD2SABD2ABBD(平方千米)(7分)(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元，在RtBDE中，由(1)知，BDE，(8分)则DE，BEtan ，AEABBE2tan ，(9分)所以y2aEDaAE2aa2a，.(10分)记
11、f()，令f()0，解得.(11分)当时，f()0，函数f()为增函数所以当时，f()取最小值，此时ymin4a(元)(12分)答：(1)四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值为平方千米；(2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元(14分)18. (1)由长轴长2a4，准线间距离24，解得a2，c，(2分)则b2a2c22，即椭圆方程为1.(4分)(2) 若直线l的斜率不存在，则EF，AEF的面积SADEF不合题意；(5分)若直线l的斜率存在，设直线l：yk(x1)，代入得，(12k2)x24k2x2k240，因为点D(1，0)在椭圆内，所以0恒成立设点E(x1，y1)，F(
12、x2，y2)，则x1，2，(6分)EF|x1x2|.(7分)点A到直线l的距离d为，(8分)则AEF的面积SdEF，(9分)解得k1.综上，直线l的方程为xy10或xy10.(10分)(3)设直线AE：y(x2)，令x3，得点M，同理可得点N，所以点Q的坐标为.(12分)所以直线QD的斜率为k，(13分)而k.(14分)由(2)中得，x1x2，x1x2，代入上式得，(15分)k.则k，所以kk为定值(16分)19. (1) 设等比数列an的公比为q(q0)，因为a12，a2a4a1qa1q364，解得q2，则an2n.(1分)当n1时，a1b12，则b11，(2分)当n2时，a1b1a2b2a
13、nbn(n1)2n12，a1b1a2b2an1bn1(n2)2n2，由得，anbnn2n，则bnn.综上，bnn.(4分)(2)不等式对一切正整数n都成立，即0，当0时，不等式显然成立；(5分)当0时，则不等式等价于，设f(n)(1)(1)(1)，则f(2)f(3)f(n)，所以f(n)maxf(1)，则0，综上.(8分)(3) 在数列cn中，从b1至bk(含bk项)的所有项和是：(123k)(21222k1)22k14.(10分)当k9时，其和是4521041 0652019，(12分)又因为2 0191 0659544772，(14分)所以当m9(22228)477996时，Tm2 019
14、.即存在m996，使得Tm2 019.(16分)20. 当a1，b1时，f(x)ln xx，(1分)则f(x)1，则f(1)10.(3分)又f(1)1，则所求切线方程为y1.(4分)(2) 当a1时，f(x)ln xbx，则f(x)b，(5分)由题意知，函数的定义域为(0，)，若b0，则f(x)0恒成立，则函数f(x)的增区间为(0，)；(6分)若b0，则由f(x)0，得x，当x时，f(x)0，则函数f(x)的单调增区间为；(7分)当x时，f(x)0时，函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为.(3) 因为x1，x2分别是方程aln xx0的两个根，即aln x1x1，aln x2x2.两式相
15、减a(ln x2ln x1)x2x1，则a，(9分)则不等式a0)，可变为(1m)x1mx2，两边同时除以x1得，1m，(10分)令t，则0，ln t0，所以ln t0在t(1，)上恒成立，(11分)令k(t)ln t，则k(t)，当1，即m时，k(t)0在(1，)上恒成立，则k(x)在(1，)上单调递增，又k(1)0，则k(t)0在(1，)上恒成立；(13分)当1，即0m时，当t时，k(t)0，则k(x)在上单调递减，则k(x)k(1)0，不符合题意(15分)综上，m.(16分)21. 因为y3cos，所以y6sin，(4分)所以函数图象在x处的切线斜率k6sin6.(6分)当x时，y3co
16、s0，(7分)所以所求切线方程为y06，即y6x.(10分)22. 设点M(x，y)，点B(x0，y0)因为M为AB的中点，所以x，y，(4分)所以x02x2，y02y.(6分)将点B(x0，y0)代入圆x2y28x120得(2x2)24y24，化简得(x1)2y21.即点M的轨迹方程为(x1)2y21.(10分)23. (1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，有ABAC，AA1AB，AA1AC，故可以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系(1分)因为AB2，AC4，AA13，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3
17、)因为D是BC的中点，所以D(1，2，0)所以(1，2，3)设n1(x1，y1，z1)为平面A1B1D的法向量，因为(2，0，0)，(1，2，3)，所以即令y13，则x10，z12，所以平面A1B1D的一个法向量为n1(0，3，2)(3分)设直线DC1与平面A1B1D所成的角为，则sin |cos，n1|，所以直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值为.(5分)(2) 由(1)知(1，2，3)，(2，4，0)，设n2(x2，y2，z2)为平面B1DC1的法向量，则即令x22，则y21，z20，所以平面B1DC1的一个法向量为n2(2，1，0)(7分)同理可以求得平面A1DC1的一个法向量n3(
18、3，0，1)，所以cosn2，n3，(9分)由图可知二面角B1DC1A1的余弦值为.(10分)24. (1) A1(x2y2)cos (x2y2)x2y2，(1分)B1(x2y2)sin (x2y2)2xy.(2分)(2) 当n1时，由(1)得A1x2y2，B12xy.因为x，y为整数，所以A1，B1均为整数，所以结论成立；(4分)当nk(k2，kN*)时，假设Ak，Bk均为整数，则当nk1时，Ak1(x2y2)k1cos (k1)(x2y2)(x2y2)k(cos kcos sin ksin )(x2y2)cos (x2y2)kcos k(x2y2)ksin k(x2y2)sin A1AkB1Bk.(9分)因为A1，B1，均为整数，所以Ak1也为整数，即当nk1时，结论也成立综合得，对一切正整数n，An均为整数(10分)专心-专注-专业